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(全国版)高考物理一轮复习讲义第16章 第1讲 光的折射、全反射(含解析)
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这是一份(全国版)高考物理一轮复习讲义第16章 第1讲 光的折射、全反射(含解析)，共16页。试卷主要包含了折射率，5 m，5L等内容，欢迎下载使用。
目标要求 1.理解折射率的概念，掌握光的折射定律.2.掌握全反射的条件并会用全反射的条件进行相关计算.
考点一 光的折射
基础回扣
1.折射定律
(1)内容：如图1所示，折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比.
图1
(2)表达式：eq \f(sin θ1,sin θ2)＝n12(n12为比例常数).
2.折射率
(1)定义式：n＝eq \f(sin θ1,sin θ2).
(2)计算公式：n＝eq \f(c,v)，因为v技巧点拨
1.对折射率的理解
(1)折射率的大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小v＝eq \f(c,n).
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关.
①同一种介质中，频率越大的光折射率越大，传播速度越小.
②同一种光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同.
2.光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的.如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射.
3.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制特点
例1 (2020·陕西省周至县高三第二次模拟)如图2所示，直角边AC长度为d的直角棱镜ABC置于桌面上，D为斜边BC的中点，桌面上的S点发射一条光线经D点折射后，垂直于AB边射出.已知SC＝CD，光线通过棱镜的时间t＝eq \f(\r(3)d,2c)，c为真空中光速，不考虑反射光线.求：
图2
(1)棱镜的折射率n；
(2)入射光线与界面BC间的夹角.
答案 (1)eq \r(3) (2)30°
解析 (1)光路图如图所示，
E是光线在AB边的出射点，设光线通过棱镜的速度为v，则DE＝eq \f(1,2)d，即vt＝eq \f(1,2)d
又n＝eq \f(c,v)
解得n＝eq \r(3).
(2)光线射到界面BC，设入射角为i，折射角为r，则i＝eq \f(π,2)－θ，r＝eq \f(π,2)－2θ，
又n＝eq \f(sin i,sin r)，
解得θ＝30°.
1.(光的折射)(2020·山东滨州市模拟)如图3所示，ACDB为圆柱型玻璃的横截面，AB为其直径.现有两单色光组成的复合光沿EA方向射向玻璃，其折射光线分别沿AC、AD方向，光从A到C的时间为tAC，从A到D的时间为tAD.则( )
图3
A.tAC＝tAD B.tAC＜tAD
C.tAC＞tAD D.无法确定
答案 B
解析 由于AD光折射角小于AC光的折射角，故AD光的折射率大于AC光的折射率，由v＝eq \f(c,n)可知，AD光在玻璃中的传播速度较小，AB为直径，故AD＞AC，所以tAC＜tAD，故B正确.
2.(折射定律的应用)(2019·全国卷Ⅰ·34(2))如图4，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m.距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin 53°＝0.8).已知水的折射率为eq \f(4,3).
图4
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离.
答案 (1)7 m (2)5.5 m
解析 (1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆距水面的高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ，由几何关系有
eq \f(x1,h1)＝tan 53°①
eq \f(x2,h2)＝tan θ②
由折射定律有：sin 53°＝nsin θ③
设桅杆到P点的水平距离为x，
则x＝x1＋x2④
联立①②③④式并代入题给数据得：x＝7 m⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，
由折射定律有：sin i′＝nsin 45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则：x1′＋x2′＝x′＋x⑦
eq \f(x1′,h1)＝tan i′⑧
eq \f(x2′,h2)＝tan 45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得：
x′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(2)－3)) m≈5.5 m
考点二 全反射
基础回扣
1.光密介质与光疏介质
2.全反射
(1)定义：光从光密介质射入光疏介质时，当入射角增大到某一角度，折射光线消失，只剩下反射光线的现象.
(2)条件：①光从光密介质射向光疏介质.②入射角大于或等于临界角.
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角.若光从光密介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，由n＝eq \f(sin 90°,sin C)，得sin C＝eq \f(1,n).介质的折射率越大，发生全反射的临界角越小.
3.光导纤维
光导纤维的原理是利用光的全反射(如图5).
图5
技巧点拨
分析综合问题的基本思路
(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质.
(2)判断入射角是否大于或等于临界角，明确是否发生全反射现象.
(3)画出反射、折射或全反射的光路图，必要时还可应用光路的可逆原理画出光路图，然后结合几何知识进行推断和求解相关问题.
(4)折射率n是讨论折射和全反射问题的重要物理量，是联系各物理量的桥梁，应熟练掌握跟折射率有关的所有关系式.
例2 (2017·全国卷Ⅲ·34(2))如图6，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线).已知玻璃的折射率为1.5.现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线).求：
图6
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴eq \f(R,3)的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离.
答案 (1)eq \f(2,3)R (2)2.74R
解析 (1)如图甲，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l.
