2022-2023学年湖北省武汉市江岸区、东西湖区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区、东西湖区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

2. 将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解方程时，方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果将抛物线向右平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知方程的两个根分别为、，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，线段长为，点是线段上一动点不与端点重合，设长为，如图，在同一直角坐标系中甲表示的值随的变化情况，乙表示的值随的变化情况，则点所对应的值为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 分别用定长为的线段围成矩形、圆、等边三角形，则面积最大的图形是(    )

A. 矩形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 无法确定

9. 如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边含端点上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点的坐标为______．
12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
13. 如图，中，，将其绕点旋转得到，使点落在边上，若，则的度数为______．

14. 如图，一条笔直铁路和一条笔直公路在点处交汇，，在点处有一栋居民楼，米，已知火车行驶时，周围米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路上沿方向以每秒米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为______秒．不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据：，

15. 如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论中：；；；当图象经过点时，方程的两根为、，则，其中正确的结论是______填写序号．

16. 如图，为等腰直角三角形，，点、分别为边、的中点，若将绕点逆时针方向旋转得到、的对应点分别为、，当线段所在直线经过的一个顶点时，的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：．
18. 本小题分
    某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？
19. 本小题分
    已知某二次函数的图象如图所示．
    求这个二次函数的解析式；
    观察图象，当时，的取值范围为______直接写出答案

20. 本小题分
    如图所示，以为直径的经过三角形的顶点，平分交于点，平分交于点，连接．
    求证：；
    若，，求的长．

21. 本小题分
    如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
    
    在图中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段；在内部找一点，使，连接、；
    在图中，为线段的中点，作关于的对称点，再以为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出点、、分别对应点、、；若的度数为，则的度数为______直接用含的式子写出答案．
22. 本小题分
    为了响应“乡村振兴”政策的号召，某农科所下乡为村民指导大棚种植．如图展示的是一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示．
    
    如图，已知大棚横截面最高点到地面的距离为米，两端触地点、相距米．
    以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向构建平面直角坐标系，求此抛物线的解析式不需要求自变量的取值范围；
    一位身高米的菜农，若要在大棚内站直行走，求此菜农在横截面内横向活动范围为多少米；
    如图，为了使大棚更牢固，在此横截面内从点起，沿地面每隔米竖立一根钢杆连接到大棚外边缘上，则在此横截面内所有钢杆的长度和为______米直接写出答案即可．
23. 本小题分
    已知点，，在同一直线上，、均为等边三角形．
    问题发现
    如图，若点、在直线的同侧时，求证：≌；
    拓展探究
    如图，若点、在直线的异侧时，连接并延长交于点，连接，求；
    解决问题
    如图，点、在直线的异侧，点在线段上运动时，过点作，垂足为点，且与点不重合，若，，则的长为______直接用含的式子写出结论．
     
24. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点在的左边，与轴交于点，且．
    求抛物线的解析式；
    如图，在线段下方的抛物线上存在一点使线段与线段交于点，求点的坐标；
    如图，在抛物线下方存在一点，连接、分别与抛物线交于点、点、异于点、，且直线和轴交于点，求的长用含的式子表示．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
所以二次项系数和一次项系数分别是，，
故选：．
先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

2.【答案】 

【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，所以选项符合题意，
故选：．
根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是，
故选B．
根据平移的原则：上加下减左加右减，即可得出答案．
本题考查了二次函数与几何变换，掌握抛物线的平移原则：上加下减左加右减是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图：
在中，，
，
，
，
，
故选B．
先由圆心角、弧、弦的关系求出，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程的两个解分别为、，
，，
．
故选：．
先根据根与系数的关系可求，，再把，的值整体代入所求代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：图像与图像交于点，
，
，
对图来讲，点刚好是黄金比例点，
，
，
，
，
点所对应的值为．
故选：．
图像与图像交于点，则它们的横纵坐标值相等，可得，，对图来讲，点刚好是黄金比例点，进而可得点的坐标．
本题考查了黄金分割知识点，结合图像理解题意，数形结合是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
 

8.【答案】 

【解析】解：设矩形一边长为，则另一边长为，
，
此时矩形面积最大值为，
周长为的圆的半径为，
圆的面积为，
周长为的等边三角形的边长为，
等边三角形的面积为，
，
面积最大的图形是圆，
故选：．
表示出矩形、圆、三角形的面积，比较大小即可．
本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握特殊图形的面积计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
作于，由相交弦定理可求的长，再由垂径定理可求的长，最后由勾股定理即可求解．
本题考查垂径定理，相交弦定理，勾股定理，关键是作于，构造直角三角形，以便应用勾股定理解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，，
以翻折后，点与点重合，
，，，
≌，
四边形为矩形，，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
的最小值为．

