新高考物理一轮复习讲义第13章 光 电磁波 第1讲 光的折射 全反射 (含解析)

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学习目标 1.理解折射率的概念，掌握光的折射定律。 2.掌握发生全反射的条件并会用全反射的条件进行相关计算。
eq \a\vs4\al(,1.)
eq \a\vs4\al(2.,)
3.
1.思考判断
(1)光的传播方向发生改变的现象叫光的折射。(×)
(2)折射率跟折射角的正弦成正比。(×)
(3)只要入射角足够大，就能发生全反射。(×)
(4)若光从空气中射入水中，它的传播速度一定减小。(√)
(5)已知介质对某单色光的临界角为C，则该介质的折射率等于eq \f(1,sin C)。(√)
(6)密度大的介质一定是光密介质。(×)
2.如图1所示，MN是空气与某种液体的分界面，一束红光由空气射到分界面，一部分光被反射，一部分光进入液体中。当入射角是45°时，折射角为30°，则以下说法正确的是( )
图1
A.反射光线与折射光线的夹角为120°
B.该液体对红光的折射率为eq \r(3)
C.该液体对红光的全反射临界角为45°
D.当紫光以同样的入射角从空气射到分界面时，折射角也是30°
答案 C
考点一 折射定律 折射率
1.对折射率的理解
(1)公式n＝eq \f(sin θ1,sin θ2)中，不论光是从真空射入介质，还是从介质射入真空，θ1总是真空中的光线与法线间的夹角，θ2总是介质中的光线与法线间的夹角。
(2)折射率由介质本身性质决定，与入射角的大小无关。
(3)折射率与介质的密度没有关系，光密介质不是指密度大的介质。
(4)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关。同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小。
(5)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同。
(6)折射率大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小，v＝eq \f(c,n)。
2.光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的。如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射。
例1 (2023·河北唐山高三期末)如图2，横截面为半径R＝6 cm的半圆形透明柱体与屏幕MN相切于B点，MN垂直于直径AB，一单色光以入射角53°射向圆心O，反射光线与折射光线恰好垂直。已知光在真空中的传播速度为3×108 m/s
(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)。求：
图2
(1)介质的折射率；
(2)光线从O点照射到屏幕MN上所用的时间。
答案 (1)eq \f(4,3) (2)4×10－10 s
解析 (1)如图所示，由几何关系可知α＋β＝90°
所以折射角β＝37°
根据折射定律可得
n＝eq \f(sin 53°,sin 37°)
解得n＝eq \f(4,3)。
(2)由折射率可得v＝eq \f(c,n)＝2.25×108 m/s
由几何关系可知OF＝eq \f(R,sin 37°)＝0.1 m
EF＝OF－R
光线从O到E所用时间t1＝eq \f(OE,v)
光线从E到F所用时间t2＝eq \f(EF,c)＝eq \f(OF－R,c)
光线从O点到屏幕MN的时间
t＝t1＋t2＝4×10－10 s。
解决光的折射问题的思路
(1)根据题意画出正确的光路图。
(2)利用几何关系确定光路中的边、角关系，要注意入射角、折射角均以法线为标准。
(3)利用折射定律、折射率公式求解。
(4)注意折射现象中光路的可逆性。
跟踪训练
1.(2023·山东临沂月考)如图3所示，半径为R、球心为O的半球内为真空，M为其顶点，半球外介质的折射率为eq \r(2)。一束以MO为中心，截面半径r＝eq \f(1,2)R的光束平行于MO射到球面上，不考虑多次反射，则能从底面透射出光的面积为( )
图3
A.πR2 B.eq \f(πR2,4)
C.π(eq \r(3)－1)2R2 D.π(eq \r(2)－1)2R2
答案 C
解析 根据几何关系，光束边缘的光线进入半球时的入射角为30°，根据折射定律可知n＝eq \f(sin θ,sin 30 °)，解得θ＝45°，到达底面时与O点距离为L，则有eq \f(L,sin 45°)＝eq \f(R,sin 75°)，解得L＝(eq \r(3)－1)R，则能从底面透射出光的面积为S＝π(eq \r(3)－1)2R2，故C正确，A、B、D错误。
2.(多选)如图4所示，等边三角形ABC为某透明玻璃三棱镜的截面图，边长等于L，在截面上一束足够强的细光束从AB边中点与AB边成30°角由真空射入三棱镜，从BC边射出的光线与BC边的夹角为30°。光在真空中的速度为c，则( )
图4
