江苏省常州市钟楼区北郊初级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市钟楼区北郊初级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省常州市钟楼区北郊初级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中表示两个全等图形的是（　　）
A．形状相同的两个图形
B．能够完全重合的两个图形
C．面积相等的两个图形
D．周长相等的两个图形
3．如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝86°，则∠ABC的度数为（　　）

A．102° B．92° C．100° D．98°
4．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，AC∥DF，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB∥ED B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）

A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，CE＝3cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）cm．

A．19 B．13 C．10 D．16
8．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④S△AEC＝S△AEB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是　 　．
10．如图，△PAC≌△PBD，∠A＝45°，∠BPD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　．

11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD＝2.4cm，DE＝1.7cm，则BE的长度为　 　．

12．若直角三角形两条直角边长为3cm，4cm，则斜边上的高为　 　cm．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，DE＝EC，∠EDC＝35°，则∠A＝　 　°．

14．【教材例题】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．
解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225．
所以132+142≠152，根据 　 　，这个三角形不是直角三角形．
15．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则∠B＝　 　．
16．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为 　 　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点B重合，则AF的长为 　 　．

18．野营活动中，小明用一块等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．烙好一面后把饼翻身，这块饼仍能正好落在“锅”中：小丽用直角三角形（图1）铁皮，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．如果烙好一面后就把饼翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小丽将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中：小红如果用来烙饼的铁皮（图2），既不是等腰三角形也不是直角三角形，那么烙好一面后，小红至少切 　 　刀，将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中？

三、解答题：（本大题共8小题，共64分）
19．（6分）（1）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，请在图中13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色的图形成为轴对称图形．
（2）满足（1）中条件的白色小方格共有　 　个．

20．（6分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

21．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

22．（6分）如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．

23．（8分）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF垂直平分AD．

24．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF＝；
（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．

25．（10分）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．

（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
（3）应用：测量旗杆的高度
校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）

26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

江苏省常州市钟楼区北郊初级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷【参考答案】
一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列选项中表示两个全等图形的是（　　）
A．形状相同的两个图形
B．能够完全重合的两个图形
C．面积相等的两个图形
D．周长相等的两个图形
【分析】直接利用全等图形的定义分析得出答案．
【解答】解：A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；
B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；
C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；
D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．
3．如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝86°，则∠ABC的度数为（　　）

A．102° B．92° C．100° D．98°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCB，求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ACB＝∠DCB，
∵∠ACD＝86°，
∴∠ACB＝43°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
4．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，AC∥DF，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB∥ED B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
【分析】根据EB＝FC求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵EB＝FC，
∴EB+BF＝FC+BF，
即EF＝BC，
∵AC∥DF，
∴∠C＝∠DFE，
A．∵AB∥ED，
∴∠E＝∠ABC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故本选项不符合题意；
B．在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
C．ED＝AB，BC＝EF，∠C＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）

A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
【分析】由于倒下部分与地面成30°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米，
∴AB＝2CB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
故选：B．
【点评】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，CE＝3cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）cm．

A．19 B．13 C．10 D．16
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，CE＝3cm，
∴DA＝DC，AC＝6cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长AB+BC+AC＝19cm，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④S△AEC＝S△AEB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由ADE是锐角为45°的直角三角板，得到相等的相等和45°的角，从而得到△ABE≌△DCE，由确定的性质判断其它三个选项是否正确．
【解答】解：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，
∴AB＝DC．
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，∠EAD＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC+∠EAD
＝90°+45°
＝135°，
∠EDC＝180°﹣∠ADE
＝180°﹣45°
＝135°．
在△ABE和△DCE中，
AB＝DC，∠BAE＝∠EDC，AE＝ED，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
故①正确；
∴BE＝EC（全等三角形的对应边相等），
故②正确；
∴∠AEB＝∠DEC（全等三角形的对应角相等），
∴∠BEC＝∠BED+∠DEC
＝∠BED+∠AEB
＝∠AED＝90°，
∴BE⊥CE．
故③正确；
∵△ABE≌△DCE，
∴S△ABE＝S△DCE，
∵S△AEC＝S△DCE+S△AED，
∴S△AEC＞S△AEB，
故④错．
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质和判断，熟练运用全等三角形的性质和判断是解题的关键．
二、填空题：（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是　5　．
【分析】利用勾股定理即可求解．
【解答】解：斜边长是：＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了勾股定理，理解定理的内容是关键．
10．如图，△PAC≌△PBD，∠A＝45°，∠BPD＝20°，则∠PDC的度数为 　65°　．

【分析】根据全等三角形的性质求出∠APC，根据三角形外角的性质即可求出∠PCD．
【解答】解：∵△PAC≌△PBD，
∵∠A＝45，
∴∠B＝45°，
∵∠BPD＝20°，
∴∠PDC＝∠B+∠BPD，
＝45°+20°
＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．
11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD＝2.4cm，DE＝1.7cm，则BE的长度为　0.7cm　．

