人教版八年级上册14.3.1 提公因式法精品教案
展开14.3.1 提公因式法 教学设计
一、教学目标:
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
二、教学重、难点:
重点:用提公因式法分解因式.
难点:如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.
三、教学过程:
问题引入
比一比,看谁算得快
(1)已知:a=46,b=54,x=6,求ax2+bx2的值;=3600
(2)已知:a=101,b=99,求a2-b2的值. =400
你能说说算得快的原因吗?
解:(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400
我们知道,利用整式的乘法运算,有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
知识精讲
探究:请把下列多项式写成整式的乘积的形式:
(1) x2+x=__________;(2) x2-1=__________.
因式分解
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形,即
典例解析
例1.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【分析】解:A.由左边到右边的变形属于因式分解,故本选项符合题意;
B.,原式等式两边不相等,即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;
C.从等式的左边到右边的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;
D.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
故选:A.
【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解的右边是两个或几个因式积的形式,整式乘法的右边是多项式的形式.
【针对练习】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A.
B.
C.
D.
思考:观察下列多项式有何共同特点?
ab+ac; 3x2+x; mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 如:pa+pb+pc的公因式是p.
说出下列各多项式的公因式:
(1) ma+mb;_____ (2) 4kx-8ky;_____
(3) 5y3+20y2;_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____
正确找出多项式的公因式的步骤:
1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母:字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.
例2.(1)多项式中各项的公因式是( )
A. B. C. D.
【分析】解:在多项式中,各系数的最大公因式为5,相同字母的最低次幂为,则各项的公因式是.故选:C.
(2)式子,,中的公因式是( )
A. B. C. D.
【分析】解:因为5a2b(b−a)=−5a2b(a−b),−120a3b3(a2−b2)=−120a3b3(a+b)(a−b),所以式子15a3b3(a−b),5a2b(b−a),−120a3b3(a2−b2)中的公因式是5a2b(b−a).故选:A.
【针对练习】1.与的公因式为( )
A. B. C. D.
2.多项式的公因式是( )
A. B. C. D.
3.多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn(m,n均为大于1的整数)各项的公因式是( )
A.4xm-1yn-1 B.2xm-1yn-1 C.2xmyn D.4xmyn
提公因式法
ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式 提公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析:8与12的最大公约数是___;相同字母有___和___;a的最低指数___,b的最低指数___;公因式是_____.
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?2a2b+3b2c
如何检查因式分解是否正确?
可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
例4.把下列名式分解因式.
(1) 2a(b+c)-3(b+c) (2) 3x2-6xy+x
解:(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1) (注:1不能漏掉)
【点睛】提公因式法步骤(分两步)
第一步:找出公因式;
第二步:提取公因式,将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式,也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
【针对练习】把下列各式分解因式:
(1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解:(1) ax+ay=a(x+y)
(2) 3mx-6my=3m(x-2y)
(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)
(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)
(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)
(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
例5.计算:
(1)39×37-13×91; (2)29×20.21+72×20.21+13×20.21-20.21×14.
解:(1)原式=3×13×37-13×91
=13×(3×37-91)
=13×20
=260;
(2)原式=20.21×(29+72+13-14)
=2021.
【点睛】在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提取公因式的方法可使运算简便.
例6.已知,那么代数式的值是( )
A.2000 B.-2000 C.2001 D.-2001
【分析】解:∵,
∴,
∴
,
故选:B.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获?2.还有没解决的问题吗?
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系,并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列因式分解结果正确的是( )
A. B.
C. D.
2.多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是( )
A.4ab2c B.ab2 C.4ab2 D.4a3b2c
3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1),则m,n的值分别为( )
A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2,n=-2
4.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是( )
A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5
5.计算的结果为( )
A.2021 B.20210 C.202100 D.2021000
6.相邻边长为a,b的矩形,若它的周长为20,面积为24,则的值为( )
A.480 B.240 C.120 D.100
7.一个两位数,将它的十位数字与个位数字对换,这两个两位数的和一定被_____整除.
8.已知方程,则代数式的值是_______.
9.已知,则多项式的值为________.
10.若,则等于______.
11.因式分解:
(1) ; (2); (3) (4)
12.因式分解:
(1); (2) (2x+1)(3x-2)-.
13.先因式分解,再计算求值:
,其中.
14.已知,求的值.
15.阅读理解,并解答下面的问题:
拆项法原理:在多项式乘法运算中,常经过整理、化简,通常将几个同类项合并为一项,或相互抵消为零.反过来,在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项).
例:分解因式:+4x+3
解:原式=+x+3x+3把4x分成x和3x,
=(+x)+(3x+3)将原式分成两组
=x(x+1)+3(x+1)对每一组分别提取公因式
=(x+3)(x+1)继续提公因式
请类比上面的示例,分解因式:+5x+6
16.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是____________,共应用了______次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004,则需应用上述方法______次,结果是_______.
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).
【参考答案】
- B
- C
- B
- A
- C
- B
- 11
- -10
- 2017
- 2018
11.(1)解:原式=
(2)解:原式=
(3)解:原式=
(4)解:原式=
12.(1)解:
.
(2)解:(2x+1)(3x-2)-
=(2x+1)(3x-2-2x-1)
=(2x+1)(x-3)
13.解:
当时,
原式.
14.解:∵6x−3y−1=0,xy=2,
∴2x−y=,
∴当2x−y=,xy=2时,
原式=(xy)3•(2x−y)
=23×
=.
15.解:原式=+2x+3x+6
.
16.(1)提公因式法,2;(2)2004,(x+1)2005;(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2···+x(x+1)n(n为正整数)的结果是:(x+1)n+1.
四、教学反思:
本节中要给学生留出自主的空间,然后引入稍有层次的例题,让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程,从而可用整式的乘法检查错误. 本节课在对例题的探究上,提倡引导学生合作交流,使学生发挥群体的力量,以此提高教学效果.
数学人教版18.1.2 平行四边形的判定教案设计: 这是一份数学人教版18.1.2 平行四边形的判定教案设计,共13页。教案主要包含了教学目标,教学重,教学过程,教学反思等内容,欢迎下载使用。
八年级下册18.1.2 平行四边形的判定教案设计: 这是一份八年级下册18.1.2 平行四边形的判定教案设计,共11页。教案主要包含了教学目标,教学重,教学过程,教学反思等内容,欢迎下载使用。
初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定教案: 这是一份初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定教案,共12页。教案主要包含了教学目标,教学重,教学过程,教学反思等内容,欢迎下载使用。