2022-2023学年江苏省南京市人民中学等校高二上学期8月阶段性学情联合调研数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市人民中学等校高二上学期8月阶段性学情联合调研数学试题

一、单选题

1．复数，则z的模为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】先对复数化简，然后再求复数的模

【详解】因为，

所以，

故选：C

2．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.

【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，

所以，且，

所以，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B

3．过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.

【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，

因为直线过点，代入可得，即；

当所求直线过原点时，设直线方程为，

因为直线过点，代入可得，即，

综上可得，所求直线的方程为或.

故选：B.

4．已知角满足，且，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案

【详解】由，得，

，

因为，

所以，

故选：A

5．如图，某系统由A，B两个零件组成，零件A中含1个元件，零件B中含2个元件，每个零件中的元件只要有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作，该系统才能正常工作，每个元件能正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立，则该系统能正常工作的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出零件和能正常工作的概率即得解.

【详解】解：由题得零件B不能正常工作的概率是，所以零件B能正常工作的概率是，零件A能正常工作的概率为 .

所以该系统能正常工作的概率为．

故选：B．

6．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.

【详解】三棱锥中，，，，

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，

设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，

因此三棱锥外接球的直径为，

所以三棱锥外接球的表面积为．

故选：A

7．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围.

【详解】解：因为，所以.

圆的标准方程，圆心，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的取值范围为：，

所以.

故选:C.

8．如图，为了测量山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.若已测得AB之间的距离为a，，，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，可以求出M，N间距离的组数为（    ）

①和；②和；③和

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】利用已知条件结合正余弦定理，判断所选的条件是否可以求出即可

【详解】由，，，在中，利用正弦定理可以求出的长，

对于①和，在中，利用正弦定理可得，得，从而可求出，

对于②和，先求得，所以，然后在中，利用正弦定理可得，得，从而可求出，

对于③和，在中，由正弦定理得，可求得，再在中利用三角形的内角和定理可求出，

从而可求得，再在中，利用余弦定理得

，从而可求出，

所以三组数据均能求出，

故选：D

二、多选题

9．已知复数满足均不为0，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．对任意给定的，均有

C．若，则

D．若，则

【答案】BC

【分析】复数的基本概念与运算性质进行判断即可.

【详解】解:当时，可知对任意均成立，故A错误；

设，则，故B正确；

设，则，同理，且，所以，故C正确；

取，则，所以，故错误.

故选：BC.

10．已知直线，则（    ）

A．恒过点 B．若，则

C．若，则 D．当时，不经过第三象限

【答案】BD

【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点；

对于选项B，通过斜率相等可以求解；

对于选项C，通过斜率之积等于可以求解；

对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.

【详解】直线，则，

由，得，所以恒过定点，所以A错误；

由可得：，所以，B正确；

由可得：，，所以C错误；

由，当时，，不过第三象限；

当时，，不过第三象限，只需要，解得，

所以的取值范围为，所以D正确；

故选：BD.

11．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，过M点的圆C的最短弦长是

C．线段的中点纵坐标最小值是

D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是

【答案】CD

【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．

【详解】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，

对于A，令直线，即，显然有，

线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；

对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；

对于C，令线段的中点，则，

则，即，解得，当且仅当时取等号，

所以，C正确；

对于D，依题意及切线长定理得：，

解得或，

所以的取值范围是，D正确．

故选：CD．

12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（    ）

A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为

C．侧面积为平方米 D．体积为立方米

【答案】AD

【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.

【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，

所以，则，

在直角中，可得，即，解得，

所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；

对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，

在直角中，可得，所以B错误；

对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；

对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则__________．

【答案】

【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值.

【详解】事件A和事件B是互斥事件，且，，

则

故答案为：

14．直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．

【答案】

【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，求得的值，进而求得直线的方程.

【详解】设直线与和，分别交于点和，

因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，

所以和，则，

可得直线的方程为，即.

故答案为：.

15．若，则＝________.

【答案】

【分析】由题知，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.

【详解】解：因为，

所以．

故答案为：

四、双空题

16．动点与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为，，，（逆时针方向），且点到，，的距离分别为，，．若，则点的轨迹是________；点到点的最大距离为________．

【答案】     圆；    

【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，根据，得出点P的轨迹是圆，结合图象可得P点到D点的最大距离.

【详解】以B为原点，建立如图所示的坐标系，∵，，，，

不妨设，则，，，

又∵，∴，

整理，可得，

所以点的轨迹是圆，其方程为（注：坐标系建立的不同，圆的方程的形式不同）.

结合图象可得，点到点的最大距离为，

故答案为：圆；.

五、解答题

17．已知向量，．

(1)若与共线，求的值；

(2)当时，求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据向量共线的坐标公式求解即可；

（2）根据垂直的坐标公式，结合向量的坐标运算求解即可

【详解】（1）∵与共线，故，解得

（2）∵，，

∴，，

∵，

∴，

即，

解得或．

18．已知角终边过点，，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据三角函数的定义，结合余弦二倍角公式进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】（1）根据三角函数的定义，因为角终边上有一点，

所以，，即，所以；

（2）由且，得，所以.

由（1）知，所以.

又因为，，所以，

所以，且，

因为.

所以.

19．如图，在三棱锥中，，均为等边三角形.

(1)求证：；

(2)若，.求三棱锥的体积.

【答案】(1)详见解析

(2)

【分析】（1）首先取的中点，要证明线线垂直，转化为先证明平面；

（2）根据（1）的结论，转化为.

【详解】（1）取的中点，连接，

因为，均为等边三角形，所以，，且，

所以平面，所以

（2）因为，所以，所以是等边三角形，

由（1）可知平面，

所以三棱锥的体积.

所以三棱锥的体积.

20．已知圆经过点，，.

(1)求圆的方程；

(2)求直线截圆所得两段弧长之比.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）设圆的一般方程，把三个点代入即可解出答案.

（2）圆心在直线上，即可得出答案.

【详解】（1）设圆的一般方程为，把三个点代入得

，得

所以圆的方程为  

即.

（2）由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为.

21．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：

(1)求a；

(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.

【答案】(1)

(2)74.4分钟

(3)

【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；

（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；

（3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.

【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，

所以，解得.

（2）因为，.

则中位数位于区间内，设中位数为x，

则，解得，

所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.

（3）由题意，阅读时间位于的人数为，

阅读时间位于的人数为，

阅读时间位于的人数为，

所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，

则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，.

则从5人中任取3人，样本空间

.

含有10个样本点.

设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，

，含有3个样本点.

所以，

所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.

22．已知直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为6．

（Ⅰ）若直线l过点（3，1），求原点O关于直线l对称点的坐标；

（Ⅱ）是否存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（I）（，）（Ⅱ）直线l的方程为4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0

【分析】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：，直线l过点（3，1），代入可得．与ab=12联立解得：a，b．即可得出直线l的方程．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，可得，与ab=12联立解得a，b即可得出．

【详解】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．

直线l的方程为：=1，

∵直线l过点（3，1），∴=1．

与ab=12联立解得：a=6，b=2．

∴直线l的方程为：=1．

化为：x+3y-6=0．

设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），

则×=-1，-6=0，化为：m+3n-12=0．

联立解得m=，n=．

∴原点O关于直线l对称点的坐标为（，）．

（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，则=1，

与ab=12联立解得：，或．

可得：直线l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0．

【点睛】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．