河北省保定市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）

河北省保定市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题

1.     (    )

A.  B.  C.  D.

2.     若向量，，则(    )

A. Z， B. Z，
C. R， D. R，

3.     设集合A，B，C均为非空集合．

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4.     若为圆的弦MN的中点，则直线MN的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知为偶函数，且函数在上单调递减，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公益组织分别在A，B两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试式满分100分，这20名学生得分的散点图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是(    )

A. A校学生分数的平均分大于B校学生分数的平均分
B. A校学生分数的众数大于B校学生分数的众数
C. A校学生分数的中位数等于B校学生分数的中位数
D. A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差

7.     已知函数，则(    )

A. 的最小正周期为 B.
C. 的图象关于点对称 D.

8.     为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线曲线AB与曲线为某双曲线离心率为的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处的距离为30cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，则(    )

A.  B.  C. 38cm D.

9.     若，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

11. 已知为曲线上一动点，则(    )

A. 的最小值为1
B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C. P到直线的距离的最小值小于
D. 的最小值为6

12. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则(    )

A.  B. 数列为等比数列
C. 数列单调递增 D. 数列的前n项和恒小于4

13. 的最小值为__________.
14. 函数的图象在点处的切线方程为__________.
15. 某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有A，B，C三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为__________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有__________种．
16. 如图，DE是边长为4的等边三角形ABC的中位线，将沿DE折起，使得点A与P重合，平面平面BCDE，则四棱锥外接球的表面积是__________.
17. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与现测得，，在点C测得塔顶A的仰角为

求B与D两点间的距离结果精确到；

求塔高结果精确到

参考数据：取，，

18. 在数列中，，且数列是公差为2的等差数列．

求的通项公式；

设，求数列的前n项和

19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面底面ABCD，且，，
     

证明：

若，求二面角的余弦值.

20. 某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元，在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元，在使用期间，每台设备需要更换的零件个数m的分布列为

X表示2台设备使用期间需更换的零件数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

求X的分布列；

以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个?

21. 已知函数

若，讨论在上的单调性；

若函数在上的最大值小于，求m的取值范围．

22. 已知椭圆E：经过，，，四个点中的三个．

求E的方程．

若M，N为E上不同的两点，O为坐标原点，且与垂直，试问E上是否存在点异于点，使得？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.
根据复数的四则运算法则展开进行计算即可.

【解答】

解：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标表示及运算，属于基础题.
根据向量垂直的坐标表示可判断根据向量平行的坐标表示可判断根据向量数量积的坐标表示可判断根据向量模的坐标表示可判断

【解答】

解：因为向量，，
对于若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确;
对于，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确;
对于令可得：，所以存在，使得，故，不成立，故选项C不正确；
对于，，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确.
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的基本运算，属于基础题.
由集合的运算关系依次判断各选项即可得出结果.

【解答】

对于A，，当，，时，结论不成立，则A错误;
对于B，，当，，时，结论不成立，，则B错误;
对于因为，，所以，又，所以，则，则C正确;
对于D，，当，，时，结论不成立则D错误;
故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查用斜截式求直线方程的方法，两直线垂直的充要条件，属于基础题.
利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于，求出直线MN的斜率，用斜截式求得直线MN的方程．

【解答】

解：圆的圆心为，，
由题意，直线MN与直线PC垂直，则，
由斜截式得到直线MN的方程为，
故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题.
根据函数的奇偶性概念易知为奇函数，又在上单调递减，根据奇函数的对称性可知在R上单调递减，再根据，可得，再根据奇偶性和单调性即可求出结果.

【解答】

解：因为为偶函数，所以为奇函数，
又在上单调递减，所以在R上单调递减，
所以由，得，
即，
由在R上单调递减，
所以，得，
即
故选

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查样本的均值，众数，中位数，方差，属于中档题.
从表中读出A，B两校的数据，对照定义逐一判断选项即可.

