2022-2023学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末数学试卷（附答案）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末数学试卷（附答案），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（5分）若复数z满足|z﹣1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
3．（5分）已知集合A={x|x-1x-a＜0}．若A∩N*＝∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．{1}B．（﹣∞，1）C．[1，2]D．（﹣∞，2]
4．（5分）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．4种B．6种C．21种D．35种
5．（5分）某研究性学习小组发现，由双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y=kx(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y=5x的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．5
6．（5分）△ABC中，AH为BC边上的高且BH→=3HC→，动点P满足AP→⋅BC→=-14BC→2，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
7．（5分）若函数f（x）＝x3+bx2+cx+d满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣4，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
8．（5分）四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中（ ）
A．逐步变大B．逐步变小
C．先变小后变大D．先变大后变小
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）若X～N（μ，σ2），则下列说法正确的有（ ）
A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）
B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）
C．P（X＜μ+σ）不随μ，σ的变化而变化
D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）随μ，σ的变化而变化
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝3sinx﹣4csx．若f（α），f（β）分别为f（x）的极大值与极小值，则（ ）
A．tanα＝﹣tanβB．tanα＝tanβ
C．sinα＝﹣sinβD．csα＝﹣csβ
（多选）11．（5分）已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（ ）
A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上
B．若点P在直线l上，则OP≥2
C．直线l上存在定点P
D．存在无数个点P总不在直线l上
（多选）12．（5分）如图，圆柱OO'的底面半径为1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF得点P，则（ ）
A．椭圆Ω的短轴长为2
B．tanθ的最大值为2
C．椭圆Ω的离心率的最大值为22
D．EP＝（1﹣cs∠AOE）tanθ
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）(2x+1x)5的展开式中，x3的系数是 （用数学填写答案）．
14．（5分）设函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，则使f（x）在(-π2，π2)上为增函数的ω的值可以为 （写出一个即可）．
15．（5分）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0，1，2，3，⋯，n}（n∈N*），则X，Y的散度D(X||Y)=i=0n P(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)．若X，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，则D（X||Y）的取值范围是 ．
16．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k其中k∈N*，{bn}是公比为q的等比数列，则an+1an= （用q表示）；若a2+b2＝24，则a5＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N*．
（1）判断数列{an﹣2n﹣1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）若bn=(2n-1)2nanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB=2π3．
（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；
（2）若BC=7，求AP．
19．（12分）为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如表：
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程ŷ=b̂x+â，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；
（2）10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如统计表：
