湘教版（2019）选择性必修 第一册1.1 数列的概念第2课时同步练习题

第2课时　数列的递推公式

A级必备知识基础练

1.若数列{an}的通项公式为an=kn,且数列{an}是递减数列,则实数k的取值范围是(　　)

A.R B.(0,+∞)

C.(-∞,0) D.(-∞,0]

2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N+),则a4的值为(　　)

A.5 B.6

C.7 D.8

3.(2022上海大学附中高二期中)若数列{an}是递减数列,则数列{an}的通项公式可以为(　　)

A.an=

B.an=

C.an=-n2+4n

D.an=|n-4|

4.已知数列{an},a4=,且满足an+1=an+,则此数列的首项是(　　)

A.1 B.

C. D.

5.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an(n∈N+),则数列{an}的最大项是(　　)

A.a1 B.a9

C.a10 D.a11

6.(2022江苏仪征二中高二期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N+),则an=(　　)

A.n+1 B.n

C. D.

7.在由火柴棒拼成的图形中,第n个图形由n个正方形组成.

通过观察可以发现:第n个图形中火柴棒的个数an与第n+1个图形中火柴棒的个数an+1之间的关系是　　　　　. 

8.已知数列{an}的通项公式为an=(k∈R).

(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;

(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.

B级关键能力提升练

9.若数列{an}满足a2n=a2n-1+a2n+1(n∈N+),则称{an}为“Y型数列”,则下列数列不可能是“Y型数列”的是(　　)

A.-1,0,1,0,-1,0,1,…

B.1,2,1,3,5,2,3,…

C.0,0,0,0,0,0,0,…

D.2,1,-1,0,1,2,1,…

10.(多选题)若数列{an}是递增数列,则数列{an}的通项公式可以为(　　)

A.an= B.an=n2+n

C.an=1-2n D.an=2n+1

11.(多选题)(2022江苏淮安高二联考)若数列{an}满足a1=1,a2=3,anan-2=an-1(n≥3),记数列{an}的前n项积为Tn,则下列说法正确的是(　　)

A.Tn无最大值 B.an有最大值

C.T2 020=9 D.a2 020=3

12.已知数列an=,则数列{an}的前30项中的最大项与最小项分别是(　　)

A.a1,a30 B.a30,a1 C.a5,a6 D.a6,a5

13.(2022安徽宣城高二期末)已知an=n2-tn+2 020(n∈N+,t∈R),若数列{an}中的最小项为第3项,则t的取值范围为　　　　　. 

14.请写出一个符合要求①②③的数列{an}的通项公式.

①{an}为无穷数列;②{an}为递增数列;③0<an<2.

这个数列的通项公式可以是　　　　　. 

15.若数列(2n-1)中的最大项是第k项,则k=　　　　　. 

16.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).

(1)试写出数列的一个递推关系;

(2)求数列{an}的通项公式.

C级学科素养创新练

17.(多选题)(2022江苏苏州相城望亭中学高二月考)若不等式(-1)na<2+对于任意正整数n恒成立,则实数a的可能取值为              (　　)

A.-2 B.-1 C.2 D.1

18.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=当a6=1时,求m所有可能的取值.

参考答案

第2课时　数列的递推公式

1.C　∵{an}是递减数列,∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.

2.D　因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.

3.B　若an==1-,则数列{an}为递增数列;若an=,则数列{an}为递减数列;

若an=-n2+4n=-(n-2)2+4,则数列{an}不是递减数列;若an=|n-4|,则数列{an}不是递减数列.故选B.

4.A　由a4=,且an+1=an+,得a4=a3+,可得a3=.

由a3=a2+,可得a2=1.

由a2=a1+,可得a1=1.

5.A　因为a1>0且an+1=an,

所以an>0,<1,所以an+1<an,所以此数列为递减数列,故最大项为a1.

6.C　由题意,an+1=an,即an+1·(n+2)(n+1)=an·(n+1)n.

因为a1=1,所以an+1·(n+2)(n+1)=an·(n+1)n=…=a1·2·1=2,可得an=.故选C.

7.an+1-an=3(n≥1)　通过观察,第1个图形中,火柴棒有4根;

第2个图形中,火柴棒有4+3根;

第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;

第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根.

可以发现,从第二项起,每一项与前一项的差都等于3,即a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,an+1-an=3(n≥1).

8.解(1)当k=1时,an=,所以an+1=,

所以an+1-an=>0,

故数列{an}是递增数列.

(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,

即an+1-an=<0恒成立.

因为(2n+5)(2n+3)>0,

所以必有3k<0,故k<0.

所以k的取值范围为(-∞,0).

9.B　数列{an}满足a2n=a2n-1+a2n+1(n∈N+),即数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和,B不符合条件,故选B.

10.BD　an=,a1=1,a2=,则{an}不是递增数列,因此A不符合题意;

an=n2+n,an-an-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n>0,则{an}是递增数列,因此B符合题意;

an=1-2n,an-an-1=(1-2n)-[1-2(n-1)]=-2,则{an}不是递增数列,因此C不符合题意;

an=2n+1,函数y=2x+1为增函数,则{an}是递增数列,因此D符合题意.故选BD.

11.BC　由题意,数列{an}满足a1=1,a2=3,anan-2=an-1(n≥3),

所以a3==3,a4==1,同理可得a5=,a6=,a7=1,a8=3,…,

所以数列{an}是周期为6的数列,即an+6=an,且a1a2a3a4a5a6=1,

所以Tn有最大值,最大值为9,an有最大值,最大值为3,故A错误,B正确;

T2020=(a1a2a3a4a5a6)336·a1a2a3a4=9,a2020=a4=1,故C正确,D错误.故选BC.

12.D　an==1+,

又因为f(n)=是反比例函数,且5<<6,

所以当n=5时,an最小,即最小项为a5.

当n=6时,an最大,即最大项为a6.故选D.

13.(5,7)　已知an=n2-tn+2020(n∈N+,t∈R),

∵数列{an}中最小项为第3项,

∴,解得5<t<7.

14.an=2-(答案不唯一)

15.6　根据题意知,当k>1时,有

即

解得<k<.

又k∈N+,所以k=6.

又a1=<a6,所以k=6.

16.解(1)因为a1=1,an+1=,

所以an≠0,+1,

所以+1(n≥1),=1为数列的一个递推关系.

(2)由(1)可得=1(n≥1),则=1,=1,=1,…,=1(n≥2),

将上述(n-1)个等式相加,得=n-1,即=n,即an=,n≥2.

当n=1时,a1==1,符合上式,所以an=(n∈N+).

17.ABD　不等式(-1)na<2+对于任意正整数n恒成立,

当n为奇数时有-a<2+恒成立,由f(n)=2+在(0,+∞)上单调递减,且f(n)>2,得-a≤2,即a≥-2.

当n为偶数时有a<2-恒成立,由f(n)=2-在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=,得a<.

综上可得-2≤a<,故选ABD.

18.解若a5为奇数,则3a5+1=1,a5=0(舍去).

若a5为偶数,则=1,a5=2.

若a4为奇数,则3a4+1=2,a4=(舍去).

若a4为偶数,则=2,a4=4.

若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,则a2=2,a1=4.

若a3为偶数,则=4,a3=8.

若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去).

若a2为偶数,则=8,a2=16.

若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5.

若a1为偶数,则=16,a1=32.

综上,m的所有可能取值为4,5,32.