重庆市万盛经济技术开发区2021-2022学年九年级上学期期末质量监测数学试题(解析版)

这是一份重庆市万盛经济技术开发区2021-2022学年九年级上学期期末质量监测数学试题(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市万盛经开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y＝6 B．x2+x＝ C．x2+x﹣1＝0 D．x3+x2+2＝0
3．下列事件是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，是红球
C．一个菱形的对角线互相垂直
D．同位角相等
4．抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，则∠BOC的度数是（　　）

A．80° B．40° C．50° D．20°
6．计算机的“扫雷”游戏是在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．若游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格中埋藏着3颗地雷．如图，是小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字，小明接下来在数字“2”的周围随机点开一个方块，没有踩中地雷的概率为（　　）

A． B． C． D．
7．一元二次方程x2+6x﹣3＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝9
8．将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+1
9．某贫困户2017年人均纯收入为3620元，经过精准帮扶，到2019年人均纯收入为4850元，该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，列出方程中正确的是（　　）
A．3620（1﹣x）2＝4850 B．3620（1﹣2x）＝4850
C．3620（1+x）2＝4850 D．3620（1+2x）＝4850
10．在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是（　　）
A．（4，0） B．（4，﹣1） C．（3，0） D．（3，﹣1）
11．如图，一段抛物线y＝﹣x2+3x（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，照这样的规律进行下去，则抛物线C6的顶点坐标是（　　）

A．（20，3） B．（20，﹣3） C．（22，3） D．（22，﹣3）
12．能使分式方程+2＝有非负实数解且使二次函数y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣60 D．60
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．点A和点B关于原点成中心对称，已知点A的坐标是（3，﹣4），则点B的坐标是 　 　．
14．某班学生做抛掷图钉的试验，试验结果如下：
抛掷次数
500
600
700
800
900
1000
钉尖着地的频数
193
231
273
312
352
389
钉尖着地的频率
0.386
0.385
0.39
0.39
0.3911
0.389
根据以上信息，估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为 　 　．（精确到0.01）
15．已知方程3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0的一个根为0，则该方程的另一个根为 　 　．
16．如图，边长为3的正方形ABCD，以A为圆心，AB为半径作弧交DA的延长线于E，连接CE，则图中阴影部分面积为　 　．

17．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣5t2，汽车刹车后到停下来前进了 　 　米．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以正方形的边长BC为斜边在正方形外作Rt△BCE，∠BEC＝90°，若CE＝3，BE＝5，则△OBE的面积是 　 　．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）为响应垃圾分类处理，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分别记为a、b、c、d，且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，不可回收垃圾，“有害垃圾箱，分别记为A，B，C，D．
（1）如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是　 　；
（2）小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率．
20．（10分）已知：抛物线y＝x2﹣2x﹣3．
（1）它与x轴交点的坐标为 　 　，与y轴交点的坐标为 　 　，顶点坐标为 　 　．
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在坐标系中画出此抛物线．

21．（10分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
22．（10分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．

23．（10分）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“平等数”定义：对于自然数n，若n+（n+1）+（n+2）的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．
例如：2是“平等数”，因为2+3+4＝9；10是“平等数”，因为10+11+12＝33：20不是“平等数”，因为20+21+22＝63
（1）判断1和21是否是“平等数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“平等数”的个数，
24．（10分）为了培育和践行社会主义核心价值观，弘扬传统，学校决定购进相同数量的名著《平凡的世界》（简称A）和《恰同学少年》（简称B），其中A的标价比B的标价多25元．为此，学校划拨了1800元用于购买A，划拨了800元用于购买B．
（1）求A、B的标价各多少元？
（2）阳光书店为支持学校的读书活动，决定将A、B两本名著的标价都降低m%后卖给学校，这样，A的数量不变，B还可多买2m本，且总购书款不变，求m的值．
25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

四、解答题：（8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图1，△ABC为等边三角形，D为AG右侧一点，且AD＝AC，连接BD交AC于点E，延长DA、CB交于点F．

（1）若∠BAF＝30°，，求AD；
（2）证明：CF＝AF+AE；
（3）如图2，若AB＝2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90°到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出△CMN的面积．

参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y＝6 B．x2+x＝ C．x2+x﹣1＝0 D．x3+x2+2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
3．下列事件是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，是红球
C．一个菱形的对角线互相垂直
D．同位角相等
【分析】根据菱形的性质，必然事件，随机事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答．
【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，故A不符合题意；
B、在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，是红球，是必然事件，故B不符合题意；
C、一个菱形的对角线互相垂直，是必然事件，故C不符合题意；
D、同位角相等，是随机事件，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，菱形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由y＝﹣2x2可得抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣2x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，则∠BOC的度数是（　　）