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
nsin ic＝1②
由几何关系有
sin ic＝eq \f(l,R)③
联立①②③式并利用题给条件，得
l＝eq \f(2,3)R④
(2)如图乙，设与光轴相距eq \f(R,3)的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，
由折射定律有
nsin i1＝sin r1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
eq \f(sin ∠C,R)＝eq \f(sin180°－r1,OC)⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sin i1＝eq \f(1,3)⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝eq \f(32\r(2)＋\r(3),5)R≈2.74R.
3.(根据全反射求折射率)单镜头反光相机简称单反相机，它用一块放置在镜头与感光部件之间的透明平面镜把来自镜头的图象投射到对焦屏上.对焦屏上的图象通过五棱镜的反射进入人眼中.如图7为单反照相机取景器的示意图，ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC，光线垂直AB射入，分别在CD和EA上发生全反射，且两次反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出，则该五棱镜折射率的最小值为( )
图7
A.eq \f(1,sin 22.5°) B.eq \f(1,cs 22.5°) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
答案 A
解析 设射入CD面上的入射角为θ，因为在CD和EA上发生全反射，且两次反射的入射角相等，光路图如图，
根据几何知识有4θ＝90°
解得θ＝22.5°
当光刚好在CD和AE面上发生全反射时折射率最小，则有临界角C＝θ，则有sin θ＝eq \f(1,n)
解得最小折射率为n＝eq \f(1,sin 22.5°)，A正确.
4.(用全反射原理分析光射出的范围)(多选)(2020·山东卷·9)截面为等腰直角三角形的三棱镜如图8甲所示，DE为嵌在三棱镜内部紧贴BB′C′C面的线状单色可见光光源，DE与三棱镜的ABC面垂直，D位于线段BC的中点，图乙为图甲中ABC面的正视图，三棱镜对该单色光的折射率为eq \r(2)，只考虑由DE直接射向侧面AA′C′C的光线.下列说法正确的是( )
图8
A.光从AA′C′C面出射的区域占该侧面总面积的eq \f(1,2)
B.光从AA′C′C面出射的区域占该侧面总面积的eq \f(2,3)
C.若DE发出的单色光频率变小，AA′C′C面有光出射的区域面积将增大
D.若DE发出的单色光频率变小，AA′C′C面有光出射的区域面积将减小
答案 AC
解析 根据sin C＝eq \f(1,n)，得光线在AC面上发生全反射的临界角C＝45°，如图所示.从AC面上射出的光线为射到FC区域的光线，由几何关系得FC＝eq \f(1,2)AC，即有光线射出的区域占该侧面总面积的一半，故A正确，B错误；当单色光的频率变小时，折射率n变小，根据sin C＝eq \f(1,n)，知临界角C变大，图中的F点向A点移动，故有光射出的区域的面积变大，故C正确，D错误.
5.(全反射的应用)(2020·山西大同一中高三期中)如图9所示，截面为半圆形的玻璃砖的半径为R，一束单色平行光向右垂直直面射向玻璃砖，在玻璃砖右侧可看到圆弧面上有三分之二的区域被照亮.已知光在真空中的速度为c，求：
图9
(1)该玻璃砖对此单色光的折射率；
(2)自不同点入射的光在玻璃砖中的传播时间不同，计算得出最短传播时间(不考虑光在玻璃砖内的多次反射).
答案 (1)eq \f(2\r(3),3) (2)eq \f(\r(3)R,3c)
解析 (1)由几何关系可得，此单色光在玻璃砖中全反射的临界角C＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×180°＝60°
又sin C＝eq \f(1,n)
得该玻璃砖对此单色光的折射率n＝eq \f(2\r(3),3)
(2)光在玻璃砖中的最短传播距离x＝Rcs 60°
又n＝eq \f(c,v)
x＝vt
得最短传播时间t＝eq \f(\r(3)R,3c)
课时精练
1.如图1所示，光导纤维由内芯和包层两个同心圆柱体组成，其中心部分是内芯，内芯以外的部分为包层，光从一端进入，从另一端射出，下列说法正确的是( )
图1
A.内芯的折射率大于包层的折射率
B.内芯的折射率小于包层的折射率
C.不同频率的可见光从同一根光导纤维的一端传输到另一端所用的时间相同
D.若紫光以如图所示角度入射时，恰能在内芯和包层分界面上发生全反射，则改用红光以同样角度入射时，也能在内芯和包层分界面上发生全反射
答案 A
2.(多选)(2020·浙江嘉兴市质检)一束白光从水中射入真空的折射光线如图2所示，若保持入射点O不变而逐渐增大入射角，下述说法中正确的是( )
图2
A.若红光射到P点，则紫光在P点上方
B.若红光射到P点，则紫光在P点下方
C.紫光先发生全反射，而红光后发生全反射
D.当红光和紫光都发生全反射时，它们的反射光线射到水底时是在同一点
答案 BCD
解析 同一种介质对紫光的折射率大，而对红光的折射率小，水中入射角相同时，紫光的折射角大，所以紫光在P点下方，A错误，B正确；同理，紫光的临界角小，紫光先达到临界角发生全反射，红光后达到临界角发生全反射，C正确；根据光的反射定律，红光和紫光都发生全反射时，反射光线的传播方向一致，所以它们的反射光线射到水底时是在同一点，D正确.
