重庆市沙坪坝区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

这是一份重庆市沙坪坝区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市沙坪坝区2021-2022学年九年级上学期期末调研测试
九年级数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题12小题，每小题4分，共48分）
1. 实数的绝对值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】解：实数-2的绝对值是2，
故选：B．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式，
故选：D．
3. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据表示解集射线方向右，可知x大于2，从数字2出发，且为实心点可知x等于2，综上可知正确选项．
【详解】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字2出发，且为实心点，故x的值大于等于2，
故选：C．
4. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（ ）

A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶13
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质得到，，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与位似，与的面积之比为，
，，
，
，
故选：A．
5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝120°，则∠C的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，，
．
故选：C．
6. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据乘法分配律可以将式子展开，然后化简即可．
【详解】解：


，
故选：B．
7. 如图，AB＝ AD，AC＝ AE，添加一个条件，能够判断△ABC ≌△ADE的是（ ）

A. ∠DAB ＝ ∠EAC B. ∠D＝∠B C. ∠E＝∠C D. ∠D＝∠C
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，
即，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项符合题意；
B．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
故选：A．
8. 已知，甲、乙两地相距720米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中分别表示甲、乙两人离B地的距离y（单位：米），下列说法正确的是（ ）

A. 乙先走5分钟 B. 甲的速度比乙的速度快
C. 12分钟时，甲乙相距160米 D. 甲比乙先到2分钟
【答案】D
【分析】根据图象可判断选项A、D，根据题意结合图象分别求出甲乙两人的速度，进而判断选项B、C．
【详解】解：A．由图象可知，甲先走5分钟，故本选项不合题意；
B．甲的速度为：（米分），乙的速度为：（米分），，故本选项不合题意；
C．12分钟时，甲乙相距：（米，故本选项不合题意；
D．由图象可知，甲比乙先到2分钟，故本选项符合题意．
故选：D．
9. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）

A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 67.5°
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，，证明，即可解决问题．
【详解】解：在正方形中，，，，
，
，
，
．
故选：C．
10. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）

A. 米 B. 米 C. 56米 D. 66米
【答案】B
【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
【详解】解：如图，延长与水平线交于，过作，垂足，过作，为垂足，连接，，

斜坡的坡度为，
，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得，
（米，（米，
斜坡的坡度为，
设米，则米，
，
米，
米，
在中，米，米，
，
，
解得，
（米，（米，
（米，
（米，
答：基站塔的高为米．
故选：B．
11. 若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】C
【分析】表示出不等式组解集，由不等式组无解，得到的取值范围，表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的值，相加即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解为正数，且
即
，而
为整数，
解得：3，
则满足题意的值有0或2或3，0+，
故选：C．
12. 如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为，则k的值为（ ）

A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，所以，设，，则，，利用建立方程可求出的值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

则，
，
设，，则，，
反比例函数经过点、点，
，
，
，
，
解得，
．
故选：D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：_________
【答案】-1
【分析】此题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂法则是解本题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14. 在一个不透明的盒子里有四个分别写有，，1，2数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字记为m，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为n，则的值为负数的概率是____________
【答案】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中的值为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中的值为负数的结果有4种，
的值为负数的概率为，
故答案为：．
15. 关于x的方程与有相同的解，则__________
【答案】7
【分析】先解方程，得，因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把代入方程中求出的值，再代入计算可求解．
【详解】解：，解得：．
把代入方程，
得：，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，点E为AB边的中点，连结DE，以D为圆心，DE长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）

【答案】
【分析】连接，根据菱形的性质得出，，根据等边三角形的判定得出的等边三角形，求出，，根据勾股定理求出，分别求出菱形和扇形的面积即可．
【详解】解：连接，

四边形菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
点为边的中点，
，，
由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，
，
，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
17. 如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点E为BC边的中点，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AFE，连结FC，若BC＝5，则FC的长度为__________

【答案】
【分析】由折叠的性质可得是的垂直平分线，即，，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由三角形中位线定理可求的长．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，

