高考物理二轮复习解题方法第05讲 几何法（2份打包，解析版+原卷版，可预览）

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第5讲 几何法（解析版）
—高中物理解题方法28法20讲
江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京

内容提要：高考物理学科能力有一个是：应用数学知识处理物理问题的能力。本文谈几何知识和方法在物理中的应用，包括在力学和电磁学中的应用。
关键词：物理能力，数学应用，几何知识，几何方法。

高考大纲（物理）中规定，高考物理考查的学科能力有：
1. 理解能力
2. 推理能力
3. 分析综合能力
4. 应用数学知识处理物理问题的能力
5. 实验能力。
数学知识，主要有代数和几何等几个部分，本文谈几何知识和方法在物理中的应用。
有一位教科所的物理老师讲过：解物理题就是画图，会画图就会解题，不会画图就不会解题；画图正确就能解题正确，画图错误一定解题错误。此言虽然不太准确，但也不无道理。
一、相对运动中的几何关系
例1.如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：

（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小vA.
【解析】

（1）支持力的大小N= mgcos α
（2）根据几何关系sx=x·(1-cosα), sy=x·sinα
且s=
解得s=
（2）B的下降高度sy=x·sinα
根据机械能守恒定律mgsy=mvA2+mvB2
根据速度的定义得vA=，vB=
则 解得vA=。
【答案】（1）mgcos α （2）（3）
【点评】本题解题关键是A与B运动中的位移关系从而确定二者速度的关系。画出以上图并写出关系式：根据几何关系sx=x·(1-cosα), sy=x·sinα。
二、力做功中的位移问题
例2.如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R.C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为μ.现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面.整个过程中B保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：
（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；
（2）动摩擦因数的最小值μmin；
（3）A移动的整个过程中，拉力做的功W.

【答案】14．（1）C受力平衡 解得
（2）C恰好降落到地面时，B受C压力的水平分力最大
B受地面的摩擦力 根据题意 ，解得
（3）C下降的高度 A的位移
摩擦力做功的大小
根据动能定理
解得
【解析】

黑色的半圆A,B为圆心，C为整圆的圆心，A’为移动后A半圆的圆心，C’为移动后C圆的圆心。从图中可以看出，在等边三角形CBA中，高CD=，C下降到地面后，C’D’=R，所以C下降的高度为
又BA=2R，在等腰三角形C’BA’中，BD’=2Rcos300=R，所以BA’=2，所以A向右移动的距离为x=AA’=BA’-BA=2()R.根据
所以。
【点评】解本题的关键是求C下降的高度 和A的位移，从而求C的重力做功和摩擦力做功。如果不画出上图，是很难解出的，可惜的是：标准答案没有这个图，那么公式从何而来呢？
三、力的合成和分解中的角度问题
例3.如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）小球受到手的拉力大小F；
（2）物块和小球的质量之比M:m；
（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T．
【答案】14．（1）设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2 ，如下图所示：

F1sin53°=F2cos53°（水平方向合力为零）
F+mg=F1cos53°+ F2sin53°（竖直方向合力为零）且F1=Mg
解得
（2）小球运动到与A、B相同高度过程中

从上图可以得到：小球上升高度h1=3lsin53°，物块下降高度h2=4l+3l-5l=2l
机械能守恒定律mgh1=Mgh2
解得
（3）根据机械能守恒定律，小球回到起始点．设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T
牛顿运动定律Mg–T=Ma 小球受AC的拉力T′=T
牛顿运动定律T′–mgcos53°=ma
解得（）
【点评】本题第(1)问，解题方法是力的平衡及力的分解，解题关键是力的夹角关系。要画图才可以看清楚。第（2）、（3）问中，同样也要画图才能搞清楚力做功中的位移关系。
四、弹力做功与位移的关系
例4. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置．物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点．在从A到B的过程中，物块

（A）加速度先减小后增大
（B）经过O点时的速度最大
（C）所受弹簧弹力始终做正功
（D）所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
【解析】设速度最大位置为C，则加速度为0，如下图所示

，x为弹簧压缩量，C点在O点以左，所以B错误；
从A到C,加速度（因为）随x的减小而减小，从C到O，加速度（因为）随x的减小而增大，所以A正确；从O到B，加速度，不变；
从A到O，弹簧弹力做正功，从O到B，弹簧弹力做负功，C错误；
根据动能定理，所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，D正确。
【答案】AD
五、电场问题
例1. 空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O-xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标（0，a，0），N点的坐标为（a,0,0），P点的坐标为（a,,）。已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1V，则P点的电势为
A.V B.V C.V D.V

【解析】从立体图可以看出，P点电势等于Q点电势。然后画出平面图如下

从Q点作MN的垂线QS交MN于S，则，因为，所以，又，所以,因为,所以,所以,即,本题选D。
例2.匀强电场中有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中， ∠a＝30°、∠c＝90°,．电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为V、V和2 V．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为
A．V、V B．0 V、4 V
C．V、 D．0 V、V

【解析】作图：1.作三角形的外接圆，圆心为o, 如下图，连接co
2.过o作de⊥oc,交外接圆d和e
3.从a、b作de的垂线，g、f为垂足
求解：de为电场线，o与c,a与g，f与b为等势点，所以，因为oe=ob=, 所以,所以，，所以选B.

