江西省赣州市石城县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份江西省赣州市石城县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列四个图分别是四届冬奥会部分图标，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝﹣2B．x＜﹣2C．x＞﹣2D．x≠﹣2
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x5C．2x﹣3x＝﹣1D．（2x）3＝2x3
4．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．5米B．10米C．15米D．20米
5．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题。（本大题共6小题，共18分）
7．（3分）若点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
8．（3分）“KN95”口罩能过滤空气中95%的直径约为0.0000003m的非油性颗粒，数据0.0000003用科学记数法表示为 ．
9．（3分）因式分解：3m2﹣3＝ ．
10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
11．（3分）若分式方程＝+2无解，则m＝ ．
12．（3分）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
三、解答题。（本大题共5小题，每小题10分，共30分）
13．（10分）（1）计算：（2﹣1）0﹣|﹣6|+（）﹣2．
（2）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2．
14．（5分）解分式方程：＝1﹣．
15．（5分）化简，其中x＝1．
16．（5分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标；
（3）直接写出△ABC的面积．
17．（5分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE＝DE．
四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE＝5，求BC的长．
19．（8分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
20．（8分）如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 ；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n＝10，mn＝19，求阴影部分的面积．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．
解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ ＝（x﹣ ）2；
（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；
（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．
22．（9分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得＝3，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
六、解答题。（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
2021-2022学年江西省赣州市石城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列四个图分别是四届冬奥会部分图标，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝﹣2B．x＜﹣2C．x＞﹣2D．x≠﹣2
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由分式有意义，得
x+2≠0，
解得x≠﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分母不为零得出不等式是解题关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x5C．2x﹣3x＝﹣1D．（2x）3＝2x3
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x2与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x2•x3＝x5，故B符合题意；
C、2x﹣3x＝﹣x，故C不符合题意；
D、（2x）3＝8x3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．5米B．10米C．15米D．20米
【分析】根据三角形的三边关系得出5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可．
【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
15﹣10＜AB＜15+10，
即：5＜AB＜25，
∴A、B间的距离在5和25之间，
∴A、B间的距离不可能是5米；
故选：A．
【点评】本题主要考查了对三角形的三边关系的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关键．
5．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
6．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；
②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④根据周角的定义即可判断；
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝180°，故④正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题。（本大题共6小题，共18分）
7．（3分）若点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣2，
则a+b＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
8．（3分）“KN95”口罩能过滤空气中95%的直径约为0.0000003m的非油性颗粒，数据0.0000003用科学记数法表示为 3×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故答案为：3×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．（3分）因式分解：3m2﹣3＝ 3（m﹣1）（m+1） ．
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
11．（3分）若分式方程＝+2无解，则m＝ ﹣3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解确定出m的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：3x＝m+2（x+1），
去括号得：3x＝m+2x+2，
移项、合并同类项得：x＝m+2，
当m+2＝﹣1，即m＝﹣3时，方程无解，
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了分式方程的解．解题的关键是掌握分式方程的解的定义，明确分式方程无解即为x的值使最简公分母为0．
12．（3分）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为 30°或150°或90° ．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD＝30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，
∴∠ACD＝30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，
∴顶角∠BAC＝90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题。（本大题共5小题，每小题10分，共30分）
13．（10分）（1）计算：（2﹣1）0﹣|﹣6|+（）﹣2．
（2）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可得到答案；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣6+4＝﹣1；
（2）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝4a﹣5．
【点评】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
14．（5分）解分式方程：＝1﹣．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．（5分）化简，其中x＝1．
【分析】括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算出结果，再将x代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：原式＝，
＝
＝x﹣2，
当x＝1时，原式＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简．
16．（5分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标；
（3）直接写出△ABC的面积．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'如图所示；
（2）由（1）得点A'的坐标为（4，0），点B'的坐标为（﹣1，﹣4），点C'的坐标为（﹣3，﹣1）；
（3）△ABC的面积＝4×7﹣×2×3﹣×4×5﹣×1×7＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．
17．（5分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE＝DE．
【分析】（1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD；
（2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出BE＝DE．
【解答】解：（1）在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC
即AC平分∠BAD；
（2）由（1）∠BAE＝∠DAE
在△BAE与△DAE中，得
∴△BAE≌△DAE（SAS）
∴BE＝DE
【点评】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．
四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案；
（2）根据角平分线的性质求出CD，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠2＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；
（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝10，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝5，
∴BC＝CD+BD＝15．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．（8分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设准备购买m个A种书架，则购买B种书架（15﹣m）个，根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．
解得x＝80．
经检验：x＝80是原分式方程的解．
∴x+20＝100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．
（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
20．（8分）如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片， 25 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 （a+5b） ；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n＝10，mn＝19，求阴影部分的面积．
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出等式；
（2）由拼图可得a2+10ab+X是完全平方式，则X＝25b2，即a2+10ab+25b2＝（a+5b）2，从而得出答案；
（3）表示阴影部分的面积，化成[（m+n）2﹣3mn]，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）由面积拼图可知a2+10ab+25b2＝（a+5b）2，
故答案为：25，（a+5b），
（3）由图形面积之间的关系可得，
S阴影＝m2﹣n（m﹣n）
＝m2﹣mn+n2
＝[（m+n）2﹣3mn]
＝（102﹣3×19）
＝．
【点评】考查完全平方公式的几何意义，用不同方法表示同一个图形的面积是常用的方法．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．
解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ 16 ＝（x﹣ 4 ）2；
（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；
（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
（3）作差后配方比较大小．
【解答】解：（1）∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
故答案为：16，4．
（2）x2﹣10x+2＝x2﹣10x+25﹣23
＝（x﹣5）2﹣23．
∵（x﹣5）2≥0，
∴当x＝5时，原式有最小值﹣23．
（3）M﹣N＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10
＝a2﹣6a+9+1
＝（a﹣3）2+1．
∵（a﹣3）2≥0，
∴M﹣N＞0．
∴M＞N．
【点评】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
22．（9分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得＝3，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可．
（2）①根据要求画出图形即可．
②存在．设CP＝CN＝x，则BN＝2﹣x或x﹣2，BM＝PB＝2+x，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接AP．
∵∠C＝90°，CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，
∴∠PAC＝∠NAC，∠PAB＝∠MAB，∠ABP＝∠ABM＝45°，
∴∠MAN＝2（∠PAC+∠PAB）＝90°，∠MBC＝45°+45°＝90°．
（2）①图形如图2所示．
②存在．设CP＝CN＝x，则BN＝2﹣x或x﹣2，BM＝PB＝2+x，
∵＝3，
∴＝3或＝3，
∴x＝1或4．
∴PC＝1或4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
六、解答题。（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 30 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，则AD＝BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；
（2）①根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
②分两种情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论．
【解答】解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM＝∠BAC，
∴∠CAM＝30°．
故答案为：＝，30；
（2）①AD＝BE，
理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠DCB，∠BCE＝∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE．
②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，
理由如下：
当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，
又∠ABC＝60°，
∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC，即，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
同理可得：∠BAM＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．