故选：．
连接，，，由翻折可得≌，则，要求的最小值，即求的最小值，以此得出当点与点重合时，最小，设，则，，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点与点重合时，最小，这是解答本题的突破口．
 

11.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为．
故答案为：．
关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为．
由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的值．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，绕点旋转得到，使点落在上，
，，
．
故答案为：．
由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，以点为圆心，以米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，
当火车行驶到点时，开始影响居民楼，当驶离点时，结束影响居民楼，
米，，
米，
，
米，
影响所持续的时间为秒，
故答案为：．
画出相应的图形，根据垂径定理、勾股定理求出的长度，再根据速度、时间、路程的关系进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理以及速度、时间、路程的关系是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以错误；
时，，
，
而，
，所以正确；
，，，
，所以正确；
图象经过点时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，
即，，
，所以正确．
故答案为：．
由开口方向、对称轴、与轴的交点判定，由时的函数值以及与的关系即可判断；根据与的关系以及、的符号即可判定；根据对称性求得抛物线与直线的交点结合图象判定．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，理解函数与方程之间的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
为等腰直角三角形，，
，，
点、分别为边、的中点，
，
，
如图，当线段所在直线经过点时，过点作于，

，
，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当线段所在直线经过点时，过点作于，

同理可求，
故答案为：．
分两种情况讨论，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：，

则
，． 

【解析】本题考查解一元二次方程配方法．
根据配方法可以解答此方程．
 

18.【答案】解：设每个支干长出的小分支的数目是个，
根据题意列方程得：，
解得：或不合题意，应舍去；
；
答：每支支干长出个小分支． 

【解析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是个，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程求得的值．
此题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
 

19.【答案】 

【解析】解：顶点为，
设二次函数解析式为，
把代入可得，
解得，
；
当时，，当时，，
的最小值是，
的取值范围是．
故答案为：．
根据顶点坐标设，直接把点代入即可得到二次函数的解析式；
把和分别代入解析式，再根据顶点可得的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解
 

20.【答案】证明：平分，
，
，
，
；
解：如图，连接、，交于点，

，．
垂直平分．
，，
，，
在中，，
，解得，
，
在中，，
，
平分，平分，
，．
，，
．
． 

【解析】由角平分线的定义可知，，根据圆心角、弧之间的关系即可求解；
连接、，交于点，因为，所以垂直平分在中，，解出的值，在中，利用勾股定理可得的长；由角平分线的定义可知，，，所以，所以．
此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明是解题关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图中，相等，点即为所求；
如图中，点，，即为所求．．
故答案为：．

根据要求作出图形即可；
利用轴对称变换，旋转变换的性质作出图形即可．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图所示：

设抛物线的解析式为，
由题意，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
当时，
．
解得：，，
，
他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是；
抛物线的对称轴为直线，
当或时，，
当或时，，
所有钢杆的长度和为米，
故答案为：．
根据建立的坐标系，设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点求出的值即可；
令中解析式的解方程求的值即可；
根据函数的对称性，分别求出或和或时的函数值，再作和即可．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
 

23.【答案】或 

【解析】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
，
≌；
解：在上截取，连接，如图，

由得：≌，
，
又，
，
为等边三角形，
，，
在等边中，，，
，
即，
≌，
，
又，
；
解：如图，当在线段的延长线上时，
由可知≌，
，
，
，，
，
，
，，
同理可得，
，
；
如图，当点在线段上时，

同理可得，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
根据和都是等边三角形得出，，利用可证明≌；
在上截取，连接，如图，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；
分两种情况，当在线段的延长线上时或当点在线段上时，由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：由抛物线的表达式知，，即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
抛物线的表达式为；

设某直线的表达式为，直线上两点坐标为：、，
则，整理得：，
改直线的表达式我们也可表示为：．
过点作交轴于点，设直线交轴于点，

设直线表达式中的表达式为，
由知，的表达式为，则点，
同理，直线的表达式为，则点，
和是同底均为，且，
，即，解得，
故直线的表达式为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
联立上述两式得：，解得，
当时，，
即点；

点、，
则由知，该直线的值，
由知，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
由知抛物线的表达式为，
联立并解得，即点的坐标为，
联立，同理可得，点的坐标为；
设直线、的表达式为，
由得：，
由知，直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
则．
答：的长为：． 

【解析】用待定系数法即可求解；
过点作交轴于点，设直线交轴于点，设的表达式为，则点，同理可得：点，因为和是同底均为，且，即，即，解得，进而求解；
求出直线、的表达式，得到点、的坐标，求出直线的表达式，进而求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的基本知识、平行线的性质，其中，处理复杂数据是本题解题的关键．