2022-2023学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

2. 年月第届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知抛物线，下列结论错误的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大

5. 两年前生产某药品的成本是元，现在生产这种药品的成本是元，设该药品成本的年平均下降率为，则下面所列方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是(    )

A. 向左移动个单位，向上移动个单位
B. 向右移动个单位，向上移动个单位
C. 向左移动个单位，向下移动个单位
D. 向右移动个单位，向下移动个单位

8. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到若点恰好落在边上，且，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为，则的直径是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 直线与抛物线的两个公共点的横坐标分别是，，若，则的值是(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 关于原点对称点的坐标是______ ．
12. 已知一元二次方程的两实数根分别为，，则的值是______．
13. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式每两个队之间赛一场，现计划一共安排场比赛，则应邀请______个足球队参赛．
14. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的倍．设道路的宽为，可列方程是______．

15. 一座拱桥的轮廓是抛物线型如图所示，桥高为米，拱高米，跨度米．相邻两支柱间的距离均为米，则支柱的高度为         米．
     
16. 抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：；；点，在抛物线上，若，，则；若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是______填写序号．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点．
    求证：．

19. 本小题分
    如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙矩形菜园，墙长为米，若矩形菜园的面积为米，求矩形菜园垂直于墙的边长．

20. 本小题分
    如图，利用函数的图象，解决下列问题：
    方程的解是______；
    该函数图象的顶点坐标是______，当 ______时，随的增大而减小；
    当时，的取值范围是______；
    当时，的取值范围是______．

21. 本小题分
    如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线，画图结果用实线．
    判断四边形的形状；
    在图中，先在上画点，使，再在上画点，使；
    在图中的上画点，使．
     
22. 本小题分
    某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖件．设每件涨价元，每天获利为元．
    直接写出与之间的函数关系式；
    每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由；
    某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值．
23. 本小题分
    问题提出
    在等腰中，，，点，分别在边，上不同时在点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．
    问题探究
    先将问题特殊化，如图，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系；
    再探讨一般情形，如图，证明中的结论仍然成立．
    问题拓展
    如图，在等腰中，，，为的中点，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值．
     
24. 本小题分
    抛物线：交轴于，两点点在点的左边，交轴于点．
    直接写出点，，的坐标；
    如图，平移直线经过点，交抛物线于另一点，点在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点的横坐标；
    如图，将抛物线向上平移，使其顶点在轴上，得到抛物线直线交抛物线于，两点，交其对称轴于点，过点作轴的平行线分别交轴，直线于，两点，交轴于点，求证：．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
所以二次项系数和一次项系数分别是，，
故选：．
先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
本题考查一元二次方程的一般形式，，正确记忆一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，，
抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的对称轴为直线，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
选项，当时，随的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：．
根据抛物线时，开口向上，时，开口向下判断选项；根据抛物线的对称轴为判断选项；根据抛物线的顶点坐标为判断选项；根据抛物线，时，随的增大而减小判断选项．
本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这种药品成本的年平均下降率是，根据题意得：
，
故选：．
等量关系为：年前的生产成本下降率现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
本题考查一元二次方程的应用；得到年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，，是抛物线上的三个点，
点关于对称轴的对称点是，
，
故选：．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
抛物线的顶点坐标是．
则由二次函数的图象向左移动个单位，向下移动个单位，可得到的图象．
故选：．
根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：．
设，则，根据，得，则，用的代数式表示出的度数，根据，列出方程即可解决．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，计算出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，延长交于，连接，，设，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：．
作于，延长交于，连接，，由垂径定理，勾股定理即可求解．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是作于，延长交于，连接，构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，
整理得，
，
抛物线与直线有两个交点，
，
或，
是方程的解，
，
，
，
即，
解得舍或，
故选：．
令，由根与系数的关系可得及，再由可得，代入即可求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
 

12.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两实数根分别为，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出答案即可．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，的两根为，，那么，．
 

