重庆市江津区白沙中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份重庆市江津区白沙中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共31页。
2022-2023学年重庆市江津区白沙中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的。请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。
1．（4分）在下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
2．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）10月21日重庆市发布2020年前三季度重庆市经济运行情况，全市实现地区生产总值约17700亿元，则数据17700可用科学记数法表示为（　　）
A．17.7×103 B．1.77×103 C．1.77×104 D．1.77×105
4．（4分）将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
5．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
6．（4分）的值在（　　）
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之在 D．2和3之间
7．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
8．（4分）下列图形都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第①个图形有2个圆圈，第②个图形有5个圆圈，第③个图形有9个圆圈，…，则第⑧个图形中圆圈的个数为（　　）

A．34 B．35 C．44 D．54
9．（4分）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（　　）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
10．（4分）甲、乙两人同时从家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练，乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙．此时乙将速度提高到原来的速度的2倍，又经过15分钟后，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度，甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到家时，甲离自己的家还有（　　）

A．250m B．268m C．300m D．315m
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程+＝1的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．2 B．3 C．7 D．8
12．（4分）设a，b是有理数，定义运算a⊕b＝（a﹣2）2+b，例如：（﹣1）⊕（﹣3）＝[（﹣1）﹣2]2+（﹣3）＝6，1⊕2＝（1﹣2）2+2＝3，0⊕1＝（0﹣2）2+1＝5．下列结论：
①2⊕（﹣5）＝﹣5；
②0⊕0＝0；
③m，n为有理数，当m+n＝4时，则m⊕b＝n⊕b；
④x，y为有理数，当x⊕y＝y⊕x时，则x＝y；
⑤设A＝5⊕（﹣2）+6⊕（﹣2）+7⊕（﹣2）+…+100⊕（﹣2），B＝（﹣1）⊕2+（﹣2）⊕2+（﹣3）⊕2+…+（﹣96）⊕2，则A＞B．
其中所有正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：（﹣2）0﹣＝　 　．
14．（4分）若＝，则＝　 　．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE＝　 　度．

16．（4分）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是 　 　．
三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣2y）2；
（2）x（x+2）＝2（x+2）2．
18．（8分）如图，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，若AC＝3，则AD长为多少？

四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝2AB．
（1）请用尺规完成基本作图：作出∠ABC的角平分线交AD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）某数学学习小组在（1）所作的图形中，连接CE，发现了△CBE是一个直角三角形，并给出来如下证明，请你填空完成证明．
证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝　 　＝∠ABC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝　 　．
∵AD＝2AB，
∴AD＝2AE，
∴DE＝AE．
又∵AB＝AE，AB＝CD，
∴ED＝　 　．
∴∠DEC＝∠DCE．
∵AD∥BC，
∴　 　＝∠BCE．
∴∠DCE＝∠BCE＝∠BCD．
∴AB∥CD．
∴∠ABC+　 　＝180°．
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∴△CBE为直角三角形．

20．（10分）如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若AB＝4，EF＝，∠AFE＝45°，求△ABD的面积．

21．（10分）抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话．电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情．因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x＜100），下面给出了部分信息：

八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
a
92
23.4
九年级
92
94
b
29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？

22．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（234），F（958）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+10y+1，t＝210+|x﹣y|（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数）且s是完全平方数，规定：k＝|F（s）﹣F（t）|，当F（s）+F（t）≤20时，求k的最大值．
23．（10分）今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元．
（1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？
（2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的；流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值．
24．（10分）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点．点A为x轴上一点，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过A，B，C三点．对称轴分别与抛物线交于点D，与x轴交于点E．连接AC，EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上异于点D的一动点，若S△PBC＝S△AEC，求此时点P的坐标；
（3）在 （2）的条件下，若P在BC下方，Q是直线PO上一点，M是射线PC上一点．请问对称轴上是否存在一点N，使得P，Q，M，N构成以PN为对角线的菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．
（1）若BC＝BD，，AD＝15，求△ABD的周长．
（2）若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO，求证：CF＝AB．


