湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列第2课时随堂练习题

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用

A级必备知识基础练

1.(2022河南南阳高二期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=4n+a,则实数a的值等于 (　　)

A.-4 B.-1 C.0 D.1

2.已知在等比数列{an}中,a1=1,a1+a3+…+a2k+1=85,a2+a4+…+a2k=42,则k=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

3.已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若S4=6,S8=18,则S16=(　　)

A.48 B.54 C.72 D.90

4.(2022天津河西高二期末)已知等比数列的首项为-1,前n项和为Sn,若,则公比q=(　　)

A.2 B.-2 C. D.-

5.已知在等比数列{an}中,a1=1,且=8,那么数列的公比为　　　　　,S5=　　　　　. 

6.已知正项等比数列{an}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=　　　　　. 

7.(2022安徽宣城高二期末)已知等比数列{an}为递增数列,且前n项和为Sn,S3=,a3a4=a5.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若4an=3Sn,求正整数n的值.

B级关键能力提升练

8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=5,S4=20,则=(　　)

A.9 B.10 C.12 D.17

9.(2022河南新乡高二期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则数列{an}的公比q=(　　)

A.2 B.-2

C. D.-

10.某工厂购买一台价格为a万元的机器,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为5‰,每月复利一次,则a,b满足(　　)

A.b=

B.b=

C.b=

D.<b<

11.已知等比数列{an}的公比q>0,前n项和为Sn,则的大小为(　　)

A.

B.

C.

D.

12.(多选题)(2022江苏常州高二期中)记数列{an}的前n项和为Sn,则下列四个说法错误的有(　　)

A.若对于∀n∈N+,=anan+2,则数列{an}为等比数列

B.若Sn=Aqn+B(非零常数q,A,B满足q≠1,A+B=0),则数列{an}为等比数列

C.若数列{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列

D.设数列{an}是等比数列,若a1<a2<a3,则{an}为递增数列

13.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车,以后电力型公交车每年投入的辆数比上一年增加50%.

(1)求该市在2028年应该投入多少辆电力型公交车;

(2)求到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的.(已知37=2 187,38=6 561)

C级学科素养创新练

14.某市为鼓励全民健身,从2021年7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知2021年7月投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,自8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%.若2021年12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为(　　)

A.243 B.172 C.122 D.74

15.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若,求的值.

参考答案

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用

1.B　根据题意,等比数列{an}的前n项和为Sn=4n+a,则a1=41+a=4+a,a2=S2-S1=(42+a)-(4+a)=12,a3=S3-S2=(43+a)-(42+a)=48,则有(4+a)×48=144,解得a=-1.故选B.

2.B　设等比数列{an}的公比为q,则a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2kq=85,

即q(a2+…+a2k)=85-1=84.

因为a2+a4+…+a2k=42,所以q=2.

则a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=,即128=22k+1,解得k=3,故选B.

3.D　因为{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,且由题意可知q≠-1,

所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12也成等比数列,且公比为=2.

所以S12-S8=2(S8-S4)=24,所以S12=42,因此S16-S12=2(S12-S8)=48,所以S16=90.故选D.

4.D　(方法1)当q=1时,=2,不满足题意;

当q≠1时,S10=,S5=,则=q5+1=,解得q=-.故选D.

(方法2)设S10=31k,S5=32k(k∈R,且k≠0),则由S10=S5+q5S5可知31k=S5(1+q5)=32k(1+q5),解得q=-.故选D.

5.8　31　设公比为q,∵=8,a1=1,

∴=q3=8,

∴q=2.

∴S5==31.

6.2　设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,前2n项之和为S2n,

则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇.

由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇.

因为an>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.

7.解(1)设公比为q,由a3a4=a5,可得q5=a1q4,故a1q=1.

因为S3=a1+a2+a3=,所以+1+q=,

解得q=3或q=.

故可得a1>0,又因为{an}为递增数列,所以q=3.

故an=a2qn-2=.

(2)由(1)可得,Sn=,

若4an=3Sn,则4×3n-2=(3n-1),解得n=2.

8.B　设等比数列{an}的公比为q,因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20,

所以q=3,则=q2+1=10.故选B.

9.C　由已知q≠1,则解得

10.D　因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,所以12b<a(1+0.005)12,

所以b<.

显然12b>a,即<b<.

11.C　+1,+1.

因为q>0,所以+1>0,即.

12.AC　若an=0,满足对于∀n∈N+,=anan+2,但数列{an}不是等比数列,故A错误.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn+B-(Aqn-1+B)=Aqn-1(q-1)且q≠1;

当n=1时,a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式.

故数列{an}是首项为A(q-1),公比为q的等比数列,故B正确.

若数列{an}为等比数列,当公比q=-1,且n为偶数时,此时Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均为0,不是等比数列,故C错误.

设数列{an}是等比数列,且公比为q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,则{an}为递增数列;

若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,则{an}为递增数列.故D正确.

13.解(1)依题意可知,从2022年起每年投入的电力型公交车的辆数可构成等比数列{an},其中a1=128,q=,则a7=a1q6=128×6=1458.

故2028年应投入电力型公交车1458辆.

(2)设{an}的前n项和为Sn,

则Sn==256n-1.

由Sn>(10000+Sn)×,得Sn>5000,

即256n-1>5000,即n>,又n∈N+,∴n≥8.

故到2029年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.

14.D　设B型健身器材这6个月投放量构成数列{bn},则bn是以b1=64为首项,以q=为公比的等比数列,

∴其前6项和为S6==1330.

则令5a+300+1330≥2000,解得a≥74,故选D.

15.解(方法1)设等比数列{an}的公比为q,由题意可知q≠1,则Sn=.

∵,∴,即1+q5=3,∴q5=2,

∴.

(方法2)设S5=k,S10=3k(k∈R,且k≠0),由题意可得q≠-1,则S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等比数列,则S15-S10=4k,S20-S15=8k,可得S15=7k,S20=15k,故.