3.(2020·山东潍坊市模拟)一束复色光由空气斜射向平行玻璃砖，入射角为θ，从另一侧射出时分成a、b两束单色光，如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A.在该玻璃中a的传播速度比b小
B.b比a更容易发生衍射
C.增大θ(θ＜90°)，a、b可能不会从另一侧射出
D.a从该玻璃射向空气时的临界角比b的大
答案 D
4.(2020·山东威海市模拟)如图4所示，两单色光a、b分别沿半径方向由空气射入半圆形玻璃砖，出射光合成一束复色光P，已知单色光a、b与法线间的夹角分别为45°和30°，则a光与b光( )
图4
A.在玻璃砖中的折射率之比为eq \r(2)∶1
B.在玻璃砖中的传播时间之比为1∶eq \r(2)
C.在玻璃砖中的波长之比为eq \r(2)∶1
D.由该玻璃砖射向真空时临界角之比为eq \r(2)∶1
答案 B
5.(2020·天津和平区联考)如图5，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为60°.已知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行.此玻璃的折射率为( )
图5
A.eq \r(2) B.1.5
C.eq \r(3) D.2
答案 C
解析 作出光线在玻璃球体内的光路图，A、C是折射点，B是反射点，OD平行于入射光线，由几何知识得，∠AOD＝∠COD＝60°，则∠OAB＝30°，即折射角r＝30°，入射角i＝60°，所以折射率n＝eq \f(sin i,sin r)＝eq \r(3)，C正确.
6.(多选)(2020·四川综合能力提升卷)如图6所示，等边三角形ABC为某透明玻璃三棱镜的截面图，边长等于L，在截面上一束足够强的细光束从AB边中点与AB边成30°角由真空射入三棱镜，从BC边射出的光线与BC的夹角为30°.光在真空中的速度为c，则( )
图6
A.玻璃的折射率为eq \r(3)
B.玻璃的折射率为eq \r(2)
C.光在三棱镜中的传播路程为0.5L
D.光在三棱镜中的传播时间为eq \f(\r(3)L,2c)
答案 ACD
解析 光射入三棱镜的光路图如图所示，
i1＝90°－30°＝60°，
由折射定律得：n＝eq \f(sin i1,sin r1)
光在BC边折射时，由折射定律有：eq \f(1,n)＝eq \f(sin i2,sin r2)
由题意知r2＝90°－30°＝60°，则i2＝r1
由几何关系可得r1＝i2＝30°，则n＝eq \r(3)
由几何知识知：从AB边上射入的光在三棱镜中的传播路程s＝0.5L，
光在三棱镜中的传播速度v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),3)c，
故光在三棱镜中的传播时间t＝eq \f(s,v)＝eq \f(\r(3)L,2c).
7.(2020·浙江温州市4月选考模拟)如图7甲所示，为研究一半圆柱形透明新材料的光学性质，用激光由真空沿半圆柱体的径向射入，入射光线与法线成θ角，由光学传感器CD可以探测反射光的强度.实验获得从AB面反射回来的反射光的强度随θ角变化的情况如图乙所示.光在真空中的传播速度为c，则该激光在这种透明新材料中( )
图7
A.折射率为eq \f(\r(3),2)
B.传播速度为eq \f(\r(3),2)c
C.θ＝0°时，反射光强度为0
D.反射光的强度随θ角的增大而增大
答案 B
解析 据题图乙知θ＝60°时激光发生全反射，由折射定律得n＝eq \f(1,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)，故A错误；由速度公式得v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),2)c，故B正确；θ＝0°时大量的激光从O点射出，少量激光发生反射，故C错误；根据题图乙可知当θ＝60°时激光发生全反射，此后θ角增大，但反射光的强度不变，故D错误.
8.(2020·浙江7月选考·13)如图8所示，圆心为O、半径为R的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，光线从P点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当入射角θ＝60°时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行.已知真空中的光速为c，则( )
图8
A.玻璃砖的折射率为1.5
B.O、P之间的距离为eq \f(\r(2),2)R
C.光在玻璃砖内的传播速度为eq \f(\r(3),3)c
D.光从玻璃到空气的临界角为30°
答案 C
解析 光路图如图所示.
设O、P之间的距离为x，当θ＝60°时，折射角为r，光从玻璃砖圆形表面射出时与玻璃砖的界面交点为Q，由出射光线与入射光线平行知过P点的法线与过Q点的法线平行，则玻璃砖的折射率n＝eq \f(sin θ,sin r)＝eq \f(sin θ\r(R2＋x2),x)①
又沿P点垂直入射的光恰好发生全反射，则sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(x,R)②
解①②得x＝eq \f(\r(3),3)R，n＝eq \r(3).