2022-2023学年重庆市江津区白沙中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的。请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。
1．（4分）在下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
【解答】解：1＞0＞﹣1＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
2．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（4分）10月21日重庆市发布2020年前三季度重庆市经济运行情况，全市实现地区生产总值约17700亿元，则数据17700可用科学记数法表示为（　　）
A．17.7×103 B．1.77×103 C．1.77×104 D．1.77×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据17700可用科学记数法表示为1.77×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为：y＝（x+1）2+2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
5．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即x+3≠0，解得x的取值范围．
【解答】解：∵x+3≠0，
∴x≠﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
6．（4分）的值在（　　）
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之在 D．2和3之间
【分析】先去括号，再估算出的大小，进而可得出结论．
【解答】解：
＝﹣2
＝﹣2，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴1＜﹣2＜2．
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．
7．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法，难度不大．
8．（4分）下列图形都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第①个图形有2个圆圈，第②个图形有5个圆圈，第③个图形有9个圆圈，…，则第⑧个图形中圆圈的个数为（　　）

A．34 B．35 C．44 D．54
【分析】探究规律后，利用规律即可解决问题．
【解答】解：第①个图形有2个圆圈：2＝1+1
第②个图形有5个圆圈，5＝1+1+2
第③个图形有9个圆圈，9＝3+1+2+3
…，
则第⑧个图形中圆圈的个数为8+1+2+3+4+5+6+7+8＝44，
故选：C．
【点评】本题考查规律型﹣图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题．
9．（4分）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（　　）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【分析】设这种香水梨的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，利用每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种香水梨的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（4分）甲、乙两人同时从家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练，乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙．此时乙将速度提高到原来的速度的2倍，又经过15分钟后，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度，甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到家时，甲离自己的家还有（　　）

