广西北海市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份广西北海市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西北海市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
2．（3分）预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣7 B．7×107 C．0.7×10﹣6 D．0.7×106
3．（3分）在式子，，，，，2a中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．﹣9a＞﹣9b B．
C． D．7b﹣c＜7a﹣c
5．（3分）已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．的算术平方根是4
B．如果a＜b，那么
C．不是最简分式
D．三角形的重心是三角形三条中线的交点
7．（3分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝（　　）
A． B．4 C． D．14
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（　　）

A．25° B．35° C．50° D．70°
9．（3分）A，B两地航程为48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）27的立方根为　 　．
12．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF且∠A＝45°，∠E＝60°，那么∠F＝　 　度．

14．（3分）关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值为　 　．
15．（3分）如图，∠1＝∠2＝30°，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（5分）计算：．
17．（5分）解不等式组：．
18．（7分）解方程：﹣＝1．
19．（7分）先化简，再求值：÷+，其中a＝﹣1．
20．（7分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD．求证：AE＝FB．

21．（8分）（1）已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）求∠A的度数．

22．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：△ABE≌△GFE；
（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；
（3）如图2，过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，，在（2）条件下，求△AFP周长的最小值．


2021-2022学年广西北海市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.3.14是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.＝3是整数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记实数的分类是解答本题的关键．
2．（3分）预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣7 B．7×107 C．0.7×10﹣6 D．0.7×106
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）在式子，，，，，2a中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：在所列代数式中，分式有，这2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，判断分母中是否含有字母是解题关键．
4．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．﹣9a＞﹣9b B．
C． D．7b﹣c＜7a﹣c
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、因为a＞b，所以﹣9a＜﹣9b，故A不符合题意；
B、因为a＞b，所以b﹣12＜a﹣12，故B不符合题意；
C、因为a＞b，所以a＞b，故C不符合题意；
D、因为a＞b，所以7b﹣c＜7a﹣c，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（3分）已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据三角形三边的性质得到第三边的取值范围，然后根据“＞向右，＜向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将第三边的取值范围在数轴上表示出来，再比较得到结果．
【解答】解：根据三角形三边长度的关系得：
a＞8﹣4，a＞4；
a＜8+4，a＜12；
所以a的取值范围为：4＜a＜12．
在数轴上表示为：．
故选：A．
【点评】首先考查三角形三边长度的关系，其次考查不等式的解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．的算术平方根是4
B．如果a＜b，那么
C．不是最简分式
D．三角形的重心是三角形三条中线的交点
【分析】利用算术平方根的定义、不等式的性质、最简分式的定义及三角形的重心的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、的算术平方根是2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、如果a＜b，那么a﹣＜b﹣，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、是最简分式，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、不等式的性质、最简分式的定义及三角形的重心的定义，难度不大．
7．（3分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝（　　）
A． B．4 C． D．14
【分析】根据二次根式的化简与同类二次根式的概念进行辨别．
【解答】解：∵＝4，
∴由题意得，3a﹣10＝2，
解得a＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了同类二次根式概念的理解应用能力，关键是能准确理解概念，并能对二次根式进行正确的化简．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（　　）

A．25° B．35° C．50° D．70°
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，根据三角形的外角性质得到∠B+∠BAC＝65°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝65°，
∴∠B+∠BAC＝65°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9．（3分）A，B两地航程为48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据题意得出顺水速以及逆水速，进而表示出所用时间即可得出答案．
【解答】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为：
+＝9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间是解题关键．
10．（3分）把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AE＝BD，AD＝CE，DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
【解答】解：∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，
∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
又AC＝AB，
∴△AEC≌△BAD，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△AEC≌△BAD，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）27的立方根为　3　．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．
12．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 　x≥7　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣14≥0，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF且∠A＝45°，∠E＝60°，那么∠F＝　75　度．

【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝45°，
∴∠D＝∠A＝45°，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．（3分）关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值为　﹣3　．
【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（3分）如图，∠1＝∠2＝30°，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为 　75°　．

【分析】首先根据∠1＝∠2，得∠CEA＝∠DEB，再利用ASA证明△AEC≌△BED，得DE＝EC，利用等腰三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠CEA＝∠DEB，
在△AEC与△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠C＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明DE＝CE是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（5分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质和二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝
＝2+5．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及立方根的性质和二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
17．（5分）解不等式组：．
【分析】根据解不等式的表示方法分别解第一个和第二个不等式，解集依据：解的大于号后面是小数，小于号后面是大数，解就是在小数和大数中间．即可得答案．
【解答】解：
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜2，
在数轴上表示不等式①、②的解集（如图），

∴不等式组的解集为1≤x＜2．
【点评】本题考查了一元一次方程组，解本题的关键记住：解的大于号后面是小数，小于号后面是大数，解就是在小数和大数中间．
18．（7分）解方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x（x+3）＝x2﹣9，
去括号得：4+x2+3x＝x2﹣9，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（7分）先化简，再求值：÷+，其中a＝﹣1．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•+
＝+
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（7分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD．求证：AE＝FB．

【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE＝∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△ACE和△FDB中，
，
∴△ACE≌△FDB（SAS），
∴AE＝FB．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（8分）（1）已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）求∠A的度数．

【分析】（1）先作线段AB＝c，再作AB的垂直平分线，垂足为D，然后截取CD＝AD，则△ABC满足条件；
（2）由于AC＝BC，CD⊥AB，则AD＝CD，所以△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A的度数．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，

（2）∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
22．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【分析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过1600元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘记检验．
23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：△ABE≌△GFE；
（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；
（3）如图2，过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，，在（2）条件下，求△AFP周长的最小值．

【分析】（1）根据平行及AE＝EG即可得出全等．
（2）由题意可得CD＝DF，再根据第（1）问的全等即可求出AB＝GF．
（3）根据题意可得F点是BC中点，D点是AC中点，进而可得DH是FC的中垂线，根据将军饮马可得P点与D点重合时△AFP周长的最小．
【解答】（1）证明：∵GD∥AB，
∴∠B＝∠EFG．
在△ABE和△GFE中，

∴△ABE≌△GFE（AAS）．
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠B，
∴∠DFC＝∠DCF．
∴DC＝DF＝1．
∵DG＝3，
∴FG＝DG﹣DF＝2．
∵△ABE≌△GFE，
∴AB＝GF＝2．
（3）解：∵AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∵AB∥DF，
∴∠FDC＝∠BAC＝90°，
即FD⊥AC．
∵AC＝AB＝2，CD＝1，
∴DA＝DC，
∴FA＝FC，
∴∠C＝∠FAC＝45°，
∴∠AFC＝90°，
∴DF＝DA＝DC＝1．
∵DH⊥CF，
∴FH＝CH，
∴点F与点C关于直线PD对称，
∴当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝．
【点评】本题考查三角形综合问题，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、全等三角形性质与判定、将军饮马模型是解题关键．