A．80° B．40° C．50° D．20°
【分析】由点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝80°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
6．计算机的“扫雷”游戏是在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．若游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格中埋藏着3颗地雷．如图，是小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字，小明接下来在数字“2”的周围随机点开一个方块，没有踩中地雷的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵8个位置有2颗地雷，则没有地雷的有6个方格，
∴没有踩中地雷的概率为＝；
故选：D．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．一元二次方程x2+6x﹣3＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝9
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+6x﹣3＝0，
x2+6x＝3，
x2+6x+9＝3+9，
（x+3）2＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
8．将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+1
【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，2），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式．
【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
9．某贫困户2017年人均纯收入为3620元，经过精准帮扶，到2019年人均纯收入为4850元，该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，列出方程中正确的是（　　）
A．3620（1﹣x）2＝4850 B．3620（1﹣2x）＝4850
C．3620（1+x）2＝4850 D．3620（1+2x）＝4850
【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2019年纯收入，从而得出方程．
【解答】解：如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，
那么根据题意得：3620（1+x）2＝4850．
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10．在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是（　　）
A．（4，0） B．（4，﹣1） C．（3，0） D．（3，﹣1）
【分析】利用图象法，画出图象可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知，C（4，﹣1）．

故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
11．如图，一段抛物线y＝﹣x2+3x（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，照这样的规律进行下去，则抛物线C6的顶点坐标是（　　）

A．（20，3） B．（20，﹣3） C．（22，3） D．（22，﹣3）
【分析】先解方程﹣x2+3x＝0得A1（4，0），则OA1＝4，再根据中心对称的性质得到抛物线C6的开口向上，OA5＝20，OA6＝24，所以A5（20，0），A6（24，0），利用交点式写出抛物线C6的解析式为y＝（x﹣20）（x﹣24），然后计算x＝22所对应的函数值得到抛物线C6的顶点坐标．
【解答】解：当y＝0时，﹣x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝4，
∴A1（4，0），
∴OA1＝4，
∵将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，•••，
∴抛物线C6的开口向上，OA5＝4×5＝20，OA6＝4×6＝24，
∴A5（20，0），A6（24，0），
∴抛物线C6的解析式为y＝（x﹣20）（x﹣24），
当x＝22时，y＝（22﹣20）（22﹣24）＝﹣3，
∴抛物线C6的顶点坐标为（22，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和点的坐标变换规律．
12．能使分式方程+2＝有非负实数解且使二次函数y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣60 D．60
【分析】①解分式方程，使x≥0且x≠1，求出k的取值；
②因为二次函数y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点，所以Δ＜0，列不等式，求出k的取值；
③综合①②求公共解并求其整数解，再相乘．
【解答】解：+2＝，
去分母，方程两边同时乘以x﹣1，
﹣k+2（x﹣1）＝3，
x＝≥0，
∴k≥﹣5①，
∵x≠1，
∴k≠﹣3②，
由y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点，则4﹣4（﹣k﹣1）＜0，
k＜﹣2③，
由①②③得：﹣5≤k＜﹣2且k≠﹣3，
∴k的整数解为：﹣5、﹣4，乘积是20；
故选：B．
【点评】本题综合考查了分式方程和抛物线与x轴的交点，对于分式方程求字母系数问题，先解方程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为0时的情况；抛物线与x轴的交点问题：由Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，①Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．点A和点B关于原点成中心对称，已知点A的坐标是（3，﹣4），则点B的坐标是 　（﹣3，4）　．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A和点B关于原点成中心对称，点A的坐标是（3，﹣4），
∴点B的坐标是（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
14．某班学生做抛掷图钉的试验，试验结果如下：
抛掷次数
500
600
700
800
900
1000
钉尖着地的频数
193
231
273
312
352
389
钉尖着地的频率
0.386
0.385
0.39
0.39
0.3911
0.389
根据以上信息，估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为 　0.39　．（精确到0.01）
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近，
所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.39，
故答案为：0.39．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
15．已知方程3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0的一个根为0，则该方程的另一个根为 　2　．
【分析】设该方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得0+t＝，0×t＝，然后先求出k，再计算出t的值即可．
【解答】解：设该方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得0+t＝，0×t＝，
解得k＝7，t＝2，
即该方程的另一个根为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．如图，边长为3的正方形ABCD，以A为圆心，AB为半径作弧交DA的延长线于E，连接CE，则图中阴影部分面积为　π　．

