2021-2022学年河北省保定市高一上学期期末调研考试数学试题含解析

  保定市2021~2022学年度上学期高一期末调研考试

数学试卷

满分150分，时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题：“，”的否定是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.

【详解】命题：“，”是全称命题，

它的否定是特称命题：，，

故选：C

2. 已知集合，，全集，则（）

A.  B.  C.  D. I

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.

【详解】由题意得，所以．

故选：B

3. （）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用角度弧度互化即得.

详解】．

故选：C.

4. 已知，则（）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式，可得，计算化简，即可得答案.

【详解】由，得，

所以．

故选：B

5. 若函数为上的奇函数，则实数的值为（）

A.  B.  C. 1 D. 2

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.

【详解】函数为上的奇函数,

故，得，

当时，满足，

即此时为奇函数，

故，

故选：A

6. 函数的最小值为（）

A. 1 B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数的运算法则，化简可得，分析即可得答案.

【详解】由题意得，

当时，的最小值为.

故选：D

7. 已知，，且满足，则的最小值为（）

A. 2 B. 3 C.  D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当时，即，时取等号．

所以的最小值为.

故选：C

8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.

【详解】由题意必有，可得，且，

整理为．令

由换底公式有，

由函数为增函数，

可得函数为增函数，

注意到，

所以由，得，

即，实数a的取值范围为．

故选:D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知，则（）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.

【详解】，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．

故选：BCD

10. 下列说法正确的是（）

A. 的值与的值相等

B. 的值比的值大

C. 的值为正数

D. 关于x的不等式的解集为

【10题答案】

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用诱导公式可判断A，利用正弦函数的性质可判断B，利用三角函数的符号可判断C，利用余弦函数的性质可判断D.

【详解】对于选项A，由可知选项A正确；

对于选项B，由及正弦函数的单调性可知B选项正确；

对于选项C，由，，，可知C选项正确；

对于选项D，由余弦函数的图象及，可知关于x的不等式的解集为，故D选项错误．

故选：ABC.

11. 已知为锐角，角的终边上有一点，x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（）

A. 若，则

B. 劣弧的长度为

C. 劣弧所对扇形的面积为是

D.

【11题答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；根据扇形面积公式，可判断C的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】A：

，故，故A正确；

B：劣弧的长度为，故B正确；

C：只有当时，扇形的面积为，故C不正确；

D：，

∵为锐角，故．故D正确.

故选：ABD

12. 若，，则（）

A. 函数为奇函数

B. 当，时，

C. 当，时，

D. 函数有两个零点

【12题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，根据与的关系判断函数的奇偶性，即可判断，

对于BC，利用作差法即可判断；

对于D，根据零点的存在性定理，结合两函数的图像即可判断.

【详解】对于A选项，函数的定义域为，

由，

所以函数为奇函数，可知A选项正确；

对于B选项，由，

有，可知B选项错误；

对于C选项，由，

有，可知C选项正确；

对于D选项，令，

由，，

，

由上可知函数至少有两个零点，

由双钩函数的性质可得函数在上递减，在上递增，

且，

作出函数和的图象，

根据函数和的图象可知，函数有且仅有两个零点，

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域为______．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】利用整体代入法求得的定义域.

详解】令，，可得，，

故函数的定义域为．

故答案为：

14. 已知，则______．

【14题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.

【详解】，．

故答案为：

15. 已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.

【详解】，

，

所以．

故答案为：

16. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______．

【16题答案】

【答案】    ①. 1    ②.

【解析】

【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.

【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：

由图象可知：且

因为，

所以，

由，可得，

因为，所以

所以，整理得；

当时，令，可得，

由韦达定理可得

所以，

因且，

所以或，则或，

所以

故答案为：1，．

【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 计算下列各式的值：

（1），其中m，n均为正数，为自然对数的底数；

（2），其中且．

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；

（2）根据对数的性质、换底公式及对数的运算法则计算可得；

【小问1详解】

解：

．

【小问2详解】

解：

．

18. 已知．

（1）若，求的值；

（2）若，且，求实数的值．

【18~19题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.

（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.

【小问1详解】

由，可得

所以，即，

所以

【小问2详解】

由，可得，

解得或，

而，所以，解得，

所以．

19. 已知函数的最小正周期为，其中．

（1）求的值；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）求函数在区间上的值域．

【19~21题答案】

【答案】（1）

（2）函数的单调减区间为，单调增区间为

（3）

【解析】

【分析】（1）利用求得.

（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.

（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.

【小问1详解】

由函数的最小正周期为，，所以，可得，

【小问2详解】

由（1）可知，

当，有，，

当，可得，

故当时，函数的单调减区间为，单调增区间为．

【小问3详解】

当，有，，

可得，

有，

故函数在区间上的值域为．

20. 已知是幂函数，是指数函数，且满足，．

（1）求函数，的解析式；

（2）若，，请判断“是的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．

【20~21题答案】

【答案】（1），

（2）“”是“”的必要不充分条件

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求得.

（2）通过求函数的值域求得，由此确定充分、必要条件.

【小问1详解】

设，，则

则，代入，

∴，.

【小问2详解】

由（1）知，，，

当时，，有，得，

又由，有，得，故，

当时，，有，得，

又由，有，，解得，故，

由?，故“”是“”的必要不充分条件．

21. 如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．

（1）若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；

（2）若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．

【21~22题答案】

【答案】（1）200米

（2）4608平方米

【解析】

【分析】(1)设苗圃的两边长分别为a，b，依题意列出已知和所求，由基本不等式直接可得；

(2)根据题意列出已知，利用基本不等式将条件化为不等式，然后解不等式可得.

【小问1详解】

设苗圃的两边长分别为a，b（如图），

则，，

当且仅当即时取“=”，

故栅栏总长的最小值为200米．

【小问2详解】

，

而，故，

令，则，

因式分解为，解得，

所以，，当且仅当，即时取“=”，

故苗圃面积的最大值为4608平方米．

22. 已知函数是偶函数．

（1）求实数的值；

（2）若函数的最小值为，求实数的值；

（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数．

【22~24题答案】

【答案】（1）

（2）

（3）当时，方程有一个根；

当时，方程没有根；

当或或时，方程有两个根；

当时，方程有三个根；

当时，方程有四个根．

【解析】

【分析】（1）利用偶函数满足，求出的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求的值；（3）定义法得到的单调性，方程通过换元后得到的根的情况，通过分类讨论最终求出结果.

【小问1详解】

由题意得：，即，所以，其中，

∴，解得：

【小问2详解】

，

∴，

故函数的最小值为，

令，故的最小值为，等价于，解得：

或，无解

综上：．

【小问3详解】

由，

令，，

有

．

由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，

令，有，

方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），

，

当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；

当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；

时，方程②的解为，可得方程①有两个解；

当时，可得或，

1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；

2°当方程②有两负根时，可得，不可能；

3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；

4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，

由上知：当时，方程①有一个根；

当时，方程①没有根；

当或或时，方程①有两个根；

当时，方程①有三个根；

当时，方程①有四个根．

【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不等式等.