2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个袋子中装有个黑球和个白球，它们除颜色外其它都相同，随机从袋子中摸出一个球，则下列结论正确的是(    )

A. 摸到黑球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件
C. 摸到黑球的可能性大 D. 摸到白球的概率比摸到黑球的概率大

3.  如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积为，则的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，是的一条弦，是的中点，连接交于点，若，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  对于反比例函数，下列结论：
图象分布在第二，四象限；
当时，随的增大而增大；
从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是；
若点，都在图象上，且，则；
其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，则的内切圆的半径是(    )

A.
B.
C.
D. 无法判断

9.  如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽米，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：；；；；若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  点与关于原点对称，则______．

12.  一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是______．

13.  如图，要拧开一个边长为的正六边形螺料，扳手张开的开口至少为______．

14.  为了在比赛中取得更好的成绩，运动员小明积极训练，教练对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是______

15.  如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于        ．

16.  如图，在中，，，为中点，点为延长线一点，，连接，，，将射线绕点顺时针旋转交延长线于点，则        用含、的式子表示

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解下列方程：
；
．

18.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，原方程总有两个实数根；
若，是原方程的两根，且，求的值．

19.  本小题分
假设某地有一个人患了新型冠状病毒，经过两轮传染后共有人患了此病毒．
求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
按照这样的速度传染，三轮传染后共有多少人患了新型冠状病毒？

20.  本小题分
如图，点，的坐标分别是，将绕点逆时针旋转，得到．
画出平面直角坐标系和三角形；
求旋转过程中点走过的路径的长．

21.  本小题分
探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
绘制函数图象．
列表：下表是与的几组对应值，其中        ；

描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象．
探究函数性质：
请写出函数的两条性质：
       ；
       ．
运用函数图象及性质：
观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则        ；
根据函数图象，写出不等式的解集是        ．

22.  本小题分
如图，内接于，过点作的垂线交于，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，当，时，求直径的长．

23.  本小题分
“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋，设每袋大米的售价为元为正整数，每分钟的销售量为袋．
求出与的函数关系式；
设“东方甄选”每分钟获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？

24.  本小题分
基础巩固
如图，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结求证：≌；
尝试应用
如图，在的条件下，连接，若交于点，已知，，求线段的长；
拓展提高
如图，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，将绕点逆时针旋转得到线段，交于点，交于点，连结若，，求的长．
 

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点．

若过点的直线是抛物线的对称轴．
求抛物线的解析式；
对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】
解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：摸到黑球是随机事件，此选项错误；
B.摸到白球是随机事件，此选项错误；
C.摸到黑球的可能性大，此选项正确；
D.摸到白球的概率比摸到黑球的概率小，此选项错误；
故选：．
由黑球与白球个数的多少即可判断出摸到黑球、白球的概率大小，从而得出答案．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出∽是解题关键．
直接利用三角形中位线定理得出，，得到∽，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】
解：在中，点、分别是、的中点，

，，
∽，
，
，
的面积为，
的面积为，
故选D．

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移个单位，再向下平移个单位后的顶点坐标是
所得抛物线解析式是，
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：连接，设的半径为，则，，

