2021-2022学年湖北省武汉市江岸区、东西湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2021-2022学年湖北省武汉市江岸区、东西湖区八年级（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30分）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 某校举行“喜迎中国共产党建党周年”党史知识竞赛，如表是名决赛选手的成绩．这名决赛选手成绩的众数是(    )分数人数A.  B.  C.  D. 的三边分别为、、，由下列条件能判定为直角三角形的是(    )A.  B.
C. ，， D. ：：：：下列说法中不正确的是(    )A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形如图，在▱中，对角线、相交于点，，，，则▱的面积是(    )
 A.  B.  C.  D. 某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积单位：与工作时间单位：之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，直线交直线于点，则关于的不等式的解集为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，，依次这样作图，则点的纵坐标为(    )
A.  B.  C.  D. 定义表示不大于的最大整数，如：，，，则方程所有解的和为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）计算： ______ ．已知一组数据，，，，，则这组数据的中位数是______．将直线向下平移个单位长度后，所得直线解析式______ ．如图，在菱形中，、交于点，，为边中点，菱形的面积为，则的长为______．
 在平面直角坐标系中，已知直线是常数，且上两点和，则下列结论：
若，则；
直线向右平移个单位的解析式为；
若直线不经过第三象限，则；
若原点到直线的距离最大时，则直线的解析式为．
其中正确的是______填写正确结论的序号．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有个交点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）计算：
；
．点为内一点，、、、分别为线段、、、的中点，求证：
；
四边形为平行四边形．
某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图如图根据图中提供的信息解决下列问题：

抽样的人数是______人，扇形中______；
抽样中组人数是______人，并补全频数分布直方图；
如图“分钟跳绳”成绩大于等于次为优秀，那么该校名学生中“分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？如图是由边长为的小正方形构成的网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
直接写出正方形的边长______；
图中，若是边上任一点，在上找点，连接，使得平分正方形的面积；
图中，为边与网格线的交点．
画点绕点逆时针旋转的对应点；
在边上画点，连接，，使得．
 
如图，平面直角坐标系中，已知点，．
求直线的解析式；
正比例函数的图象与直线交于点，且，求的值；
若点为平面内的一点，且，直接写出所有的点组成图形的解析式______．
武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元件，型商品成本价元件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元．
求与之间的函数解析式，并求出的取值范围；
要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件型商品？最大利润是多少？
该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值．如图，在矩形中，，．
如图，点、分别为边、上的点，且，求的长；
如图，的平分线交的延长线于，交于，点为的中点，求的度数；
如图，点为边的中点，点、、分别是边、、上的动点．则四边形周长的最小值为
______．
 
如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．
直接写出点的坐标______；
如图，点是轴正半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数；
如图，点是轴上的一个动点，连接把线段绕点逆时针旋转至线段，连接、当的值最小时，求此时点的坐标．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 2.【答案】 【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：分出现了次，出现的次数最多，
所以这名决赛选手成绩的众数是．
故选：．
直接根据众数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 4.【答案】 【解析】解：由不能判定为直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
，
，即是直角三角形，故本选项符合题意；
C.、、，
，，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，，
，即是钝角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，符合题意．
故选：．
直接利用正方形的判定方法以及平行四边形、菱形、矩形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了正方形以及平行四边形、菱形、矩形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
 6.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，且，，
，，
，
，
是直角三角形，且，
即，
▱面积为：．
故选：．
由▱的对角线和交于点，，，，易求得与的长，又由勾股定理的逆定理，证得，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 7.【答案】 【解析】解：设时，绿化面积与工作时间之间的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
，
即工作小时，该绿化组完成的绿化面积是．
则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是．
故答案选：．
从图象中获取信息，利用待定系数法求解．
本题主要考查了一次函数的图象与应用，通过利用待定系数法和观察图象来解题．
 8.【答案】 【解析】解：如图所示，直线交直线于点，
所以，不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在一次函数的图象的上方，由此得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
点的横坐标为，
，、、、在直线的图象上，
纵坐标为，
，
，
点的纵坐标为，
于是得到的纵坐标为
的纵坐标为．
故选：．
根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出的坐标的变化规律．
 10.【答案】 【解析】解：令，代入原方程得，即，
又，
，
整理得，
即，
或，
将代入原方程得：，解得，
将代入原方程得：，解得，
故．
故选：．
利用不等式，求出的范围，然后再代入原方程求出的值．
此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程．理解新定义是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题较简单，主要考查了学生开平方的运算能力．
 12.【答案】 【解析】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，
故中位数为；
故答案为：．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 13.【答案】 【解析】解：直线向下平移个单位长度后：，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 14.【答案】 【解析】解：菱形的面积为，，
，，
，
，
菱形，
，
，
，
为边中点，
的长为：．
故答案为：．
直接利用菱形的面积和性质得出，的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案．
本题主要考查了菱形的性质，正确得出的长是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：直线是常数，且上两点和，，，
，故正确；
直线向右平移个单位的解析式为，故正确；
，
直线过点，
当直线经过原点是，
直线不经过第三象限，则，故正确；
过点的正比例函数为，
原点到直线的距离最大值时，则直线与直线垂直，
，
直线的解析式为，故正确；
故答案为：．
利用一次函数的性质即可判断；利用一次函数平移的规律即可判断；由于直线过定点，
求得直线过原点时的的值，根据题意即可判断；求得过点的正比例函数的解析式为，根据题意则直线与直线垂直，从而得到，即可判断．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意、利用一次函数的性质解题是关键．
 16.【答案】或 【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
如图：
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
综上所述：或时，满足题意，
故答案为：或．
根据题意，当时，，当时，，当时，，再数形结合解题即可．
本题考查一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键．
 17.【答案】解：