由sin C＝eq \f(1,n)可知，C≠30°，
光在玻璃砖中的传播速度v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),3)c，故C正确，A、B、D错误.
9.(2020·安徽安庆市高三二模)一半径为R的半圆形玻璃砖，横截面如图9甲所示.现有单色光从图中的P点平行于底面入射，经半圆形玻璃砖折射，折射光线相对入射光线的方向偏转了15°，已知P点到底面的高度为eq \f(\r(2),2)R，现将一束该单色光与玻璃砖的底平面成θ＝45°角度、且与玻璃砖横截面平行的平行光射到玻璃砖的半圆柱面上，如图乙所示.经柱面折射后，有部分光(包括与柱面相切的入射光)直接从玻璃砖底面射出.若忽略经半圆柱内表面反射后射出的光，求：
图9
(1)半圆形玻璃砖的折射率；
(2)半圆形玻璃砖底面透光部分的宽度.
答案 (1)eq \r(2) (2)eq \f(\r(2),2)R
解析 (1)由题意可画出图中的光路图，由几何关系可得此时入射角i＝45°，折射角r＝30°，由折射定律有n＝eq \f(sin i,sin r)＝eq \r(2).
(2)由sin C＝eq \f(1,n)可得玻璃砖的全反射临界角C＝45°.
由题图乙可判断，沿半径方向射到圆心O的光线1，它在圆心处的入射角θ＝45°，恰好等于全反射临界角C，故发生全反射.
在该光线1左侧的入射光线，经过柱面折射后，射在玻璃砖底面上的入射角大于临界角，因而在底面上发生全反射，不能直接从玻璃砖底面射出.
在该光线1右侧的光线经柱面折射后，射在玻璃砖底面上的入射角小于临界角，因此可直接从玻璃砖底面射出.在入射光线中与玻璃砖相切的光线2，在玻璃砖中折射角为45°，折射光线恰好与底部垂直，出射点与圆心距离为Rsin 45°＝eq \f(\r(2),2)R，所以，半圆形玻璃砖底面透光部分的宽度为d＝eq \f(\r(2),2)R.
10.(2020·山东日照市二模)如图10所示，一直角玻璃三棱镜置于真空中，已知∠A＝60°，∠C＝90°.一束极细的光束于BC边上的D点以入射角i1＝45°入射，BD＝a，CD＝b，棱镜的折射率n＝eq \r(2).求光从进入棱镜到它第一次射入真空所经历的时间.(设光在真空中传播的速度为c)
图10
答案 eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2))),c)
解析 如图所示，
设折射角为r1，由折射定律
n＝eq \f(sin i1,sin r1)＝eq \r(2)
解得r1＝30°
根据sin C＝eq \f(1,n)可知临界角C＝45°.
设折射光线与AB边的交点为E，由几何知识可知在AB边的入射角为60°，大于临界角，发生全反射，反射光线与BC边平行，最终垂直于AC边射出，光在棱镜中的路程
s＝b－asin 30°＋a
光在棱镜中的速度v＝eq \f(c,n)
光从进入棱镜到它第一次射入真空所经历的时间t＝eq \f(s,v)
联立解得t＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2))),c).
11.(2020·全国卷Ⅱ·34(2))直角棱镜的折射率n＝1.5，其横截面如图11所示，图中∠C＝90°，∠A＝30°.截面内一细束与BC边平行的光线，从棱镜AB边上的D点射入，经折射后射到BC边上.
图11
(1)光线在BC边上是否会发生全反射？说明理由；
(2)不考虑多次反射，求从AC边射出的光线与最初的入射光线夹角的正弦值.
答案 见解析
解析 (1)如图，设光线在D点的入射角为i，折射角为r.折射光线射到BC边上的E点.设光线在E点的入射角为θ，由几何关系，有
i＝30°①
θ＝90°－(30°－r)>60°②
根据题给数据得sin θ>sin 60°>eq \f(1,n)③
即θ大于全反射临界角，因此光线在E点发生全反射.
(2)设光线在AC边上的F点射出棱镜，入射角为i′，折射角为r′，由几何关系、反射定律及折射定律，有
i′ ＝90°－θ④
sin i＝nsin r⑤
nsin i′＝sin r′⑥
联立①②④⑤⑥式并代入题给数据，得sin r′＝eq \f(2\r(2)－\r(3),4)
由几何关系可知，r′即为从AC边射出的光线与最初的入射光线的夹角.平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
结构
玻璃砖上下表面是平行的
横截面为三角形的三棱镜
横截面是圆
对光线的作用
通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底面偏折
圆界面的法线是过圆心的直线，光线经过两次折射后向圆心偏折
应用
测定玻璃的折射率
全反射棱镜，改变光的传播方向
改变光的传播方向
介质
光密介质
光疏介质
折射率
大
小
光速
小
大
相对性
若n甲＞n乙，则甲相对乙是光密介质
若n甲＜n乙，则甲相对乙是光疏介质
目标要求 1.理解折射率的概念，掌握光的折射定律.2.掌握全反射的条件并会用全反射的条件进行相关计算.