A．250m B．268m C．300m D．315m
【分析】设乙的速度为v米/分钟，则甲的速度为（v+20）米/分钟，由题意可得关于v的一元一次方程，解方程求出v的值即可求出甲离自己的家距离．
【解答】解：设乙的速度为v米/分钟，则甲的速度为（v+20）米/分钟，
根据题意得：5v+15×2v+100＝25（v+20）+5v，
解得：v＝80，
v+20＝100．
乙的家离公园的距离5v+15×2v＝35v＝2800．
乙回到家的时间为5+15+2800÷80＝55（分钟），
此时甲离自己的家的距离为2×（2800+100）﹣55×100＝300（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程+＝1的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．2 B．3 C．7 D．8
【分析】根据不等式组的解集可确定a的取值范围为a＜5，再根据分式方程的解是非负整数，确定a的取值，最后求所有符合条件整数a和即可．
【解答】解：将关于x的一元一次不等式组化简为，而不等式组的解集为x≤a，
∴a＜5，
解这个关于y的分式方程+＝1得y＝且y≠1，
又∵分式方程的解是非负整数，
∴＝0，＝2，＝3，…
即a＝﹣1，a＝3，a＝5，a＝7，…
而a＜5，
∴a＝﹣1，a＝3，
∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣1+3＝2，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解以及增根，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的增根以及解法是正确解答的前提．
12．（4分）设a，b是有理数，定义运算a⊕b＝（a﹣2）2+b，例如：（﹣1）⊕（﹣3）＝[（﹣1）﹣2]2+（﹣3）＝6，1⊕2＝（1﹣2）2+2＝3，0⊕1＝（0﹣2）2+1＝5．下列结论：
①2⊕（﹣5）＝﹣5；
②0⊕0＝0；
③m，n为有理数，当m+n＝4时，则m⊕b＝n⊕b；
④x，y为有理数，当x⊕y＝y⊕x时，则x＝y；
⑤设A＝5⊕（﹣2）+6⊕（﹣2）+7⊕（﹣2）+…+100⊕（﹣2），B＝（﹣1）⊕2+（﹣2）⊕2+（﹣3）⊕2+…+（﹣96）⊕2，则A＞B．
其中所有正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据新定义计算可判断①②，有m+n＝4，再结合新定义计算可判断③，根据x⊕y＝y⊕x列式变形可得x＝y或x+y＝5，即可判断④，有新定义可得5⊕（﹣2）＜（﹣1）⊕2，6⊕（﹣2）＜（﹣2）⊕2，7⊕（﹣2）＜（﹣3）⊕2，…100⊕（﹣2）＜（﹣96）⊕2，相加即可判断⑤．
【解答】解：2⊕（﹣5）＝（2﹣2）2+（﹣5）＝﹣5，故①正确；
0⊕0＝（0﹣2）2+0＝4，故②错误；
m⊕b＝（m﹣2）2+b＝m2﹣4m+4+b，n⊕b＝（4﹣m﹣2）2+b＝（2﹣m）2+b＝m2﹣4m+4+b，
∴m⊕b＝n⊕b，故③正确；
若x⊕y＝y⊕x，则（x﹣2）2+y＝（y﹣2）2+x，
∴[（x﹣2）+（y﹣2）][（x﹣2）﹣（y﹣2）]﹣（x﹣y）＝0，
∴（x﹣y）（x+y﹣5）＝0，
∴x＝y或x+y＝5，故④错误；
∵5⊕（﹣2）＝（5﹣2）2﹣2＝（﹣1﹣2）2﹣2＜（﹣1﹣2）2+2＝（﹣1）⊕2，
同理6⊕（﹣2）＜（﹣2）⊕2，
7⊕（﹣2）＜（﹣3）⊕2，
…
100⊕（﹣2）＜（﹣96）⊕2，
∴5⊕（﹣2）+6⊕（﹣2）+7⊕（﹣2）+…+100⊕（﹣2）＜（﹣1）⊕2+（﹣2）⊕2+（﹣3）⊕2+…+（﹣96）⊕2，
即A＜B，故⑤错误；
∴正确的有①③共2个，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，运用新定义列式计算．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：（﹣2）0﹣＝　﹣1　．
【分析】分别进行零指数幂、开立方的运算，然后合并．
【解答】解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、开立方等知识，属于基础题．
14．（4分）若＝，则＝　　．
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝，
∴2a+6b＝10b，
∴2a＝4b，
∴a＝2b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE＝　75　度．

【分析】根据四边形ABCD为矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等，得到OA＝OB＝OC＝OD，又∠AOB＝60°，可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形，进而求出∠ACB为30°，由DE为直角的角平分线，得到∠EDC＝45°，可得三角形DEC为等腰直角三角形，即CD＝EC，而CD＝OC，等量代换可得EC＝OC，即三角形OEC为等腰三角形，由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝OD，（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB＝60°，
∴∠COD＝60°，（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠BAC＝60°，CD＝OC，
则∠ACB＝30°，（直角三角形两锐角互余）
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝45°，
可得△DCE为等腰直角三角形，
∴CD＝EC，
∴EC＝OC，（等量代换）
∴∠COE＝∠CEO，
∴∠COE＝75°（三角形内角和是180°）．
故答案为75．
【点评】解决本题的关键是得到所求角所在的三角形的形状及相应的角的度数．
16．（4分）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是 　2：3　．
【分析】设C的原种植面积为4x，则A的原种植面积为3x，B的原种植面积为2x，设C的单位面积的产值为2y，则A的单位面积产值为y，B的单位面积产值为2y，设三种经济作物增种后的总面积为e，得出C的增种面积为12x，设A、B两种经济作物的面积比值为p，则A的增种面积为×（1﹣）×3x，B的增种面积为×（1﹣）×3x，列方程解得p值即可．
【解答】解：设C的原种植面积为4x，则A的原种植面积为3x，B的原种植面积为2x，
设C的单位面积的产值为2y，则A的单位面积产值为y，B的单位面积产值为2y，
∴A的原产值为3xy，B的原产值为4xy，C的原产值为8xy，
设三种经济作物增种后的总面积为e，
根据题意可得：+4x＝e，
解得：e＝12x，
∴增种总面积为12x﹣3x﹣4x﹣2x＝3x，C增种面积为0.5x，
设A、B两种经济作物的面积比值为p，
则A的增种面积为×（1﹣）×3x，B的增种面积为×（1﹣）×3x，
根据题意可得：×（1﹣）×3x×y+×（1﹣）×3x×2y+0.5x×2y＝（3xy+4xy+8xy），
解得：p＝2：3，
∴A、B两种经济作物的面积之比是2：3．
【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键．
三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣2y）2；
（2）x（x+2）＝2（x+2）2．
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣2y）2
＝x2﹣y2﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝x2﹣y2﹣x2+4xy﹣4y2
＝4xy﹣5y2；
（2）x（x+2）＝2（x+2）2，
x（x+2）﹣2（x+2）2＝0，
（x+2）[x﹣2（x+2）]＝0，
（x+2）（x﹣2x﹣4）＝0，
（x+2）（﹣x﹣4）＝0，
x+2＝0或﹣x﹣4＝0，
x1＝﹣2，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）如图，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，若AC＝3，则AD长为多少？