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：b̂=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，â=y-b̂x．
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱锥P﹣ABCD的体积为4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）如图，已知椭圆x24+y2=1的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．
（1）当|AC|=5时，求cs∠POM；
（2）求|PQ|•|MN|的最大值．
22．（12分）已知函数f(x)=x+1ex．
（1）当x＞﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；
（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求证：|x1-x2|＞21-t．
2022-2023学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解答】解：如果数列{an}是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有a3+a9＝2a6，
反之a3+a9＝2a6成立，不一定有数列{an}是等差数列，
所以“a3+a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件．
故选：B．
2．（5分）若复数z满足|z﹣1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【解答】解：z在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，S＝4π．
故选：D．
3．（5分）已知集合A={x|x-1x-a＜0}．若A∩N*＝∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．{1}B．（﹣∞，1）C．[1，2]D．（﹣∞，2]
【解答】解：若a＞1，则A={x|x-1x-a＜0}=（1，a），结合A∩N*＝∅，得1＜a≤2；
若a＝1，则A＝∅，满足A∩N*＝∅；
若a＜1，则A={x|x-1x-a＜0}=（a，1），满足A∩N*＝∅．
综上所述，实数a的取值范围是：（﹣∞，2]．
故选：D．
4．（5分）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．4种B．6种C．21种D．35种
【解答】解：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有C42=6种．
故选：B．
5．（5分）某研究性学习小组发现，由双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y=kx(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y=5x的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．5
【解答】解：由题意，双曲线y=5x两渐近线为x轴和y轴，互相垂直，
故为等轴双曲线，离心率为2．
故选：A．
6．（5分）△ABC中，AH为BC边上的高且BH→=3HC→，动点P满足AP→⋅BC→=-14BC→2，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【解答】解：设|BC|＝4a，|AH|＝b，
以H为原点，HC→、HA→方向为x、y轴正方向如图建立平面直角坐标系，
因为BH→=3HC→，
所以|BH|＝3a，|HC|＝a，
则H（0，0），B（﹣3a，0），C（a，0），A（0，b），
则BC→=(4a，0)，
设P（x，y），
则AP→=(x，y-b)，
∵AP→⋅BC→=-14BC→2，
∴4ax=-14(4a)2，
即x＝﹣a，
即点P的轨迹方程为x＝﹣a，
而直线x＝﹣a平分线段BC，
即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心，
故选：A．
7．（5分）若函数f（x）＝x3+bx2+cx+d满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣4，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
【解答】解：由f（1﹣x）+f（1+x）＝0，
对上式求导可得﹣f'（1﹣x）+f'（1+x）＝0，
即f'（1+x）＝f'（1﹣x），所以f'（x）关于x＝1对称，
因为f'（x）＝3x2+2bx+c，
所以f'（x）图像的开口向上，对称轴为x＝1，
由f'（2x+3）＜f'（x﹣1），
得|2x+3﹣1|＜|x﹣1﹣1|，
解得﹣4＜x＜0．
故选：C．
8．（5分）四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中（ ）
A．逐步变大B．逐步变小
C．先变小后变大D．先变大后变小
【解答】解：由题可知初始时刻ED与BF所成角为0，故B，C错误，
在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，
所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，
所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，
所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，
所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成角为π2，然后α开始变小，
故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）若X～N（μ，σ2），则下列说法正确的有（ ）