考点一 光的折射
基础回扣
1.折射定律
(1)内容：如图1所示，折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比.
图1
(2)表达式：eq \f(sin θ1,sin θ2)＝n12(n12为比例常数).
2.折射率
(1)定义式：n＝eq \f(sin θ1,sin θ2).
(2)计算公式：n＝eq \f(c,v)，因为v
1.对折射率的理解
(1)折射率的大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小v＝eq \f(c,n).
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关.
①同一种介质中，频率越大的光折射率越大，传播速度越小.
②同一种光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同.
2.光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的.如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射.
3.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制特点
例1 (2020·陕西省周至县高三第二次模拟)如图2所示，直角边AC长度为d的直角棱镜ABC置于桌面上，D为斜边BC的中点，桌面上的S点发射一条光线经D点折射后，垂直于AB边射出.已知SC＝CD，光线通过棱镜的时间t＝eq \f(\r(3)d,2c)，c为真空中光速，不考虑反射光线.求：
图2
(1)棱镜的折射率n；
(2)入射光线与界面BC间的夹角.
答案 (1)eq \r(3) (2)30°
解析 (1)光路图如图所示，
E是光线在AB边的出射点，设光线通过棱镜的速度为v，则DE＝eq \f(1,2)d，即vt＝eq \f(1,2)d
又n＝eq \f(c,v)
解得n＝eq \r(3).
(2)光线射到界面BC，设入射角为i，折射角为r，则i＝eq \f(π,2)－θ，r＝eq \f(π,2)－2θ，
又n＝eq \f(sin i,sin r)，
解得θ＝30°.
1.(光的折射)(2020·山东滨州市模拟)如图3所示，ACDB为圆柱型玻璃的横截面，AB为其直径.现有两单色光组成的复合光沿EA方向射向玻璃，其折射光线分别沿AC、AD方向，光从A到C的时间为tAC，从A到D的时间为tAD.则( )
图3
A.tAC＝tAD B.tAC＜tAD
C.tAC＞tAD D.无法确定
答案 B
解析 由于AD光折射角小于AC光的折射角，故AD光的折射率大于AC光的折射率，由v＝eq \f(c,n)可知，AD光在玻璃中的传播速度较小，AB为直径，故AD＞AC，所以tAC＜tAD，故B正确.
2.(折射定律的应用)(2019·全国卷Ⅰ·34(2))如图4，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m.距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin 53°＝0.8).已知水的折射率为eq \f(4,3).
图4
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离.
答案 (1)7 m (2)5.5 m
解析 (1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆距水面的高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ，由几何关系有
eq \f(x1,h1)＝tan 53°①
eq \f(x2,h2)＝tan θ②
由折射定律有：sin 53°＝nsin θ③
设桅杆到P点的水平距离为x，
则x＝x1＋x2④
联立①②③④式并代入题给数据得：x＝7 m⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，
由折射定律有：sin i′＝nsin 45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则：x1′＋x2′＝x′＋x⑦
eq \f(x1′,h1)＝tan i′⑧
eq \f(x2′,h2)＝tan 45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得：
x′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(2)－3)) m≈5.5 m
考点二 全反射
基础回扣
1.光密介质与光疏介质
2.全反射
(1)定义：光从光密介质射入光疏介质时，当入射角增大到某一角度，折射光线消失，只剩下反射光线的现象.
(2)条件：①光从光密介质射向光疏介质.②入射角大于或等于临界角.
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角.若光从光密介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，由n＝eq \f(sin 90°,sin C)，得sin C＝eq \f(1,n).介质的折射率越大，发生全反射的临界角越小.
3.光导纤维
光导纤维的原理是利用光的全反射(如图5).
图5
技巧点拨
分析综合问题的基本思路
(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质.
(2)判断入射角是否大于或等于临界角，明确是否发生全反射现象.
(3)画出反射、折射或全反射的光路图，必要时还可应用光路的可逆原理画出光路图，然后结合几何知识进行推断和求解相关问题.
(4)折射率n是讨论折射和全反射问题的重要物理量，是联系各物理量的桥梁，应熟练掌握跟折射率有关的所有关系式.
例2 (2017·全国卷Ⅲ·34(2))如图6，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线).已知玻璃的折射率为1.5.现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线).求：
图6
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴eq \f(R,3)的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离.
答案 (1)eq \f(2,3)R (2)2.74R
解析 (1)如图甲，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l.