13.【答案】 

【解析】解：设应该邀请个足球队参赛，
由题意得：，
解得：或舍去，
即应邀请个足球队参赛．
故答案为：．
设应该邀请个足球队参赛，赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数为，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
种植蔬菜的面积为道路面积的倍，
种植蔬菜面积为矩形田地面积的．
根据题意得：．
故答案为：．
设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为道路面积的倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图：
设，

根据题目条件，、、的坐标分别是、、，
将、的坐标代入，
得，
解得，，
抛物线的表达式是；
在中，
令得，
支柱的长度是米．
故答案为．
本题考查二次函数的应用．
根据题目建立平面直角坐标系，可得，的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，令即可求出支柱的长度．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意抛物线解析式为，即，
，
，，
，故正确；
抛物线与轴交于和两点，且．
，
，
，故错误；
，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点，在抛物线上，且，
，故正确；
，
抛物线为，
函数的最大值为，
，，．
，，
，
不一定大于，故错误，
故答案为：．
利用交点式可对进行判断；利用对称性可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断；根据函数的最值可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
 

17.【答案】解：，
，
则，
，即，
则，
，． 

【解析】本题主要考查解一元二次方程配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
直接利用配方法解方程进而得出答案．
 

18.【答案】证明：过点作，

，
，
又在中，
，
 

【解析】过点作，由等腰三角形的性质可知，再由垂径定理可知，故可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：设矩形菜园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米．
，
解得：，．
当时，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
所以矩形菜园垂直于墙的边长为米． 

【解析】设矩形菜园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据矩形菜园的面积为米，列方程求解，然后由墙长为米检验即可．
本题考查了一元二次方程的运用，是一道数形结合试题．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】，        或 

【解析】解：由图象可得抛物线经过，，
，为方程的解，
故答案为：，．
，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
抛物线开口向上，
时，随增大而减小，
故答案为：，．
抛物线开口向上，顶点坐标为，
函数最小值为，
将代入得，
当时，，
故答案为：．
由图象可得抛物线经过，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
或时，，
故答案为：或．
由抛物线与轴交点坐标求解．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
根据抛物线开口方向及对称轴求解．
由抛物线经过及抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

21.【答案】解：，，
四边形是平行四边形；
如图中，点，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可；
取格点，连接，，交于点，点即为所求．连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由题意得：；

每天获利不可能达到元，理由：
由题意得：，即，
整理得：，
，故方程无解，
即每天获利不可能达到元；

由题意得：，
故当天获利的最大值为元． 

【解析】根据每天所得的销售利润每件的销售利润每天可卖出的件数列出解析式；
由，即可求解；
由知，涨价元卖出件，则元卖出件，进而求解．
本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】问题探究
解：，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
证明：如图，过作交的延长线于点，
则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
即，
≌，
，
，
；
问题拓展
解：如图，连接、，过作于点，延长交于点，
则，
由可知，，
，，
为的中点，
，
≌，
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先证，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论；
过作交的延长线于点，证≌，得，则，即可得出结论；
连接、，过作于点，延长交于点，证四边形是正方形，得，，，再证≌，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，即可解决问题．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：由得，
，，
，，
当时，，
；
解：如图，

过点作，交抛物线于，
的解析式为：，
由得，
，，
点的横坐标为：，
设与轴的交点为，可得，
在的延长线截取，
点，
过点作，
的解析式为：，
由得，
，
点的横坐标为：或或；
证明：如图，

由题意得，
平移后的解析式为：，
设点，，
，
，
，
当，时，，
，
设的解析式为：，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，，
≌，
． 

【解析】当时，解，从而得出，两点坐标，令，求得的值，从而求得点坐标；
作，在得出的关系式基础上，将其与二次函数的解析式联立，进而求得点坐标，在轴截取，过点作的平行线，求得的解析式，同样的方法得出点的坐标；
设点，，求得的解析式，进而求得点坐标，从而得出的长，同样求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，证明≌，从而得出结论．
本题考查了根据二次函数的解析式求点的坐标，求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．