【分析】利用扇形的面积公式求出扇形EAB的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：扇形EAB的面积＝＝π，
正方形的面积＝9，
△EDC的面积＝×6×3＝9，
∴阴影部分面积为＝π+9﹣9＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
17．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣5t2，汽车刹车后到停下来前进了 　45　米．
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【解答】解：∵s＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
∴t＝3时，s取最大值45，
即汽车刹车后到停下来前进了45m，
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用配方法得出顶点式是解题关键．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以正方形的边长BC为斜边在正方形外作Rt△BCE，∠BEC＝90°，若CE＝3，BE＝5，则△OBE的面积是 　10　．

【分析】过点O作OM⊥BE于M．求出OE，OM，可得结论．
【解答】解：过点O作OM⊥BE于M．

∵BE＝5，EC＝3，BE+EC＝OE，
∴OE＝4，
∵∠OME＝90°，∠OEM＝45°，
∴OM＝EM＝4，
∴S△OBE＝BE•OM＝×5×4＝10．
故答案为：10．
【点评】考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）为响应垃圾分类处理，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分别记为a、b、c、d，且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，不可回收垃圾，“有害垃圾箱，分别记为A，B，C，D．
（1）如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是　　；
（2）小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱有4种等可能结果，其中投放正确的只有1种结果，
∴投放正确的概率是，
故答案为：；

（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
所有等可能的情况数有16种，其中垃圾投放正确的有1种，
∴垃圾投放正确的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）已知：抛物线y＝x2﹣2x﹣3．
（1）它与x轴交点的坐标为 　（﹣1，0），（3，0）　，与y轴交点的坐标为 　（0，﹣3）　，顶点坐标为 　（1，﹣4）　．
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在坐标系中画出此抛物线．

【分析】（1）先解方程x2﹣2x﹣3＝0得抛物线与x轴交点的坐标；再计算当x＝0时的函数值得到抛物线与y轴交点的坐标；然后利用配方法把一般式化为顶点式得到顶点坐标；
（2）先列表，再进行描点、连线得到二次函数图象．
【解答】解：（1）当x＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，3）；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（0，﹣3）；（1，﹣4）；
（2）列表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣2
﹣3
0
5
…
描点，连线，如图，

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和点的坐标变换规律．
21．（10分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【分析】（1）由方程有实数根，根据根的判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；
（2）由（1）中所求a的取值范围可求得a的最大整数值，代入方程求解即可．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
解得x＝1或x＝2．
【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键．
22．（10分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交AB于点D，交⊙O于点C，连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，点O即为所求；
（2）连接AO，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．


（2）连接OA，
则AD＝AB＝8cm，点C为的中点，
进而，CD＝4cm．
设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r﹣4）cm．
在Rt△ADO中，有82+（r﹣4）2＝r2，
解得r＝10．
即这个圆形截面所在圆的半径为10cm．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“平等数”定义：对于自然数n，若n+（n+1）+（n+2）的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．
例如：2是“平等数”，因为2+3+4＝9；10是“平等数”，因为10+11+12＝33：20不是“平等数”，因为20+21+22＝63
（1）判断1和21是否是“平等数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“平等数”的个数，
【分析】（1）根据“平等数”的定义进行求解即可；
（2）根据“平等数”的定义，结合所求的范围进行分析即可．
【解答】解：（1）∵1+2+3＝6，
∴1是平等数；
∵21+22+23＝66，和的各数位数字相等，
∴21也是平等数．
（2）设s＝n+（n+1）+（n+2）＝3（n+1），即s为3的倍数，
且当0≤n≤100时，3≤s≤303．
当s为一位数时，s可能为3、6、9，相应地n为0、1、2；
当s为两位数时，s可能为33、66、99，相应地n为10、21、32；
当s为三位数时，s可能为111、222，相应地n为36、73．
综上所述，不大于100的“平等数”的个数为3+3+2＝8个．
【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．（10分）为了培育和践行社会主义核心价值观，弘扬传统，学校决定购进相同数量的名著《平凡的世界》（简称A）和《恰同学少年》（简称B），其中A的标价比B的标价多25元．为此，学校划拨了1800元用于购买A，划拨了800元用于购买B．
（1）求A、B的标价各多少元？
（2）阳光书店为支持学校的读书活动，决定将A、B两本名著的标价都降低m%后卖给学校，这样，A的数量不变，B还可多买2m本，且总购书款不变，求m的值．
【分析】（1）设A的标价为x元，则B的标价是（x﹣25）元，根据A、B的数量相同，列出分式方程求解即可，
（2）先求出A的标价是45元，B的标价是20元时，A、B的数量，再根据A的数量不变，B还可多买2m本，且总购书款不变列方程求解即可．
【解答】解：（1）设A的标价为x元，则B的标价是（x﹣25）元，根据题意得：
＝，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意．
则x﹣25＝45﹣25＝20（元）．
答：A的标价是45元，B的标价是20元；