【分析】先设出OA＝x，则OB＝BC＝CD＝x，然后根据AC＝3和勾股定理，可以得到x的值，再根据勾股定理，即可求得AD的长．
【解答】解：设OA＝x，则OB＝BC＝CD＝x，
∵∠AOC＝90°，AC＝3，
∴OA2+OC2＝AC2，
即x2+（2x）2＝32，
解得x＝，
∴AD＝＝＝x＝×＝3，
即AD的长为3．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出OA的长．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝2AB．
（1）请用尺规完成基本作图：作出∠ABC的角平分线交AD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）某数学学习小组在（1）所作的图形中，连接CE，发现了△CBE是一个直角三角形，并给出来如下证明，请你填空完成证明．
证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝　∠CBE　＝∠ABC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝　AE　．
∵AD＝2AB，
∴AD＝2AE，
∴DE＝AE．
又∵AB＝AE，AB＝CD，
∴ED＝　CD　．
∴∠DEC＝∠DCE．
∵AD∥BC，
∴　∠DEC　＝∠BCE．
∴∠DCE＝∠BCE＝∠BCD．
∴AB∥CD．
∴∠ABC+　∠BCD　＝180°．
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∴△CBE为直角三角形．

【分析】（1）根据角平分线的作法即可作出∠ABC的角平分线；
（2）结合（1）根据平行四边形的判定与性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，BE即为所求；

（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE．
∵AD＝2AB，
∴AD＝2AE，
∴DE＝AE．
又∵AB＝AE，AB＝CD，
∴ED＝CD．
∴∠DEC＝∠DCE．
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE．
∴∠DCE＝∠BCE＝∠BCD．
∴AB∥CD．
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∴△CBE为直角三角形．
故答案为：∠CBE，AE，CD，∠DEC，∠BCD．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20．（10分）如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若AB＝4，EF＝，∠AFE＝45°，求△ABD的面积．

【分析】（1）证△ABE≌△CDF（AAS），即可得出结论；
（2）先证△AEF是等腰直角三角形，得AE＝EF＝，再由勾股定理得BE＝，则BD＝BE+EF+DF＝2+，然后由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵AE⊥BD，∠AFE＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF＝，
∴BE＝＝＝，
由（1）得：DF＝BE＝，
∴BD＝BE+EF+DF＝2+，
∴△ABD的面积＝BD×AE＝×（2+）×＝+．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
21．（10分）抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话．电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情．因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x＜100），下面给出了部分信息：

八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
a
92
23.4
九年级
92
94
b
29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a＝　92.5　，b＝　95　，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？

