2021-2022学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知点与点关于原点对称，则、的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 已知反比例函数，下列结论不正确的是(    )

A. 其图象经过 B. 其图象位于第二、第四象限内
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，

4. 若关于的方程有实数根，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是(    )

A. “从地面发射枚导弹，未击中空中目标”是不可能事件
B. “三点确定一个圆”是必然事件
C. 成语“水中捞月”是随机事件
D. 随意掷一枚元钱币，落地后每一面向上的机会一样

6. 若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是的直径，点，在上．若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，点、、分别在、、边上，连接、，若，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：
   ；；；四边形是菱形．
   其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大；若为任意实数，则有，其中结论正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 某校九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制每两个班之间都进行一场比赛，据统计，比赛共进行了场，则九年级共有______ 个班．
12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为          ．
     

13. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则当时，二氧化碳的密度为______．

14. 如图，已知的直径，是的弦，连接，若，点是劣弧上一个动点，当≌时，则弧的长度是______ ．

15. 将抛物线向右平移个单位长度后经过点，则的值为______．
16. 如图，四边形是正方形，，是中点，连接，的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    用适当的方法解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，五门课程分别是：课后作业辅导；：书法；：阅读；：绘画；：乐器．学生需要从中选两门课程．
    若学生甲选第一门课程时任选一门，则甲选中课程的概率为______；
    若学生甲和乙第一次都选择了课程，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他俩第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明．
19. 本小题分
    在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；
    小芳：测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米如图．
    小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米．
    在横线上直接填写甲树的高度为______米；
    画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，请你尺规作图在图中标记旋转中心的位置，并说出的坐标．

21. 本小题分
    问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、、为常数且的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅
    探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．
    画出函数图象．
    列表：

描点并连线．

观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：______，______；
理解运用：函数的图象是由函数的图象向______平移______个单位，其对称中心的坐标为______．
灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足______时，．

22. 本小题分
    如图，为的直径，弦于点，于点，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

23. 本小题分
    某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天为正整数的每件进价为元，与的对应关系如下为所学过的一次函数或二次函数中的一种：

直接写出与的函数关系式；
统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元；
求该店每天利润的最大值；
若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围．

24. 本小题分
    【基础巩固】
    如图，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、求证：∽．
    【尝试应用】
    如图，在中，，是上一点，过作的垂线交于点若，，，求的长．
    【拓展提高】
    如图，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，求平行四边形的面积．
     
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，菱形的顶点，在轴的负半轴，抛物线的对称轴，且过点、．
    求抛物线的解析式；
    若在线段上方的抛物线上有一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
    若把抛物线沿轴向左平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点试判断点是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断，即可求出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，，
故选：．
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、代入得：左边右边，故本选项正确；
B、图象在第二、四象限内，故本选项正确；
C、当时，随的增大而增大，故本选项正确；
D、当时，或，故本选项错误；
不正确的只有选项D．
故选：．
根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大进行分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，随的增大而增大．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的方程有实数根，
，
解得：．
故选：．
由方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可．
本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
 

5.【答案】 

【解析】解：、“从地面发射枚导弹，未击中空中目标”是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、“三点确定一个圆”是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
C、成语“水中捞月”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
D、随意掷一枚元钱币，落地后每一面向上的机会一样，本选项说法正确，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据圆锥侧面积公式：，圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，
故，
解得：．
故选：．
根据圆锥侧面积公式代入数据求出圆锥的母线长即可．
此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
是的直径，
．
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
故本选项正确；
B.，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，故本选项正确；
C.，
，
和的大小关系不能确定，
，
故本选项错误；
D.，
，
，
故本选项正确．
综上，结论错误的是：．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质对每个选项进行判断即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是劣弧的中点，过圆心，
，故正确；
，
，
，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
故正确；
，
，
点是劣弧的中点，
，
，
四边形是菱形，
故正确．
故选：．
分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．
本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴有两个交点，
，故错误；
抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当 时， 的取值范围是，故正确；
当时，随的增大而增大，当时随的增大而减小，故错误；
由图象知：抛物线的顶点横坐标为，纵坐标大于，即抛物线的最大值一定大于，
若为任意实数，当时则有，故正确；
故选：．
根据二次函数的图象及性质即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：设九年级共有个班级．
依题意得：．
解得：，不合题意舍去．
故答案为：．
赛制为单循环形式每两班之间都赛一场，个班比赛总场数，即可列方程求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数队数队数，进而得出方程是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．
由旋转的性质可求得、，由勾股定理可求得，则可求得，连接，在中可求得的长．
【解答】
解：在中，，，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
连接，