理由：因为,所以oc为等势线，它的垂线ed为电场线,沿电场线电势降落最快，所以，d、e分别是圆上电势最高点和最低点。
例3. a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在的平面平行。已知a点的电势是20V，b点的电势是24V，d点的电势是4V，如图。由此可知，c点的电势为（ ）
A、4V B、8V C、12V D、24V


【解析】运用一个结论:在匀强电场中,任意一族平行线上等距离的两点的电势差相等,所以Uab=Ucd,所以c点电势为8v;
。
例4．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于所在平面，A、B、C三点的电势分别为、和，设场强大小为E，一电量为的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为，则（ ）

、
、
、
、
【答案】A
【解析】作图如下：（1）延长AB到E使BE=DE，则
（2）连接EC,则EC为等势线
（3）从A向EC的延长线作垂线，F为垂足，则AF为电场线，且

一电量为的正电荷从D点移到C点电场力所做的功=
场强大小E=.

例5．图中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为UA＝15vUB＝3v，UC＝-3V　由此可得D点电势UD＝________V。






【分析】本题考查电场中的电势和电势差及分析综合能力。
【解法1】由题意知、间电势差为12，、间电势差为18,、间电势差为6。
连接、，并将线段等分为三等分，如图，

则、两点等势，电势为3，、两点等电势，电势为9.
【解法2】 画出电场线AH, 如下图，再分别从B、C、D向AH作垂线BF, CG, DE, 则这三条线是等势线，所以B、F等电势, C、G等电势, D、E等电势，所以、间电势差为12，、间电势差为18,求、间的电势差。

设正方形的边长为a, 角CAG为，从图中可以得到：
, ①
=12V, ②
=18V ③
从③得，代入②得，代入①得。
所以E点电势即D点电势为：.
例6.（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S₁、S₂到点电荷的距离分别为r₁、r₂。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S₁、S₂上单位面积通过的电场线条数之比N1/N2。

（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P₁，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P₂；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
【答案】（1）a．在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷
根据库仑定律检验电荷受到的电场力

根据电场强度的定义
得
b．穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比

（2）a．地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，因此

b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。
设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，则

可得L=5L0
则
电场问题小结：
1. 已知某些点的电势，求另一些（个）点的电势，可考虑用几何方法，主要是平面几何方法。
2. 用几何方法解物理问题的关键是作辅助线。
3. 在用几何方法解物理问题中要重视几何图形的物理意义，如电场线和等势线或等势面。
4. 沿电场线电势降落最陡。
5. 同一条等势线上各点电势相等。
6. 电场线与等势线垂直。
7. 匀强电场的电场线相互平行并距离相等，在电场线上，距离相等，电势差也相等；匀强电场的等势线也相互平行并距离相等的等势线间电势差相等。

六．带电粒子在磁场中运动问题
例1.（16分）一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.

（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；
（3）若考虑加速电压有波动，在（）到（）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件.
【答案】
（1）设甲种离子在磁场中的运动半径为r1
电场加速 且 解得
根据几何关系x =2r1 –L 解得
（2）(见图) 最窄处位于过两虚线交点的垂线上

解得

（3）设乙种离子在磁场中的运动半径为r2
r1的最小半径
，r2 的最大半径
由题意知 2r1min–2r2max >L，即
解得
【研究】要把图象放大才可以看清楚，如下图，A、B分别是两个半圆的最高点，AB是两个半圆的切线，P是两个半圆的交点，作PQ平行于AB，与AO(O是左半圆的圆心)相交于Q，则因为，所以，所以最窄处的宽度
则将代入得。

一般参考书上，只有上图，没有下图，从上图中不能看到要求的“该区域最窄处的宽度d”，有的同学认为是零。
为什么有这个宽度呢？因为除了图中所画的“图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹”外，还有很多没有画出的轨迹，他们是“经过狭缝左、右边界M、N”之间的或以外的其它甲种离子的运动轨迹。
有的同学可能要问：怎么知道这个d就是最窄呢？
为了说明这个问题，我又画了下图，图中红线是从MN中点P射出的甲种离子的轨迹，它的最高点为Q，则两圆的切线（上图中的AB必过Q，即也是此离子轨迹的切线）。连接QR(R是原来两半圆的交点)并延长之，必过此半圆的圆心O。过R做切线AB的平行线交此半圆于S，则在三角形ORS中，OR=，因为OR=r，RS=，所以，即。

(3)从下图可以看出，2r1min–2r2max >L，其余同上。

例2.如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．

（1）求磁感应强度大小B；
（2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t；
（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值．
【答案】（1）粒子圆周运动的半径 由题意知，解得
（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为α，如图所示

由d=rsinα，得sinα=，即α=53°
在一个矩形磁场中的运动时间，解得
直线运动的时间，解得 则
（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x，如图所示

粒子向上的偏移量y=2r（1–cosα）+xtanα
由y≤2d，解得
则当xm=时，Δt有最大值
粒子直线运动路程的最大值
增加路程的最大值
增加时间的最大值。
有的可能以为当中间两磁场分别向中央移动到靠近时，可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt最大，错误了，因为此情况粒子飞出左磁场后打到第2个磁场的上边缘了，要飞出磁场了，不能到达O’。如下图所示：

【点评】此题难在哪？与其说难在物理上，不如说难在数学上。这3个图，都是笔者画的，而标准答案上没有。为什么？因为标准答案不是给学生写的，也不是给物理老师写的，而是给阅卷老师写的，他们照本宣科，按标准答案阅卷就可以了，如果要使学生看懂，老师还要做功课，象我这样不怕辛苦地把图画出来，只有这样，才能看清楚关系。
例3.如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y