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
nsin ic＝1②
由几何关系有
sin ic＝eq \f(l,R)③
联立①②③式并利用题给条件，得
l＝eq \f(2,3)R④
(2)如图乙，设与光轴相距eq \f(R,3)的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，
由折射定律有
nsin i1＝sin r1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
eq \f(sin ∠C,R)＝eq \f(sin180°－r1,OC)⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sin i1＝eq \f(1,3)⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝eq \f(32\r(2)＋\r(3),5)R≈2.74R.
3.(根据全反射求折射率)单镜头反光相机简称单反相机，它用一块放置在镜头与感光部件之间的透明平面镜把来自镜头的图象投射到对焦屏上.对焦屏上的图象通过五棱镜的反射进入人眼中.如图7为单反照相机取景器的示意图，ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC，光线垂直AB射入，分别在CD和EA上发生全反射，且两次反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出，则该五棱镜折射率的最小值为( )
图7
A.eq \f(1,sin 22.5°) B.eq \f(1,cs 22.5°) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
答案 A
解析 设射入CD面上的入射角为θ，因为在CD和EA上发生全反射，且两次反射的入射角相等，光路图如图，
根据几何知识有4θ＝90°
解得θ＝22.5°
当光刚好在CD和AE面上发生全反射时折射率最小，则有临界角C＝θ，则有sin θ＝eq \f(1,n)
解得最小折射率为n＝eq \f(1,sin 22.5°)，A正确.
4.(用全反射原理分析光射出的范围)(多选)(2020·山东卷·9)截面为等腰直角三角形的三棱镜如图8甲所示，DE为嵌在三棱镜内部紧贴BB′C′C面的线状单色可见光光源，DE与三棱镜的ABC面垂直，D位于线段BC的中点，图乙为图甲中ABC面的正视图，三棱镜对该单色光的折射率为eq \r(2)，只考虑由DE直接射向侧面AA′C′C的光线.下列说法正确的是( )
图8
A.光从AA′C′C面出射的区域占该侧面总面积的eq \f(1,2)
B.光从AA′C′C面出射的区域占该侧面总面积的eq \f(2,3)
C.若DE发出的单色光频率变小，AA′C′C面有光出射的区域面积将增大
D.若DE发出的单色光频率变小，AA′C′C面有光出射的区域面积将减小
答案 AC
解析 根据sin C＝eq \f(1,n)，得光线在AC面上发生全反射的临界角C＝45°，如图所示.从AC面上射出的光线为射到FC区域的光线，由几何关系得FC＝eq \f(1,2)AC，即有光线射出的区域占该侧面总面积的一半，故A正确，B错误；当单色光的频率变小时，折射率n变小，根据sin C＝eq \f(1,n)，知临界角C变大，图中的F点向A点移动，故有光射出的区域的面积变大，故C正确，D错误.
5.(全反射的应用)(2020·山西大同一中高三期中)如图9所示，截面为半圆形的玻璃砖的半径为R，一束单色平行光向右垂直直面射向玻璃砖，在玻璃砖右侧可看到圆弧面上有三分之二的区域被照亮.已知光在真空中的速度为c，求：
图9
(1)该玻璃砖对此单色光的折射率；
(2)自不同点入射的光在玻璃砖中的传播时间不同，计算得出最短传播时间(不考虑光在玻璃砖内的多次反射).
答案 (1)eq \f(2\r(3),3) (2)eq \f(\r(3)R,3c)
解析 (1)由几何关系可得，此单色光在玻璃砖中全反射的临界角C＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×180°＝60°
又sin C＝eq \f(1,n)
得该玻璃砖对此单色光的折射率n＝eq \f(2\r(3),3)
(2)光在玻璃砖中的最短传播距离x＝Rcs 60°
又n＝eq \f(c,v)
x＝vt
得最短传播时间t＝eq \f(\r(3)R,3c)
课时精练
1.如图1所示，光导纤维由内芯和包层两个同心圆柱体组成，其中心部分是内芯，内芯以外的部分为包层，光从一端进入，从另一端射出，下列说法正确的是( )
图1
A.内芯的折射率大于包层的折射率
B.内芯的折射率小于包层的折射率
C.不同频率的可见光从同一根光导纤维的一端传输到另一端所用的时间相同
D.若紫光以如图所示角度入射时，恰能在内芯和包层分界面上发生全反射，则改用红光以同样角度入射时，也能在内芯和包层分界面上发生全反射
答案 A
2.(多选)(2020·浙江嘉兴市质检)一束白光从水中射入真空的折射光线如图2所示，若保持入射点O不变而逐渐增大入射角，下述说法中正确的是( )
图2
A.若红光射到P点，则紫光在P点上方
B.若红光射到P点，则紫光在P点下方
C.紫光先发生全反射，而红光后发生全反射
D.当红光和紫光都发生全反射时，它们的反射光线射到水底时是在同一点
答案 BCD
解析 同一种介质对紫光的折射率大，而对红光的折射率小，水中入射角相同时，紫光的折射角大，所以紫光在P点下方，A错误，B正确；同理，紫光的临界角小，紫光先达到临界角发生全反射，红光后达到临界角发生全反射，C正确；根据光的反射定律，红光和紫光都发生全反射时，反射光线的传播方向一致，所以它们的反射光线射到水底时是在同一点，D正确.
