江苏省南京市江宁区2022-2023学年高三数学上学期学情调研试卷（Word版附答案）

高三阶段性学情调研

数 学 试 题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 若集合，则(    )

 A．  B．  C．   D．

2． 设复数满足，则(    )

 A．    B．    C．    D．

3． 在的二项展开式中，常数项为(    )

 A．    B．    C．    D．

5． 函数的图象大致为(    )

         A                   B                   C                   D

6． 若，则(   )

 A．    B．    C．    D．

7． 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则(   )

 A．    B．    C．    D．2

8． 设，，，则(   )

 A．   B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9． 下列命题为真命题的是(   )

 A．                  B．“”是“”的充分条件

 C．若，则         D．若，，则

10．已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是(   )

 A．                  B．当且仅当时，取得最大值

 C．                       D．

11．已知函数的最小正周期为，且对于 恒成立，则(   )

 A．在区间单调递减             

 B．在区间有两个零点

 C．是曲线的一个对称中心   

 D．当时，函数取得极值

12．已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则(   )

 A．是奇函数                            B．是偶函数 

 C． 是曲线的一个对称中心      D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设函数则______．

14．在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正

弦值为______．

15．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若

，则______．

16．设圆锥的底面半径为2，母线长为，若正四棱柱上底面的4个顶点在其母线上，下底面的4个顶点在其底面圆内，则该正四棱柱体积的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，.

    (1)求的值；

    (2) D为边的中点，若，求的面积．

18．(本小题满分12分)

 已知等差数列的前项和为，且,．

    (1)求数列的通项公式；

    (2)设，求数列的前项和．

19．(本小题满分12分)

 随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动车服务系统，共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果.目前来看，共享电动车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为一次租用时间，具体计费标准如下：

①租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；

②租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；

③租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算

    甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时间的概率如下表：

若甲、乙租用时间相同的概率为.

(1)求，的值；

(2)设甲、乙两人所付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.

20．(本小题满分12分)

 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．

    (1)求证：平面；

    (2)求二面角的正弦值．

21．(本小题满分12分)

 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到 的一条渐近线的距离为．

    (1)求双曲线的方程；

 (2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．

22．(本小题满分12分)

 已知函数，曲线在点处的切线方程为．

    (1)求的值；

  (2)记表示不超过实数的最大整数，若对任意恒成立，求的值．

参考答案

—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.        14．        15．        16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（1）在中，由正弦定理得：，

所以，因为，所以，即…………2分

在中，由余弦定理得：

…………………………………4分

（2）在中，由余弦定理得：

………………………………6分

因为，所以 ……………………………8分

所以的面积……………………………………10分

18．解：（1）设等差数列的公差为，

因为，所以，

化简得：…………………………………………………………3分

因为，所以 ………………………………………………4分

            由①②解得：，

所以数列的通项公式为………………………………………6分

（2） ………………………………………9分

所以…………………………12分

19．解：（1）分别记“甲租用时间不超过30分钟、、”为事件，它们彼此互斥，则，且；

分别记“乙租用时间不超过30分钟、、”为事件，则，且与相互独立.

        记“甲、乙租用时间相同”为事件，

则

………………………2分

由①②解得：……………………………………………………………4分

（2）可能取值为………………………………………………………5分

，，

，

，…………10分

所以的分布表如下：

所以……………12分

20．（1）证明：设与交于，连接.

          因为为正方形的对角线，所以为中点，且，

因为是的中点，所以，

因为，所以 …………………………………………………2分

因为平面底面，平面平面，平面，

所以平面，因为平面，所以…………………4分

因为平面，，所以平面 …………6分

（2）因为平面，平面，所以，，

      因为是的中点，所以，

因为底面为正方形，

所以，

在中，为的中点，所以，

同理：，且，

因为平面，，所以平面，

以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，

设平面的一个法向量，因为，

所以，令，则，

所以……………………………………………………………………8分

同理：平面的一个法向量……………………………………10分

设二面角的平面角为，

， 所以，

所以二面角的正弦值为 ……………………………………12分

注：利用综合几何方法（一作，二证，三计算）也可以求二面角的正弦值.

21．解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，

因为双曲线的右焦点到 的一条渐近线的距离为，所以……2分

②代入①得：，所以求双曲线的方程为…………………4分

（2）设，，，

联立方程，得：，

，

， ………………………………………………6分

因为，所以，

因为点在双曲线上，所以，

  即，

所以，

即……………………………………………………9分

当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；

当时，，所以不满足题意；

当时，，

所以，

综上所述：的取值范围为……………………………12分

22．解：（1）因为，所以 ……………………2分

…………………………………………………3分

（2）由(1)知，，

，

因为，，

且函数在是连续不间断的减函数，

所以恰有一个，使………………………………………5分

因为，所以时，，时，，

因为任意恒成立，

所以时，，时，，

所以有两个根1和，

所以，………………………………………………………7分

所以

……………10分

             设，因为对称轴，

             所以，

             即。