【解答】

解：从图中可知A校学生的分数为：50，51，60，63，65，69，74，76，76，78，
B校学生的分数为：53，55，56，61，63，63，64，65，65，73，
从而A校学生的均分为，B校学生的均分为，故A正确；
A校学生的众数为76，B校学生的众数为64，故B正确；
A校学生的中位数为67，B校学生的中位数为63，故C错误；
从图中可以明显看出A校学生分数波动较大，而B校学生分数波动较小，从而A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差，故D正确.
故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题.
根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A，C是否正确;
当时，易得，再根据，即可判断B是否正确;
由函数的单调性，可知在上单调递增，再根据，由单调性新即可判断D是否正确.

【解答】

解：因为函数，所以的最小正周期为，故A错误;
当时，，所以，所以，而，所以，故B错误;
若的图象关于点对称，则，
又，

所以，故C错误;
由于函数的图象是将函数在x轴下方的图象翻折到x轴上方，所以可知在，上单调递增，
令，，
所以在区间，上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以，故D正确.
故选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了双曲线方程与双曲线几何性质的应用，属于中档题.
建立坐标系，得到双曲线方程以及A点纵坐标，求出A点横坐标，即可得出结论.

【解答】

解：建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知，，，
又，所以，
所以，
所以双曲线方程为，
由，得A点纵坐标为18，代入双曲线方程得，解得，
所以
故选

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查两角和的正切公式，考查运算化简的能力，属于中档题.
根据条件化简即可得；由题意易知，再根据两角差的正切公式，可知，进而求得，由此即可得到，对k取值，逐项判断即可得到结果.

【解答】

由，可知，
当，即，时，
，，
显然不成立，故
所以，则，
所以，即，，
当时，，当时，，当时，，
令，得，故的值不可能为
故选：

10.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了简单多面体及其结构特征，几何体中的截面问题的应用，属于中档题.
根据已知及简单多面体及其结构特征，几何体中的截面问题的判断，可知哪几个正确.

【解答】

解：由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故选：BD
 

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线定义，点到直线距离公式，属于中档题.
将代入可求出最小值，判断A选项；用抛物线定义判断B选项；用点到直线距离公式和，求出最小值，判断利用几何意义以及抛物线的定义求出式子的最小值，判断

【解答】

解：，化简得：，，，
对于A：
，故A正确;
对于B：，，，图像为抛物线得一部分，根据抛物线定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故B正确;
对于C： P到直线的距离为，
，，最小值为，故C错误;
对于D：的几何含义为曲线上一点，到，距离和的最小值，为抛物线焦点，根据抛物线定义，问题转化为到准线距离的最小值，根据几何意义点到直线的距离为垂线段的距离故D正确.
故选：

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列的概念和表示，通项公式，等比数列的判断，数列求和等，属于较难题.
时，与其不互质的数是，，，，，总计有个，求得，可判断A；与不互质的数总计有个，所以，可判断B；令，3可判断C；，裂项相消法求和可判断

【解答】

解：时，与其不互质的数是，，，，，总计有个，
所以，，A正确；
与不互质的数总计有个，所以，满足，所以数列为等比数列，B正确；
，，，所以数列不单调递增，C错误；
 ，，
所以数列的前 n项和等于， D正确；
故选

13.【答案】9 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
先化简，再利用基本不等式求最小值即可．

【解答】

解：因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为
故答案为：9

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的运算及几何意义，属于基础题.
求出导数，利用导数的几何意义求出斜率，再由直线方程的点斜式化简可得.

【解答】

解：因为，
所以，且，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即
故答案为

15.【答案】

540

【解析】

【分析】

本题考查了排列组合及概率的运算，属于中档题.
先由排列组合知识得出分配方案的种数、每个入口都有女志愿者的分配方案种数，结合古典概型概率公式求解即可；
根据题意，先把3名女志愿者分配到3个不同的入口，易得其分配方法，再将5名男志愿者分成2，2，1三组分配到三个入口，由分步乘法计数原理可得.

【解答】

解：由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，
分配方案共有种，
3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，
故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为；
每个入口都有女志愿者的分配方案共有种.
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面图形的翻折问题，考查空间几何体的结构特征，考查球的性质以及有关计算，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题.
由题意，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式计算球的表面积.