【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出“A组”的频数才能补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）用样本估算总体即可．
【解答】解：（1）由题意可知，八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是92，93，因此中位数是92.5，即a＝92.5；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即b＝95，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有10﹣1﹣2﹣5＝2（人），补全频数分布直方图如下：

故答案为：92.5；95；
（2）九年级成绩较好，理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）1200×30%＝360（名），
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
【点评】本题考查中位数、众数、方差以及频数分布直方图，理解中位数、众数、方差的意义，掌握频数分布直方图的意义是正确解答的关键．
22．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（234），F（958）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+10y+1，t＝210+|x﹣y|（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数）且s是完全平方数，规定：k＝|F（s）﹣F（t）|，当F（s）+F（t）≤20时，求k的最大值．
【分析】（1）按照题目规则，分别调换百位与十位，百位与个位，十位与个位上的数字，求出三个数字的和，然后除以111，即可求出F（234），F（958）；
（2）通过已知规律，得出|x﹣y|≥3，x+y≤13，即可求解．
【解答】解：（1）n＝234，对调百位与十位上的数字得到324，对调百位与个位上的数字得到432，对调十位与个位上的数字得到243，这三个新三位数的和为324+432+243＝999，999÷111＝9，所以F（234）＝9；
n＝958，对调百位与十位上的数字得到598，对调百位与个位上的数字得到859，对调十位与个位上的数字得到985，这三个新三位数的和为598+859+985＝2442，2442÷111＝22，所以F（958）＝22；
（2）s＝100x+10y+1，对调百位与十位上的数字得到100y+10x+1，对调百位与个位上的数字得到100+10y+x，对调十位与个位上的数字得到100x+10+y，这三个新三位数的和为100y+10x+1+100+10y+x+100x+10+y＝111x+111y+111，（111x+111y+111）÷111＝x+y+1，所以F（s）＝x+y+1．
t＝210+|x﹣y|，对调百位与十位上的数字得到120+|x﹣y|，对调百位与个位上的数字得到100|x﹣y|+10+2，对调十位与个位上的数字得到200+10|x﹣y|+1，这三个新三位数的和为120+|x﹣y|+100|x﹣y|+10+2+200+10|x﹣y|+1＝333+111|x﹣y|，（333+111|x﹣y|）÷111＝3+|x﹣y|，所以F（t）＝3+|x﹣y|，
∵F（s）+F（t）≤20，
∴x+y+1+3+|x﹣y|≤20，
∴x+y+|x﹣y|≤16，
又∵1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数，
∴|x﹣y|≥3，x+y≤13，
∵s是完全平方数，F（s）+F（t）≤20，
∴x+y最大为12，此时x﹣y＝4，
∵k＝|F（s）﹣F（t）|＝|x+y+1﹣3﹣|x﹣y||＝|x+y﹣2﹣|x﹣y||，
∴k的最大值为|12﹣2﹣4|＝6．
【点评】本题考查了完全平方数的应用，熟练掌握完全平方数和因式分解的方法是解答此题的关键．
23．（10分）今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元．
（1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？
（2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的；流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值．
【分析】（1）设中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了x盒，则流心芝士月饼卖了（400﹣x）盒，根据“中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼的销售总额为17440元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了x盒，则流心芝士月饼卖了（400﹣x）盒，
依题意得：40x+48（400﹣x）＝17440，
解得：x＝220．
答：中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了220盒．
（2）依题意得：（40﹣2×15.5）×220×+[48（1﹣）﹣18]×（400﹣220）（1+5a%）＝2736，
整理得：3a2+25a﹣148＝0，
解得：a1＝4，a2＝﹣（不合题意，舍去）．
答：a的值为4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点．点A为x轴上一点，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过A，B，C三点．对称轴分别与抛物线交于点D，与x轴交于点E．连接AC，EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上异于点D的一动点，若S△PBC＝S△AEC，求此时点P的坐标；
（3）在 （2）的条件下，若P在BC下方，Q是直线PO上一点，M是射线PC上一点．请问对称轴上是否存在一点N，使得P，Q，M，N构成以PN为对角线的菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用一次函数求出B、C坐标代入解析式得解．
（2）分别讨论P在直线BC上方和下方时的情况，利用铅锤高水平宽求出三角形面积关于P点横坐标的解析式，再列等式求解．
（3）利用P点求出OP解析式，利用待定系数法分别设出M、N、Q点坐标，再利用菱形的性质列等式求解．
【解答】解：（1）对直线y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
把B、C坐标代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）①当点P在直线BC下方时，过点P作x轴的垂线，交BC于点F，
设P（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣3），
PF＝yF﹣yP＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，
∴S△PBC＝•PF•xB＝（﹣m2+3m），
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），
令y＝0，得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
∴S△AEC＝×2×3＝3，
∴（﹣m2+3m）＝3，
解得：m1＝2，m2＝1（舍），
∴P1（2，﹣3），
②当点P在直线BC上方时，过点P作x轴的垂线，交BC于点G，
同①理，可得：PG＝yP﹣yG＝m2﹣2m﹣3﹣m+3＝m2﹣3m，
∴S△PBC＝•PG•|xB﹣xC|＝（m2﹣3m）＝3，
解得：m3＝，m4＝，
∴P2（，），P3（，）．
（3）由题意，P（2，﹣3），
∴直线OP解析式为y＝x，
∵P（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴PC∥x轴，
∵点M是射线PC上一点，
∴PM∥x轴，
∵PN为菱形对角线，
∴NQ∥PM，即NQ∥x轴，
∴yN＝yQ，
∵Q在OP上，M在PC上，N在对称轴上，
∴设N（1，n），M（m，﹣3），
∴Q（n，n），
∴PN中点也为MQ中点，
∴m﹣n＝1+2，
∴m＝n+3，
∵四边形PMNQ为菱形，
∴PM＝PQ，
∴（2﹣m）2＝（2+n）2+（﹣3﹣n）2，即（﹣1﹣n）2＝（2+n）2+（﹣3﹣n）2，
解得：n1＝，n2＝，
∴N（1，）或（1，）．