3.(2020·山东潍坊市模拟)一束复色光由空气斜射向平行玻璃砖，入射角为θ，从另一侧射出时分成a、b两束单色光，如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A.在该玻璃中a的传播速度比b小
B.b比a更容易发生衍射
C.增大θ(θ＜90°)，a、b可能不会从另一侧射出
D.a从该玻璃射向空气时的临界角比b的大
答案 D
4.(2020·山东威海市模拟)如图4所示，两单色光a、b分别沿半径方向由空气射入半圆形玻璃砖，出射光合成一束复色光P，已知单色光a、b与法线间的夹角分别为45°和30°，则a光与b光( )
图4
A.在玻璃砖中的折射率之比为eq \r(2)∶1
B.在玻璃砖中的传播时间之比为1∶eq \r(2)
C.在玻璃砖中的波长之比为eq \r(2)∶1
D.由该玻璃砖射向真空时临界角之比为eq \r(2)∶1
答案 B
5.(2020·天津和平区联考)如图5，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为60°.已知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行.此玻璃的折射率为( )
图5
A.eq \r(2) B.1.5
C.eq \r(3) D.2
答案 C
解析 作出光线在玻璃球体内的光路图，A、C是折射点，B是反射点，OD平行于入射光线，由几何知识得，∠AOD＝∠COD＝60°，则∠OAB＝30°，即折射角r＝30°，入射角i＝60°，所以折射率n＝eq \f(sin i,sin r)＝eq \r(3)，C正确.
6.(多选)(2020·四川综合能力提升卷)如图6所示，等边三角形ABC为某透明玻璃三棱镜的截面图，边长等于L，在截面上一束足够强的细光束从AB边中点与AB边成30°角由真空射入三棱镜，从BC边射出的光线与BC的夹角为30°.光在真空中的速度为c，则( )
图6
A.玻璃的折射率为eq \r(3)
B.玻璃的折射率为eq \r(2)
C.光在三棱镜中的传播路程为0.5L
D.光在三棱镜中的传播时间为eq \f(\r(3)L,2c)
答案 ACD
解析 光射入三棱镜的光路图如图所示，
i1＝90°－30°＝60°，
由折射定律得：n＝eq \f(sin i1,sin r1)
光在BC边折射时，由折射定律有：eq \f(1,n)＝eq \f(sin i2,sin r2)
由题意知r2＝90°－30°＝60°，则i2＝r1
由几何关系可得r1＝i2＝30°，则n＝eq \r(3)
由几何知识知：从AB边上射入的光在三棱镜中的传播路程s＝0.5L，
光在三棱镜中的传播速度v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),3)c，
故光在三棱镜中的传播时间t＝eq \f(s,v)＝eq \f(\r(3)L,2c).
7.(2020·浙江温州市4月选考模拟)如图7甲所示，为研究一半圆柱形透明新材料的光学性质，用激光由真空沿半圆柱体的径向射入，入射光线与法线成θ角，由光学传感器CD可以探测反射光的强度.实验获得从AB面反射回来的反射光的强度随θ角变化的情况如图乙所示.光在真空中的传播速度为c，则该激光在这种透明新材料中( )
图7
A.折射率为eq \f(\r(3),2)
B.传播速度为eq \f(\r(3),2)c
C.θ＝0°时，反射光强度为0
D.反射光的强度随θ角的增大而增大
答案 B
解析 据题图乙知θ＝60°时激光发生全反射，由折射定律得n＝eq \f(1,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)，故A错误；由速度公式得v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),2)c，故B正确；θ＝0°时大量的激光从O点射出，少量激光发生反射，故C错误；根据题图乙可知当θ＝60°时激光发生全反射，此后θ角增大，但反射光的强度不变，故D错误.
8.(2020·浙江7月选考·13)如图8所示，圆心为O、半径为R的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，光线从P点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当入射角θ＝60°时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行.已知真空中的光速为c，则( )
图8
A.玻璃砖的折射率为1.5
B.O、P之间的距离为eq \f(\r(2),2)R
C.光在玻璃砖内的传播速度为eq \f(\r(3),3)c
D.光从玻璃到空气的临界角为30°
答案 C
解析 光路图如图所示.
设O、P之间的距离为x，当θ＝60°时，折射角为r，光从玻璃砖圆形表面射出时与玻璃砖的界面交点为Q，由出射光线与入射光线平行知过P点的法线与过Q点的法线平行，则玻璃砖的折射率n＝eq \f(sin θ,sin r)＝eq \f(sin θ\r(R2＋x2),x)①
又沿P点垂直入射的光恰好发生全反射，则sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(x,R)②
解①②得x＝eq \f(\r(3),3)R，n＝eq \r(3).