A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）
B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）
C．P（X＜μ+σ）不随μ，σ的变化而变化
D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）随μ，σ的变化而变化
【解答】解：对于A、B：根据正态分布的对称性可得出P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）与P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ），故A正确，B错误；
对于C、D：根据正态分布的性质可得出P（X＜μ+σ）与P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）都不随μ，σ的变化而变化，表示的概率为定值，故C正确，D错误；
综上：选项A、C正确．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝3sinx﹣4csx．若f（α），f（β）分别为f（x）的极大值与极小值，则（ ）
A．tanα＝﹣tanβB．tanα＝tanβ
C．sinα＝﹣sinβD．csα＝﹣csβ
【解答】解：已知f（x）＝3sinx﹣4csx＝5sin（x﹣φ），
其中sinφ=45，csφ=35，
因为f（α），f（β）分别为f（x）的极大值与极小值，
所以α=φ+π2+2k1π，β=φ-π2+2k2π，k1、k2∈Z，
可得α﹣β＝π+2（k1+k2）π，
因为k1、k2∈Z，
所以k1+k2∈Z，
不妨设k＝k1+k2，
此时α﹣β＝π+2kπ，k∈Z，
所以α＝β+π+2kπ，tanα＝tan（β+π+2kπ）＝tanβ，故选项A错误，选项B正确；
而sinα＝sin（β+π+2kπ）＝﹣sinβ，故选项C正确；
又csα＝cs（β+π+2kπ）＝﹣csβ，故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（ ）
A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上
B．若点P在直线l上，则OP≥2
C．直线l上存在定点P
D．存在无数个点P总不在直线l上
【解答】解：O到l的距离d=2(1+a2)(a2-1)2+4a2=2，
若OP≤2，则点P有可能在直线l上，A错误；
由O到l的距离d=2(1+a2)(a2-1)2+4a2=2可知，若点P在直线l上，则OP≥2，B正确；
原直线可变形为a2（x+2）﹣a•2y+2﹣x＝0，
令x+2=02y=02-x=0，此时无解，即直线l不过定点，一定存在无数个P不在直线l上，C错误，D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）如图，圆柱OO'的底面半径为1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF得点P，则（ ）
A．椭圆Ω的短轴长为2
B．tanθ的最大值为2
C．椭圆Ω的离心率的最大值为22
D．EP＝（1﹣cs∠AOE）tanθ
【解答】解：椭圆Ω在底面上的投影为底面圆O，所以短轴长为底面圆直径，即为2，故A正确；
当平面α过AC时，tanθ的最大值为tan∠CAB＝1，故B错误；
椭圆短轴长为定值2，所以长轴长最长为AC时，离心率最大为22，故C正确；
过E作椭圆Ω所在平面和底面的交线垂线，垂足为G，连接AE，设则∠AOE＝α，
由题意可得AO⊥AG，由余弦定理可得AE=AO2+OE2-2AO⋅OE⋅csα=2-2csα，
由∠GAE=π2-∠OAE=π2-π-α2=α2，
则EG=AE⋅sin∠GAE=AE⋅sinα2=(2-2csα)⋅sin2α2=(2-2csα)⋅1-csα2=1-csα，
由题意可得∠PGE＝θ，PE⊥GE，
所以EP＝（1﹣cs∠AOE）tanθ，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）(2x+1x)5的展开式中，x3的系数是 80 （用数学填写答案）．
【解答】解：Tr+1=∁5r(2x)5-r(1x)r=25﹣r∁5rx5﹣2r，令5﹣2r＝3，解得r＝1．
∴x3的系数是24⋅∁51=80．
故答案为：80．
14．（5分）设函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，则使f（x）在(-π2，π2)上为增函数的ω的值可以为 13（答案不唯一，满足ω∈(0，13]即可） （写出一个即可）．
【解答】解：f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，
令-π2+2kπ≤ωx+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得2kπ-5π6ω≤x≤2kπ+π6ω，k∈Z，
即函数f（x）在[2kπ-5π6ω，2kπ+π6ω]，k∈Z上单调递增，
而函数f（x）在(-π2，π2)上为增函数，
令2kπ-5π6ω≤02kπ+π6ω≥0，∵ω＞0，解得-112≤k≤512，
∵k∈Z，则k取0，
此时函数f（x）的单调递增为[-5π6ω，π6ω]，
则(-π2，π2)⊆[-5π6ω，π6ω]，
则-π2≥-5π6ωπ2≤π6ω，解得ω≤13，
则使f（x）在(-π2，π2)上为增函数的ω的值的范围为(0，13]，
故答案为：13（答案不唯一，满足ω∈(0，13]即可）．
15．（5分）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0，1，2，3，⋯，n}（n∈N*），则X，Y的散度D(X||Y)=i=0n P(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)．若X，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，则D（X||Y）的取值范围是 [0，+∞） ．