【解答】

解：取BC的中点G，连接，可知，则G为等腰梯形BCED的外接圆的圆心，

过G作平面BCED的垂线，再过的外心作平面PDE的垂线，设两垂线的交点为O，

则O为四棱锥外接球的球心，
因为三角形ABC的边长为4，
的边长为2，，

则四棱锥外接球的半径，

四棱锥外接球的表面积为

故答案为：

17.【答案】解：在中，，
由正弦定理得，
则
由正弦定理得，
则
，
故塔高 

【解析】本题考查正弦定理的应用，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题.
在中，利用正弦定理求解即可；
在中利用正弦定理求出BC，再在直角三角形ABC中可求出AB即可.
 

18.【答案】解：由，且数列是公差为2的等差数列，
得第3项是，故首项为0，
，
；
由可得，，
，
 

【解析】本题考查等差数列通项公式，裂项相消法求和，考查运算化简的能力，属于中档题.
由题意得数列是公差为2，首项为0的等差数列，代入等差数列通项公式得，移项可得；
由可得，利用裂项相消法可得答案.
 

19.【答案】证明：如图所示：由已知底面ABCD为平行四边形，且，，，
所以，，，
又平面底面ABCD，交线为CD，底面ABCD，
所以平面PCD，
而平面PCD，所以

因为，取CD、AB的中点O、E，
则由已知，平面PCD，底面ABCD，
由知，，，
以O为原点，直线OE，OC，OP为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则由已知，，，，，
，，，
设，分别是平面PAB和平面PBC的法向量，
则，，
即，，
可取，，
设二面角的平面角为，这里为钝角，
由，知
因此，二面角的余弦值为 

【解析】本题考查利用直线与平面以及平面与平面垂直的性质，证明直线与直线垂直，利用空间向量求二面角，属于中档题.
利用勾股定理可知，再利用平面底面ABCD，可知平面PCD，进一步即可证明结论成立；
首先判断，，，所以可以O为原点，直线OE，OC，OP为轴，建立空间直角坐标系，利用向量可解决问题.
 

20.【答案】解：由已知得X的所有可能取值为10，11，12，13，14，
，
，
，
，
，
的分布列为：

由得，，
设Y为2台机器在购买易损零件所需费用，
买11个所需费用期望：

，
买12个所需费用期望：

，
，
故买12个更合适． 

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，属于中档题.
由已知得X的所有可能取值为10，11，12，13，14，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；
由可知，，分别求出买11个所需费用期望和买12个所需费用期望，进行比较得出答案.
 

21.【答案】解：，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
从而当时，在单调递减，在单调递增;
当时，在单调递减.
由题意，若在上的最大值小于，则对任意，恒成立.
从而，故，
，
由于，从而，而，
当时，即时，
令，在单调递减，在单调递增，
又，
符合题意；
当时，即时，，在单调递减，
而，从而恒成立，也符合题意；
综上 

【解析】本题考查利用导数求函数单调性，求函数最值，属于较难题.
先求出的单调区间，再按a与1的关系分情况讨论即可;
利用“端点效应”，将代入，使得，缩小m的取值范围，再分情况讨论m，令恒成立，进而得到m的取值范围.
 

22.【答案】解：因为B，D两点的横坐标相同，所以可判断这两点不能同时在E上.
假设B不在E上，则由椭圆的对称性可知，C也不在E上，这与E经过A，B，C，D四个点中的三个点矛盾，
故假设不成立，从而B在E上，
因此E过，，则，且，得，
故E的方程为；
解：设，，
因为与垂直，所以MB与NB关于直线对称，于是有，
设直线MB的斜率为k，则直线NB的斜率为，
则直线MB的方程为，直线NB的方程为，
联立可得，
由韦达定理可得，即，
同理可得，
则，
因为，
所以当G与C重合，即G的坐标为时，，
所以E上存在定点G满足题意，其中G的坐标为 

【解析】本题考查了椭圆的性质，以及椭圆与直线的综合应用，属于较难题.
根据椭圆的对称性，和坐标的特点，即可确定A，三点在椭圆上，由此即可求出椭圆方程;
因为与垂直，可知MB与NB关于直线对称，于是有，设直线MB的方程为，直线NB的方程为，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理，可证明，可知当G与C重合，即G的坐标为时，满足题意.