（2）∵A的标价是45元，B的标价是20元时，A、B的数量是40本，
∴40（1﹣m%）×45+20（1﹣m%）（40+2m）＝1800+800，
解得：m1＝0（舍去），m2＝35，
答：m的值是35．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去．
25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，设P（t，t2﹣4t+3），则D（t，﹣t+3），则S△BCP＝，当t＝时，△BCP的面积最大值为；
（3）求出M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），则可求BM2＝2（m﹣3）2，BN2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2，MN2＝（m2﹣3m）2，分三种情况讨论：当BM＝BN时，m＝2；当MB＝MN时，m＝；当BN＝MN时，m＝1．
【解答】解：（1）将点A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，
设P（t，t2﹣4t+3），则D（t，﹣t+3），
∴PD＝（﹣t+3）﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，
S△BCP＝PD×OB＝×3（﹣t2+3t）＝＝，
∴当t＝时，△BCP的面积最大值为；
（3）当x＝m时，y＝﹣m+3，
∴M（m，﹣m+3），
当x＝m时，y＝m2﹣4m+3，
∴N（m，m2﹣4m+3），
∵B（3，0），
∴BM2＝2（m﹣3）2，BN2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2，MN2＝（m2﹣3m）2，
当BM＝BN时，2（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2，
解得m＝0（舍）或m＝2；
当MB＝MN时，2（m﹣3）2＝（m2﹣3m）2，
解得m＝；
当BN＝MN时，（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝（m2﹣3m）2，
解得m＝1；
综上所述：m的值为2或1或或﹣．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
四、解答题：（8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图1，△ABC为等边三角形，D为AG右侧一点，且AD＝AC，连接BD交AC于点E，延长DA、CB交于点F．

（1）若∠BAF＝30°，，求AD；
（2）证明：CF＝AF+AE；
（3）如图2，若AB＝2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90°到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出△CMN的面积．
【分析】（1）先判断出∠CAF＝90°，进而求出AC，即可得胡结论；
（2）在AD上取点H使AH＝AE，进而得出△ACH≌△ADE（SAS），得出∠AHC＝∠AED，∠ACH＝∠ADE，再判断出∠ABD＝∠ADB，即可得出结论；
（3）如图2，过点N作NQ⊥GA交GA的延长线于Q，进而判断出△MQN≌△CGM（AAS），得出NQ＝MG，MQ＝CG＝1，设AM＝x，则NQ＝﹣x，AQ＝1﹣x，进而得AN2＝2（x﹣）2+2﹣，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BA∠＝90°，
在Rt△ACF中，∠F＝90°﹣∠ACB＝30°，AF＝，
∴AC＝AF＝1，
∴AD＝AC＝1；
（2）证明：如图1，
在AD上取点H使AH＝AE，
∵∠CAH＝∠DAE，AC＝AD，
∴△ACH≌△ADE（SAS），
∴∠AHC＝∠AED，∠ACH＝∠ADE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠AED＝∠BAC+∠ABD＝60°+∠ACH，
∴∠AHC＝60°+∠ACH，
∵∠FCH＝∠ACB+∠ACH＝60°+∠ACH，
∴∠AHC＝∠FCH，
∴FC＝FH＝AF+AH＝AF+AE．
（3）解：如图2，
过点N作NQ⊥GA交GA的延长线于Q，
∴∠Q＝90°，
∴∠MNQ+∠NMQ＝90°，
由旋转知，CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠CMG+∠NMQ＝90°，
∴∠MNQ＝∠CMG，
∵△ABC是等边三角形，点G是BC的中点，
∴AG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，∠CGM＝90°＝∠Q，
∴△MQN≌△CGM（AAS），
∴NQ＝MG，MQ＝CG＝1，
在Rt△ACG中，∠ACG＝60°，
∴AG＝CG＝，
设AM＝x，则NQ＝MG＝AG﹣AM＝﹣x，AQ＝MQ﹣AM＝1﹣x，
在Rt△AQN中，AN2＝AQ2+NQ2＝（1﹣x）2+（﹣x）2＝2（x﹣）2+2﹣，
∴当x＝时，AN最小，此时，AM＝，
∴MG＝，
∴CM2＝MG2+CG2＝（）2+1＝2﹣．
即当AN最小时，△CMN的面积为×（2﹣）＝1﹣．


【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．