；



． 【解析】先化简，再算加减即可；
利用平方差公式进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 18.【答案】证明：，分别为，中点，
是的中位线，
，；
是的中位线，
，，
，，
四边形为平行四边形． 【解析】证明是的中位线，即可证得结论；
再证明是的中位线，得出，，即可得，，进而可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定是解题的关键．
 19.【答案】     【解析】解：抽样的人数是人，
扇形中，
故答案为：，；
抽样中组人数是人，
补全图形如下：

故答案为：；
人，
答：该校名学生中“分钟跳绳”成绩为优秀的大约有人．
由组人数及其所占百分比可得总人数，用乘以组人数所占比例即可；
根据个小组人数之和等于总人数求出组人数，据此可补全图形；
用乘以样本中、、组人数和所占比例．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体等知识，解题的关键是记住知识，学会利用样本估计总体的思想解决问题，属于中考常考题型．
 20.【答案】 【解析】解：，
故答案为：；
如图中，点即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．

利用勾股定理求解；
连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
延长交切割线于点，点即为所求；
作，射线交于点，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 21.【答案】或 【解析】解：点，．
设直线的解析式为：
则，解得
直线的解析式为；
，
，
正比例函数的图象与直线交于点，且，
，即，
，
，
把代入得，，
把代入得，，
或，
把代入求得；
把代入求得；
的值为或；
点，，
，，
，
，
点在过点且平行于直线的直线上，
点组成图形的解析式为，
当点在直线的上方时，点组成图形的解析式为，
点组成图形的解析式为或，
故答案为：或．
利用待定系数法求得即可；
利用三角形面积求得的横坐标，代入求得纵坐标，把点的坐标代入，即可求得的值；
根据平行线间的距离相等，即可求得点组成图形的解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，两条直线相交或平行问题，求得直线的解析式是解题的关键．
 22.【答案】解：根据题意得，，
即，
两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
，
解得，
答：与之间的函数解析式为，的取值范围是；
由可知：，
，
随的增大而增大，
当时，，
答：该公司应该向市场投放件型商品，最大利润为元；
根据题意可知一共捐出元，
，
当时，
的最大值小于，不符合最大收益为元，
这种情况不存在；
当时，
，取最大值，
，
，
答：的值为． 【解析】根据题意即可得出与之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，列不等式组可得的范围；
根据一次函数的性质解答即可；
根据题意得，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
 23.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
答：的长是；
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，连接交于，连接，如图：

矩形中，，，
，，
是中点，
，
平分，
，
，是等腰直角三角形，
，，
，，
是中点，
，
由，，可得：
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，即；
作关于，的对称点、，作关于的对称点，连接交于，交于，连接交于，连接交延长线于，如图，

由作图知，，，，




，
、、、共线，
此时最小，
，，
，，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
证明≌，得，，即得，，故D的长是；
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，连接交于，连接，根据矩形中，，，可得，，而是中点，得，根据平分，可得，，，，从而，即可得：，，，故AK，，即知；
作关于，的对称点、，作关于的对称点，连接交于，交于，连接交于，连接交延长线于，由作图知，由、、、共线，知最小，即可求出四边形周长的最小值为．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是建立直角坐标系求出相关点坐标和利用对称求出四边形周长的最小值．
 24.【答案】 【解析】解：在中，令，则，
，
令，则，
，
点为线段的中点，，
，
故答案为：；
过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
设，
，
，
，
是的中点，
，
，，
是的中点，
，
，
，
，
；
过点作轴，过点作交于点，延长，使，
过点作交于，
，，
，
点是的中点，，
，
，，
作点关于的对称点，连接，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，
，
，
≌，
，，
设，
，，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
解得，
．
求出、点的坐标，再由中点坐标公式求出点坐标即可；
过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于，可证明≌，设，则，，求出，可得，即可求；
过点作轴，过点作交于点，延长，使，过点作交于，作点关于的对称点，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，可证明≌，设，则，，，求出直线的解析式为，再将点坐标代入即可求的值，从而求出点坐标．
本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．