在中，由勾股定理可得，
即、两点间的距离为，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：设，把代入得：
，
故，
则当时，相应的体积
故答案为：．
直接利用反比例函数解析式求法得出，再把代入求出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：≌，点是劣弧上一个动点，
，
，
，
，
，
的直径，
，
弧的长度是，
故答案为：
根据全等三角形的性质和弧长的计算公式，可以计算出弧的长度．
本题考查弧长的计算、全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：把抛物线向右平移个单位长度后得到，即．
经过，
，
解得：．
故答案是：．
先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点，所以再把点代入新的抛物线解析式即可求出的值．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换和二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，
，，
是中点，
，
设，则，
是线段的垂直平分线，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
设，则，利用线段垂直平分线性质可得，运用勾股定理建立方程求解即可求得，再证明∽，利用相似三角形性质即可求得答案．
本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
则，即，
或，
解得，；
，，，
，
则，
，． 

【解析】先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】 

【解析】解：甲选中课程的概率；
故答案为；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中他俩第二次选课相同的结果数为，
所以他俩第二次选课相同的概率．
直接利用概率公式计算；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】 

【解析】解：设甲树高米，根据题意得：
 ，
解得：米，
故答案为：．
假设是乙树，

，，
，
，
，
，
，
答：乙树的高度为．
根据测得一根长为米的竹竿的影长为米，利用比例式直接得出树高；
根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，点即为所求，．
 

【解析】连接，，分别作线段，的垂直平分线相交于点，则点即为所求．
本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
 

21.【答案】图象是中心对称图形  当时，随着的增大减小  左       

【解析】解：
列表：

描点并连线．

观察图象，
图象是中心对称图形；
当时，随着的增大减小．
故答案为：图象是中心对称图形；当时，随着的增大减小；
理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，其对称中心的坐标为．
故答案为：左；；．
灵活应用：函数的图象在理解运用的基础上向上平移个单位，当满足时，．
故答案为：．
将，，，，，分别代入解析式即可得的值，再画出函数的图象；
结合图象可从函数的增减性及对称性解答该函数图象的两条不同类型的特征；
理解运用：结合图象即可得出结论
灵活应用：结合图象可准确填空．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，则，
，
于点，于点，且，
点在的平分线上，
平分，
，
，
，
，
经过的半径的外端，且，
是的切线．
解：为的直径，弦于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】连接，由于点，于点，且，证明平分，即可证明，则，所以，即可证明是的切线；
由垂径定理证明，，则，所以，，根据勾股定理求得，．
此题重点考查圆的切线的判定、垂径定理、圆周角定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：通过表中数据可知，与的函数关系为一次函数，
设与的函数关系式为，
把，和，代入得：
，
解得：，
与的函数关系式为；
根据题意，得：




，
，
当时，有最大值，最大值为，
该店每天利润的最大值为元；
捐赠后的利润为
，
第天的利润为：，
第天的利润为：，
第天的利润为：，
要想在第天利润最大，
则，
解得：，
的取值范围为． 

【解析】根据题意和表格中的数据可以用待定系数法求得与之间的函数关系式；
根据题意和题目中的函数表达式可以列出二次函数解析式，根据函数的性质求最值；
先求出第，，天的利润再根据题意列出不等式组，解不等式组求的取值范围．
此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，正确列出函数解析式，利用函数的性质求最值是解体的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
．
．
，
，
．
∽．
解：过点作于点．

由得∽．
．
，，，
，
．
，
．
．
解：过点作于点，过点作的延长线于点．

．
四边形是平行四边形，
，．
．
≌．
，．
，，
，
，
设，，．
，．
，
由得∽．
，
，
，
，
，
，．
平行四边形的面积． 

【解析】利用同角的余角相等可得从而证明结论；
过点作于点由得∽得代入计算得从而得出的长；
过点作于点，过点作的延长线于点首先利用证明≌，得，设，，得，再利用∽得，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，构造一线三等角相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：函数的对称轴为直线，点，点，
将上述条件代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；

过点作轴交于点，

由点的坐标得：直线的表达式为，
设点、的坐标分别为、，
则面积，
，
面积有最大值，
当时，面积有最大值，最大值为，
此时，点；

如图所示，设与轴交于点，则轴，，，
则．
四边形是菱形，
，，
．
令，得，
解得：，，
抛物线与轴交点为和，，
而；
当时，平移后的抛物线为，
当时，，
点在平移后的抛物线上；
当时，平移后的抛物线为，
令得，，
点不在平移后的抛物线上．
综上，当时，点在平移后的抛物线上；当时，点不在平移后的抛物线上． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由面积，即可求解；
结合勾股定理以及菱形的性质找出点、的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过点的二次函数的解析式，代入点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论
本题考查了二次函数图象与几何变换以及菱形的性质，解题的关键是找出平移的的值．本题属于中档题，其中，难度不大；稍显繁琐，在解决该问时，借用原抛物线与轴的交点，确定平移的是关键．