，，
，
点为边的中点，
，，
，
将沿直线翻折至所在的平面内，得，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
18. 一家快餐店销售A、B、C三种套餐，其中A套餐包含一荤两素，B套餐包含两荤一素，C套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤成本相同，一素的成本也相同，一份A套餐售价是一份B套餐售价的，一份C套餐的利润率是100%．一天下来，发现A套餐和B套餐的销量相同，C套餐销售总价是B套餐销售总价的12倍，且C套餐的销售总利润是A、B套餐销售总利润之和的8倍，则C套餐与A套餐这一天的销量之比为_________．
【答案】
【分析】可设一荤成本为，一素成本为，、的销量为，的销量为，根据一份套餐售价是一份套餐售价的，套餐销售总价是套餐销售总价的12倍，套餐的销售总利润是、套餐销售总利润之和的8倍，列出等式，进一步即可求解．
【详解】解：设一荤成本为，一素成本为，的利润为，的利润为，、的销量为，的销量为，依题意有：
，即，
，
①②得：，
，
，
，
，
将代入①中，得：，
．
故套餐与套餐这一天的销量之比为．
故答案为：．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【分析】（1）先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：（1）

；
【小问2详解】
原式

．
20. 为了落实立德树人根本任务，积极响应“双减”政策要求，某校开设了丰富的劳动教育课程． 某日，学生处对学校菜圃耕作情况进行了一次评分．从七、八年级各随机抽取20块菜圃，对这部分菜圃的评分进行整理和分析（采圃评分均为整数，满分为10分，9分（含9分）以上为“五星菜圃”）． 相关数据统计、整理如下：
抽取八年级菜圃的评分（单位：分）：
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10．
七、八年级抽取的菜圃评分统计
年级
七年级
八年级
平均数
8.25
8.15
中位数
8.5
a
众数
b
8
方差
1.6875
0.4275
七、八年级抽取的菜圃评分扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）该校七年级共19个班，每班有4块菜圃，估计该校七年级“五星菜圃”的数量；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级的菜圃耕种情况谁更好．
【答案】（1）8；10
（2）42块 （3）见解析
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到、的值．
（2）用七年级总共菜圃数乘以样本中9分以上的菜圃所占的百分比即可；
（3）根据优秀率进行评价即可．
【小问1详解】
解：（1）抽取20块八年级菜圃的评分（单位：分）
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10，
第10，11个数均为8，故八年级中位数．
根据扇形统计图可知七、八年级抽取的菜圃，
七、八年级评为6分的共有（块），评为7分的共有（块），评为8分的共有（块），
评为9分的共有（块），评为10分的共有（块），
则七年级评为6分的有（块），评为7分的有（块），评为8分的有（块），
评为9分的有（块），评为10分的有（块），
七年级评为10分的最多，故众数．
故答案为：8；10；
【小问2详解】
（块）．
故可估计该校七年级“五星菜圃”的数量约为42块；
【小问3详解】
七年级的菜圃耕种情况更好．理由如下：
七年级菜圃的平均分比八年级高（或七年级菜圃的中位数高于八年级；七年级菜圃的众数高于八年级）．
或八年级的菜圃耕种情况更好．因为八年级菜圃的方差小于七年级．
21. 如图，在□ABCD中，，点E在线段AD 上，连结CE．

（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线交AC于点F、交BC于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若点F为线段AC的中点，证明：BG＋CE＝AD．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）利用基本作图作于；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形，根据菱形的性质即可得到结论．
小问1详解】
解：如图，为所作；

【小问2详解】
证明：连接，
，点为线段的中点，
垂直平分，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
．
22. 探究函数性质，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，观察当自变量取值互为相反数时，函数值的变化特点，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

…







1
2
3
…

…



0
2





…

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【分析】（1）将、、、代入计算即可，描点连线可补全图象；
（2）根据图象判定即可；
（3）根据和图象的交点横坐标，即可得到答案．
【小问1详解】
解：时，，
时，，
时，，
当时，，