【解答】解：根据已知公式D(X||Y)=i=0n P(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)，
得D(X||Y)=12ln12(1-p)+12ln12p=12ln14p(1-p)，4p（1﹣p）＝﹣4p2+4p，
令y＝﹣4p2+4p，开口向下，对称轴为p=12，
∴﹣4p2+4p在0＜p＜1上，0＜﹣4p2+4p≤1，
则14p(1-p)≥1，
则D(X||Y)=12ln14p(1-p)≥0，
故答案为：[0，+∞）．
16．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k其中k∈N*，{bn}是公比为q的等比数列，则an+1an= q2 （用q表示）；若a2+b2＝24，则a5＝ 1024 ．
【解答】解：当n＝2k﹣1时，bn=an+12，即ak＝b2k﹣1，k∈N*，
则an+1an=b2n+1b2n-1，
∵{bn}是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即an+1an=q2；
∵q2＞0，∴{an}中的项同号，当n＝2k时，bn=an+1，∴an+1≥0，
则{an}中的项都为正，即an＞0，
∴bn=an+12＞0，∴q＞0，∵bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k，∴a2＝b3，∴a2+b2＝b2+b3＝24，∴b1q（1+q）＝24，
∵bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k，∴a3=b2，b5=a3，∴b22=b5，即b12q2=b1q4，∴b1=q2，
∴q3（1+q）＝24，q4﹣16+q3﹣8＝0，
解得q＝2，∴a5=b42=q10=1024．
故答案为：q2；1024．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N*．
（1）判断数列{an﹣2n﹣1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）若bn=(2n-1)2nanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）由于a1﹣2﹣1＝0，
故数列{an﹣2n﹣1}不是等比数列．
∵an+1＝3an﹣4n，
∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3an﹣4n﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），
同理an﹣2n﹣1＝3[an﹣1﹣2（n﹣1）﹣1]⋅⋅⋅a2﹣2×2﹣1＝3（a1﹣2×1﹣1）＝0，
迭代得an+1-2(n+1)-1=3n(a1-2×1-1)=0，即an+1＝2n+3，
所以an＝2n+1．
（2）bn=(2n-1)2nanan+1=(2n-1)2n(2n+1)(2n+3)=2n+12n+3-2n2n+1，
所以Sn=(2n+12n+3-2n2n+1)+(2n2n+1-2n-12n-1)⋯+(87-45)+(45-23)=2n+12n+3-23．
18．（12分）在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB=2π3．
（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；
（2）若BC=7，求AP．
【解答】解：（1）在△APC中，∵AP⊥CP，AP＝PC，∴∠CAP=π4，
∵AC＝2，∴AP＝PC=2，
∵∠BAC=π3，∴∠BAP=π12，
在△APB中，∠APB=2π3，∠BAP=π12，则∠ABP=π4，
由正弦定理得，ABsin2π3=APsinπ4，∴AB=2×32×22=3，
∴△ABC的面积为12AB•AC•sin∠BAC=12×3×2×32=32；
（2）在△ABC中，由余弦定理得7＝4+AB2﹣2AB，即AB2﹣2AB﹣3＝0，∵AB＞0，∴AB＝3，
设∠CAP＝α，则AP＝2csα，
在△APB中，∠BAP=π3-α，∠ABP＝π-2π3-（π3-α）＝α，
由正弦定理得，ABsin2π3=APsinα，∴3csα＝3sinα，∵tanα=33，
∵α∈（0，π3），∴α=π6，
∴AP＝2×32=3．
19．（12分）为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如表：
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程ŷ=b̂x+â，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；
（2）10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如统计表：
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：b̂=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，â=y-b̂x．
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由题意可得x=6，y=(80+95+100+105+120)÷5=100，
则i=15(xi-x)(yi-y)=(2-6)×(80-100)+(4-6)×(95-100)+(6-6)×(100-100)+（8﹣6）×（105﹣100）+（10﹣6）×（120﹣100）＝180，i=15 (xi-x)2=(2-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(8-6)2+(10-6)2=40，
可得b̂=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=18040=92，â=100-92×6=73，
故y关于x的回归直线方程为ŷ=92x+73，
令x＝12，得ŷ=127，
据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3000×127150=2540人；