由sin C＝eq \f(1,n)可知，C≠30°，
光在玻璃砖中的传播速度v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),3)c，故C正确，A、B、D错误.
9.(2020·安徽安庆市高三二模)一半径为R的半圆形玻璃砖，横截面如图9甲所示.现有单色光从图中的P点平行于底面入射，经半圆形玻璃砖折射，折射光线相对入射光线的方向偏转了15°，已知P点到底面的高度为eq \f(\r(2),2)R，现将一束该单色光与玻璃砖的底平面成θ＝45°角度、且与玻璃砖横截面平行的平行光射到玻璃砖的半圆柱面上，如图乙所示.经柱面折射后，有部分光(包括与柱面相切的入射光)直接从玻璃砖底面射出.若忽略经半圆柱内表面反射后射出的光，求：
图9
(1)半圆形玻璃砖的折射率；
(2)半圆形玻璃砖底面透光部分的宽度.
答案 (1)eq \r(2) (2)eq \f(\r(2),2)R
解析 (1)由题意可画出图中的光路图，由几何关系可得此时入射角i＝45°，折射角r＝30°，由折射定律有n＝eq \f(sin i,sin r)＝eq \r(2).
(2)由sin C＝eq \f(1,n)可得玻璃砖的全反射临界角C＝45°.
由题图乙可判断，沿半径方向射到圆心O的光线1，它在圆心处的入射角θ＝45°，恰好等于全反射临界角C，故发生全反射.
在该光线1左侧的入射光线，经过柱面折射后，射在玻璃砖底面上的入射角大于临界角，因而在底面上发生全反射，不能直接从玻璃砖底面射出.
在该光线1右侧的光线经柱面折射后，射在玻璃砖底面上的入射角小于临界角，因此可直接从玻璃砖底面射出.在入射光线中与玻璃砖相切的光线2，在玻璃砖中折射角为45°，折射光线恰好与底部垂直，出射点与圆心距离为Rsin 45°＝eq \f(\r(2),2)R，所以，半圆形玻璃砖底面透光部分的宽度为d＝eq \f(\r(2),2)R.
10.(2020·山东日照市二模)如图10所示，一直角玻璃三棱镜置于真空中，已知∠A＝60°，∠C＝90°.一束极细的光束于BC边上的D点以入射角i1＝45°入射，BD＝a，CD＝b，棱镜的折射率n＝eq \r(2).求光从进入棱镜到它第一次射入真空所经历的时间.(设光在真空中传播的速度为c)
图10
答案 eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2))),c)
解析 如图所示，
设折射角为r1，由折射定律
n＝eq \f(sin i1,sin r1)＝eq \r(2)
解得r1＝30°
根据sin C＝eq \f(1,n)可知临界角C＝45°.
设折射光线与AB边的交点为E，由几何知识可知在AB边的入射角为60°，大于临界角，发生全反射，反射光线与BC边平行，最终垂直于AC边射出，光在棱镜中的路程
s＝b－asin 30°＋a
光在棱镜中的速度v＝eq \f(c,n)
光从进入棱镜到它第一次射入真空所经历的时间t＝eq \f(s,v)
联立解得t＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2))),c).
11.(2020·全国卷Ⅱ·34(2))直角棱镜的折射率n＝1.5，其横截面如图11所示，图中∠C＝90°，∠A＝30°.截面内一细束与BC边平行的光线，从棱镜AB边上的D点射入，经折射后射到BC边上.
图11
(1)光线在BC边上是否会发生全反射？说明理由；
(2)不考虑多次反射，求从AC边射出的光线与最初的入射光线夹角的正弦值.
答案 见解析
解析 (1)如图，设光线在D点的入射角为i，折射角为r.折射光线射到BC边上的E点.设光线在E点的入射角为θ，由几何关系，有
i＝30°①
θ＝90°－(30°－r)>60°②
根据题给数据得sin θ>sin 60°>eq \f(1,n)③
即θ大于全反射临界角，因此光线在E点发生全反射.
(2)设光线在AC边上的F点射出棱镜，入射角为i′，折射角为r′，由几何关系、反射定律及折射定律，有
i′ ＝90°－θ④
sin i＝nsin r⑤
nsin i′＝sin r′⑥
联立①②④⑤⑥式并代入题给数据，得sin r′＝eq \f(2\r(2)－\r(3),4)
由几何关系可知，r′即为从AC边射出的光线与最初的入射光线的夹角.平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
结构
玻璃砖上下表面是平行的
横截面为三角形的三棱镜
横截面是圆
对光线的作用
通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底面偏折
圆界面的法线是过圆心的直线，光线经过两次折射后向圆心偏折
应用
测定玻璃的折射率
全反射棱镜，改变光的传播方向
改变光的传播方向
介质
光密介质
光疏介质
折射率
大
小
光速
小
大
相对性
若n甲＞n乙，则甲相对乙是光密介质
若n甲＜n乙，则甲相对乙是光疏介质
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