…







1
2
3
…

…



0
2
-2
0
2


…

观察当自变量取值互为相反数时，函数值也是互为相反数，
补全该函数图象如下：

【小问2详解】
由函数的图象可知，该函数的图象关于原点成中心对称；
【小问3详解】
由图象可得，
不等式的解集为：或．
23. 某公司有种产品今年11月销往国内的销售单价比销往国外的销售单价低50元；该产品销往国内1件与销往国外2件的售价和为400元．
（1）求11月这种产品销往国内、国外的销售单价分别是多少元？
（2）今年11月，该公司这种产品销往国内的销售数量为1000件，销往国外的销售数量为2000件． 12月受疫情等各种因素的影响，该产品销往国内的销售单价比原来下降，销往国外的销售单价比原来上涨，结果销往国内的销售数量比上月增加，销往国外的销售数量比上月减少．该产品12月的销售总金额与11月的销售总金额相同．求的值．
【答案】（1）国内的销售单价为100元，国外的销售单价为150元
（2）20
【分析】（1）设11月这种产品销往国内的销售单价为元，则销往国外的销售单价为元，根据该产品销往国内1件与销往国外2件的售价和为400元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出11月这种产品销往国内的销售单价，再将其代入中即可求出销往国外的销售单价；
（2）利用销售总金额销售单价销售数量，结合该产品12月的销售总金额与11月的销售总金额相同，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值．
【小问1详解】
解：设11月这种产品销往国内的销售单价为元，则销往国外的销售单价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：11月这种产品销往国内的销售单价为100元，销往国外的销售单价为150元．
【小问2详解】
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为20．
24. 阅读材料，回答问题：
材料一：一个自然数的各个数位数字之和为8，则称这个数为“幸运数”．
材料二：把一个原始数据经过某种算法处理成另外一个数据称为加密，原始数据称为明文，处理后的数据称为密文．已知明文是个位数字不为零的三位自然数，经过加密后的密文为，加密算法为：①将的百位数字与个位数字对调后得到新的三位数；②密文为新的三位数与的个位数字的4倍的差．
例如：当＝231时，＝＝128．
（1）判断明文152是否是“幸运数”，说明理由并求出加密后的密文；
（2）已知某个数是个位数字不为零的三位“幸运数”，将这个数按材料二中的方法加密后得到的密文能被8整除，诸求出这个数的所有可能结果．
【答案】（1）是，加密后的密文为243；
（2）611，233，422
【分析】（1）根据幸运数的定义判断，然后根据加密方法求出密文即可；
（2）设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据题意列出代数式求出符合条件的正整数解即可．
【小问1详解】
解：明文152是幸运数，
理由：，
是幸运数，
将152百位数字和个位数字对调后为251，
，
加密后的密文为243；
【小问2详解】
设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
，
这个三位数，
根据密文求法可知，对调百位数和个位数后为：，
密文为：，
密文能被8整除，
能被8整除，且，
满足条件的有：，，；
，，；
，，；
即这个数可能为611，233，422．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，6），B（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Р为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，过点P作PM⊥AB于M﹐当线段PM的长度取得最大值时，求点Р的坐标和线段PM的长度；
（3）把抛物线沿射线AB方向平移个单位，c是新抛物线对称轴上一点，D为平面上任意一点，直接写出所有使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2），，
（3），或，或，或，
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）延长交轴于点，求出直线的解析式为，由，设，则，，则，可得，当时，有最大值，此时，；
（3）设向右平移个单位，则向下平移个单位，由抛物线沿射线方向平移个单位，可得，平移后的函数为，设，，，分两种情况讨论：①当与是对角线，，由，可得，求得，或，；②当与是对角线，，由，得，可得，或，．
【小问1详解】
解：将点，代入，
7
解得，
；
【小问2详解】
如图1，延长交轴于点，

设直线的解析式为，
，
解得，
，
与轴的交点为，
，轴，
，
设，则，
，
，
，
，
当时，有最大值，此时，；
【小问3详解】
设向右平移个单位，则向下平移个单位，
沿射线方向平移个单位，
，
∵，
∴，
对称轴为直线，
设，，，
，，
，
①如图2，当与是对角线，

，
，
，
，
，
或，
，或，；
②如图3，当与是对角线，

，
，
，
，
，
，或，；
综上所述：点坐标为，或，或，或，．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）
26. 在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连结DB ．

（1）如图1，若∠ABD ＝15°，BD＝2，求线段AD的长度；
（2）如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连结BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结BF，线段CE、BF交于点G，连结AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结AE，直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【分析】（1）作于，则解和，即可解决问题；
（2）首先利用证明，得，作，交于，再利用证明，得，，从而得出结论；
（3）以为边作等边三角形，连接，，利用证明，则，可知点在射线上运动，从而解决问题．
【小问1详解】
解：作于，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
作，交于，

，
，
，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问3详解】
如图，以为边作等边三角形，连接，，

和是等边三角形，
，，，
，
，
，
点在射线上运动，
作，交的延长线于，
当点与重合时，最小，
的最小值值为．