【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，菱形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式等知识点，综合性较强，第二问注意分类讨论，不要漏解．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．
（1）若BC＝BD，，AD＝15，求△ABD的周长．
（2）若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO，求证：CF＝AB．

【分析】（1）设BE＝x，则AB＝x，DE＝BD﹣BE＝15﹣x，AE＝＝＝3x，由勾股定理得出方程（3x）2+（15﹣x）2＝152，求出x＝3，得出AB＝3，即可得出答案；
（2）连接DF，过C作CH⊥BD于H．想办法证明△DFC是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵BC＝BD，
∴AD＝BD＝15，
∵＝，
设BE＝x，则AB＝x，DE＝BD﹣BE＝15﹣x，
∴AE＝＝＝3x，AE2+DE2＝AD2，
即：（3x）2+（15﹣x）2＝152，
解得：x＝3，
∴AB＝3，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝15+15+3＝30+3；
（2）证明：连接DF，过C作CH⊥BD于H，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，OA＝OC，
∴∠ADE＝∠DBC＝45°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD＝∠ADE＝45°，
∴EA＝ED，
∵CH⊥BD，
∴∠AEO＝∠CHO＝90°，
∵∠AOE＝∠COH，
∴△AOE≌△COH（AAS），
∴AE＝CH＝DE，OE＝OH，
∵AF＝2OE，
∴EH＝AF，
∵AE＝DE，
∴EF＝DH，
∵∠DEF＝∠CHD＝90°，
∴Rt△DEF≌Rt△CHD（SAS），
∴DF＝CD，∠EDF＝∠DCH，
∵∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠EDF+∠CDH＝90°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴CF＝CD，
∴CF＝AB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．