【分析】先证明△BCE≌△CAD，得AD＝CE＝2.4，BE＝CD，求出CD即可解决问题．
【解答】解：∵AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵AC＝CB，∠ACB＝90，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
∴△BCE≌△CAD，
∴AD＝CE＝2.4，BE＝CD，
∴CD＝CE﹣DE＝2.4﹣1.7＝0.7，
∴BE＝CD＝0.7cm．
故答案为0.7cm．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
12．若直角三角形两条直角边长为3cm，4cm，则斜边上的高为　　cm．
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据勾股定理，斜边＝＝5（cm），
设斜边上的高为hcm，
则直角三角形的面积＝×3×4＝×5•h，
整理得5h＝12，
解得h＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据三角形的面积列式求出斜边上的高是常用的方法之一，需熟练掌握．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，DE＝EC，∠EDC＝35°，则∠A＝　40　°．

【分析】根据等腰三角形的性质可求得∠ECD的度数，又由DE∥BC，求得∠BCD的度数，可求∠ACB的度数，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠A的度数．
【解答】解：∵DE＝EC，∠EDC＝35°，
∴∠ECD＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝∠ECD+∠BCD＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，注意掌握数形结合思想的应用．
14．【教材例题】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．
解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225．
所以132+142≠152，根据 　勾股定理的逆定理　，这个三角形不是直角三角形．
【分析】只有勾股定理的逆定理是已知三边判断三角形是不是直角三角形的．
【解答】解：已知三边判断三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理．
故答案为：勾股定理的逆定理．
【点评】本题考查的是勾股定理逆定理的运用，解题的关键是知道勾股定理的逆定理的作用．
15．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则∠B＝　50°或20°或80°　．
【分析】分∠A是顶角，∠B是顶角，∠C是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解．
【解答】解：已知等腰△ABC中∠A＝80°，
若∠A是顶角，则∠B＝∠C，
所以∠B＝（180°﹣80°）＝50°；
若∠B是顶角，则∠A＝∠C＝80°，
所以∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
若∠C是顶角，则∠B＝∠A＝80°．
故答案为：50°或20°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为 　4　．

【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，
由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，
∴ab＝8，
∴△BCD的面积＝ab＝×8＝4．
图中△BCD的面积为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点B重合，则AF的长为 　　．

【分析】在Rt△ABC中，运用勾股定理算出AC的长度，根据翻折的特点，得到相等的相等和相等的角，得Rt△FEC解直角三角形可得．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
由翻折可知：∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，AF＝EF，CE＝BC＝6，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠DEF+∠DEC＝∠A+∠B＝90°，即∠FEC＝90°，
∴EF2+CE2＝CF2，
设AF＝EF＝x，则CF＝AC﹣AF＝8﹣x，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，即AF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理和翻折问题，解题的关键是掌握翻折的特性，得到相等的线段和角．
18．野营活动中，小明用一块等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．烙好一面后把饼翻身，这块饼仍能正好落在“锅”中：小丽用直角三角形（图1）铁皮，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．如果烙好一面后就把饼翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小丽将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中：小红如果用来烙饼的铁皮（图2），既不是等腰三角形也不是直角三角形，那么烙好一面后，小红至少切 　3　刀，将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中？

【分析】此题是怎样将一个三角形切割成等腰三角形，根据题目给出的提示，先将既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形切成直角三角形，再作直角三角形斜边上的中线．
【解答】解：如图所示，作AD⊥BC，DE平分AB，DF平分AC，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得△AED，△AFD，△BED，△CFD是等腰三角形，
将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中，
故答案为：3．

【点评】本题考查的是等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题：（本大题共8小题，共64分）
19．（6分）（1）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，请在图中13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色的图形成为轴对称图形．
（2）满足（1）中条件的白色小方格共有　4　个．

【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故答案为：4．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，此题关键是掌握轴对称图形的定义．
20．（6分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；

（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
22．（6分）如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD＝90°，求出∠ACB＝90°，即可求出答案．
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，
∵AD2+DB2＝DE2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAC+∠DAC＝90°，
∴∠DAC+∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和勾股定理的逆定理，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
23．（8分）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF垂直平分AD．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．
【解答】（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；

（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴EF垂直平分AD．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟记性质与线段垂直平分线的判定方法是解题得解．
24．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF＝；
（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝；
（2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论．
【解答】（1）证明：连接CE，如图，

∵CD＝CB，E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵F为AC的中点，
∴EF＝；
（2）证明：∵EF⊥AC，
∴∠AFM＝∠CFM，
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF，
∵MF＝MF，
∴△AFM≌△CFM（SAS），
∴AM＝CM，
∵CD＝DM+MC，
∴CD＝DM+AM，
∵BC＝DC，
∴AM+DM＝CB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．
25．（10分）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．

（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
（3）应用：测量旗杆的高度
校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）

【分析】（1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图；
（2）利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理；
（3）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC＝4米，CD＝0.5米，过点D作DE⊥AB，垂足为E，然后根据勾股定理即可求AB的长．
【解答】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；

（2）
＝2ab+b2﹣2ab+a2
＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2；
（3）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC＝4米，CD＝0.5米，求AB的长．

解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝∠DEB＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴ED＝BC＝4米，BE＝DC＝0.5米，
设AB＝x米，则AD＝（x+0.5）米，AE＝（x﹣0.5）米，
在Rt△AED中，
根据勾股定理得：AD2＝AE2+ED2
∴（x+0.5）2＝（x﹣0.5）2+42，
解得：x＝8，
答：旗杆的高为8米．
【点评】本题考查了勾股定理的证明及其应用，掌握勾股定理是解本题的关键．
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．


【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．