（2）提出假设H0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关，
则K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=150(65×20-55×10)2120×30×75×75=256≈4.17，
因为P（K2≥3.841）＝0.05，而4.17＞3.841，
故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱锥P﹣ABCD的体积为4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：设AC∩BD＝O，在平面PAC内过点A作AH⊥PO，垂足为H，
因为平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，
所以AH⊥平面PBD，
又BD⊂平面PBD，所以BD⊥AH，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，
因为BD⊥AH，PA∩AH＝A，PA⊂平面PAC，AH⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC；
（2）在△ABD中，由AB＝AD＝2，AB⊥AD，可得BD=22，∠DAC=π4，
由（1）知BD⊥AC，则VP-ABCD=13SABCD×PA=13×12×22×AC×2=4，
解得AC=32，
因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直，
以AP，AB，AD为z，x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（3，3，0），P（0，0，2），
所以PD→=(0，2，-2)，PC→=(3，3，-2)，
易知平面PAD的一个法向量为n→=(1，0，0)，
设平面PCD的一个法向量为m→=(x，y，z)，
则PD→⋅m→=2y-2z=0PC→⋅m→=3x+3y-2z=0，取m→=(-1，3，3)，
所以cs〈n→，m→〉=n→⋅m→|n→||m→|=-11×19=-1919，
所以平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值为1919．
21．（12分）如图，已知椭圆x24+y2=1的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．
（1）当|AC|=5时，求cs∠POM；
（2）求|PQ|•|MN|的最大值．
【解答】解：（1）由题知A（﹣2，0），设C（x0，y0），则D(x0-22，y02)，
则kAC⋅kOD=y0x0+2⋅y0x0-2=1-14x02x02-4=-14．
因为|AC|=5，所以C在圆（x+2）2+y2＝5上，
又C在椭圆x24+y2=1上，
所以C（x0，y0）满足(x+2)2+y2=5x24+y2=1，所以(x+2)2+1-x24=5，34x2+4x=0，所以x0＝0或x0=-163＜-2（舍去），
又C在x轴上方，所以C（0，1），
所以直线AC的斜率为12，故直线OD的斜率为-12，
所以直线AC与直线OD关于y轴对称．
设直线AC的倾斜角θ，cs∠POM=cs2(π2-θ)=-cs2θ=sin2θ-cs2θ=sin2θ-cs2θsin2θ+cs2θ=tan2θ-1tan2θ+1=-35
（2）当直线MN斜率为k，k＞0，
则直线MN：y＝kx，直线PQ：y=-14kx，
所以M（x1，y1），N（x2，y2）满足y=kxx24+y2=1，
所以(4k2+1)x2=4，x2=44k2+1，
所以|MN|2=(1+k2)164k2+1，
同理，|PQ|2＝（1+1(4k)2）×161+4×(-14k)2=4(1+16k2)4k2+1，
所以|MN|2⋅|PQ|2=16(4k2+4)(16k2+1)(4k2+1)2≤16(4k2+4+16k2+12)2(4k2+1)2=4(20k2+5)2(4k2+1)2=100，
所以|MN|⋅|PQ|≤10，当且仅当4k2+4＝16k2+1，即k≤12时取“＝”，
所以|PQ|⋅|MN|的最大值为10．
22．（12分）已知函数f(x)=x+1ex．
（1）当x＞﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；
（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求证：|x1-x2|＞21-t．
【解答】解：（1）由题意可得g'(x)=-xex+2x=x(2ex-1)ex，
令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣ln2，
列表如下：
当x趋近于﹣1时，g（x）趋近于g（﹣1）＝0，g（0）＝0
所以g（x）min＝g（0）＝0．
（2）证明：由题意可得f'(x)=-xex，
所以当x＜0时，f'（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以f（x）max＝f（0）＝1，
因为f（x1）＝f（x2），不妨设x1＜0＜x2，
因为x2＞0时，f（x2）＞0，t＝f（x2）∈（0，1），
所以f（x1）＝f（x2）＞0，所以x1＞﹣1，
由（1）知x＞﹣1，且x≠0时，g（x）＝f（x）+x2﹣1＞0，所以f（x）＞1﹣x2，
则t=f(x1)＞1-x12，解得x1＜-1-t，t=f(x2)＞1-x22，解得x2＞1-t，
所以|x1-x2|=x2-x1＞21-t．X
0
1
P
12
12
Y
0
1
P
1﹣p
p
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
X
0
1
P
12
12
Y
0
1
P
1﹣p
p
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
x
（﹣1，﹣ln2）
﹣ln2
（﹣ln2，0）
0
（0，+∞）
g'（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增