是的中点，过圆心，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径是，
故选：．
连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，，根据勾股定理得出，求出，再求出即可．
本题考了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数，
该函数的图象分布在第二、四象限，故正确；
当时，随的增大而增大，故正确；
当根据的几何意义可知，正确；
若点，都在图象上，且，则点和点都在第二象限或都在第四象限时，点在第二象限，点在第四象限时，故错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，切于，切于，切于，连，，
，，
四边形为正方形，
，，，
，
设的半径为，则，
，，
，即，
．
故选：．
切于，切于，切于，连，，根据切线的性质得到，，则四边形为正方形，得到，根据切线长定理得，，利用可求出．
本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：设道路的宽米，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：．
故选：．
设道路的宽米，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图象可知：
，，，
，
正确；
二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，
二次函数的图象经过点关于直线的对称点，
故当时，，即，
错误；
对称轴为直线，即
得，
，
正确；
因为抛物线与轴有两个不同的交点，
所以，即，
．
错误；
关于直线的对称点的坐标是，
当时，．
正确．
故选：．
观察函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；
根据点关于直线的对称点为，当时，即可判断；
根据对称轴方程得与的关系，即可判断；
根据图象与轴有两个不同的交点，即可判断；
根据图象开口向上，对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与关于原点对称，
，
解得：，
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：用和分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用和分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
、、、．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为：．
根据概率的计算公式．颜色搭配总共有种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示：
，
，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，得
当时，，
解得：，舍去．
小明此次投掷的成绩是．
故答案为：．
当时代入解析式，求出的值就可以求出结论．
本题考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式建立方程是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，
，，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
点到直线的距离等于，
故答案为：．
作于，根据含角的直角三角形的性质得，，再根据旋转的性质可得，从而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、作交于，如图，

在中，，，为中点，
，，
为等边三角形，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
∽，
，即，
，
根据旋转的性质可得，
，
，
，
，
∽，
，即，
．
故答案为：．
连接、作交于，根据含度角的直角三角形性质和三角形斜边上的中线性质可得为等边三角形，即，，，根据勾股定理得，则，由易证∽，根据相似三角形的性质算出，再证明∽，最后根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查几何变换综合题、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

17.【答案】解：移项得：，
，
，，
，；
，
，
，
，
，
，
，． 

【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
先把二次项系数化为，再利用配方法求解．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：证明：
，
无论取何值，，
原方程总有两个实数根．
，是原方程的两根，
，，
，
，
代入化简可得：，
解得：． 

【解析】根据根的判别式即可求出答案．
根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：设平均一人传染了人，
根据题意得，，
解得：，舍去．
答：平均一人传染人．

经过三轮传染后患上流感的人数为：人，
答：经过三轮传染后患上流感的人数为人． 

【解析】设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解．
根据中所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，三角形即为所求；
，
点走过的路径的长．
 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用弧长公式求解即可．
本题考查作图旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式．
 

21.【答案】  函数的图象关于轴对称  函数有最大值，最大值为    或 

【解析】解：把代入得，
；
描点，
连线，画出函数的图象如图：

故答案为：；
函数的性质：
函数的图象关于轴对称；
当时，函数有最大值，最大值为；
故答案为：函数的图象关于轴对称；函数有最大值，最大值为；
应为图象关于轴对称，所以，
观察图象可知，不等式的解集是或；
故答案为：或；
将代入解析式即可得的值，再画出函数的图象；
观察图象即可得到；
根据图象求得即可．
本题主要考查函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，交于，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是切线；
解：，，
．
是直径，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
．
即直径的长是． 

【解析】先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
先判断出，进而求出，进而判断出∽，求出，即可得出结论．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出是解本题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得：

，
与的函数关系式为；
由题意，得：


，
，抛物线开口向下，
当时，最大，最大值，
答：当销售单价为元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是元；
根据题意得：，
解得，，
为了让消费者获得最大的利益，
，
答：此时大米的销售单价是元． 

【解析】根据销售单价每降元，则分钟可多销售袋，写出与的函数关系式；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润不低于元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，

≌．
解：，，
，
≌，
，，
，
，，
，
设，，
，
，
，
；
解：延长至点，使得，

由得≌，
，，
，
连接交于点，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，，
，
解得，
，，
又，
∽，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质得出，，根据可证明≌；
证明，利用勾股定理求出的长，则可得出答案；
延长至点，使得，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：，
抛物线的解析式为；

存在，
如图，若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，

则，，
对于，令，则，
解得：，，
，，
，
，
，
设点，
由可得：，解得：，
；
同理，当点在轴下方时，
综上所述，点或；

抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，
当时，取，有最大值，
即，
，解得：，
又，
． 

【解析】本题考查二次函数综合，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程．
根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，根据轴对称的性质得到，，求出点的坐标，利用勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点在轴下方时的坐标即可；
当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．