A.玻璃的折射率为eq \r(3)
B.玻璃的折射率为eq \r(2)
C.光在三棱镜中的传播路程0.5L
D.光在三棱镜中的传播时间为eq \f(\r(3)L,2c)
答案 ACD
解析 光射入三棱镜的光路图如图所示，i1＝90°－30°＝60°，由折射定律得n＝eq \f(sin i1,sin r1)，光在BC边折射时，由折射定律有eq \f(1,n)＝eq \f(sin i2,sin r2)，由题意知r2＝90°－30°＝60°，则i2＝r1，联立解得r1＝i2＝30°，n＝eq \r(3)，故A正确，B错误；由几何知识知，从AB边上射入的光在三棱镜中的传播路程s＝0.5L，故C正确；光在三棱镜中传播的速度v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),3)c，光在三棱镜中的传播时间t＝eq \f(s,v)＝eq \f(\r(3)L,2c)，故D正确。
考点二 全反射
1.解答全反射问题的技巧
(1)解答全反射问题时，要抓住发生全反射的两个条件：
①光必须从光密介质射入光疏介质。
②入射角大于或等于临界角。
(2)利用好光路图中的临界光线，准确地判断出恰好发生全反射的光路图是解题的关键，且在作光路图时尽量与实际相符。
2.全反射规律的应用
(1)全反射棱镜
截面是等腰直角三角形的棱镜(通常是玻璃做成的)叫全反射棱镜。它的特殊作用一般有如图所示的四种情况
(2)光导纤维
光导纤维简称“光纤”，它是非常细的特制玻璃丝(直径在几微米到一百微米之间)，由内芯和外套两层组成，内芯的折射率比外套的大。
例2 目前，移动和电信公司都升级了200 M光纤入户，网速更快，光纤信号传输利用了光的全反射和折射原理，某种单色光在光纤中经过多次全反射后从右端射出的传播路径如图5所示。若该介质的折射率为eq \f(2\r(3),3)，则关于α、β的大小，下列判断正确的是( )
图5
A.α＜60° B.α＜30°
C.β＞30° D.β＜30°
答案 C
解析 设临界角为C，根据全反射的条件可知，α≥C，而sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(\r(3),2)，则C＝60°，则α≥60°，A、B错误；光线从端点能射出，则有eq \f(sin i,sin（90°－β）)＝n，其中i＜90°，解得β＞30°，C正确，D错误。
跟踪训练
3.(2023·山东潍坊高三期末)如图6所示，abc是玻璃制成的柱体的横截面，玻璃的折射率n＝eq \r(2)，ab是半径为R的圆弧，ac边垂直于bc边，∠aOc＝60°。一束平行光垂直ac入射，只有一部分光从ab穿出，则有光穿出部分的弧长为( )
图6
A.eq \f(πR,12) B.eq \f(πR,6) C.eq \f(πR,4) D.eq \f(πR,3)
答案 C
解析 由题意作光路图如图所示，该介质的临界角是C，则有sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(1,\r(2))，C＝45°，在α≥45°时，均发生全反射，图中d点为入射角等于临界角的临界点，所以在ab部分表面只有bd部分有光透射出，对应弧长为s＝R·eq \f(π,4)＝eq \f(πR,4)，故A、B、D错误，C正确。
考点三 光的折射和全反射的综合问题
1.求解光的折射、全反射问题的四点提醒
(1)光密介质和光疏介质是相对而言的。同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是光疏介质。
(2)如果光线从光疏介质进入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象。
(3)光的反射和全反射现象，均遵循光的反射定律，光路均是可逆的。
(4)当光射到两种介质的界面上时，往往同时发生光的折射和反射现象，但在全反射现象中，只发生反射，不发生折射。
2.求解光的折射和全反射问题的思路
(1)确定研究的光线
该光线一般是入射光线，还有可能是反射光线或折射光线；若研究的光线不明确，根据题意分析、寻找，如临界光线、边界光线等。
(2)画光路图
找入射点，确认界面，并画出法线，根据反射定律、折射定律作出光路图，结合几何关系，具体求解。
(3)注意两点
从光疏→光密：一定有反射、折射光线
从光密→光疏：如果入射角大于或等于临界角，一定发生全反射。
例3 [2022·全国甲卷，34(2)]如图7，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在的平面，一光线自M点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。
图7
答案 eq \f(\r(7),2) eq \f(\r(3)－1,2)a
解析 设光线在AB面的折射角为θ，则有
sin 60°＝nsin θ
由题知，光线经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，则有sin C＝eq \f(1,n)，
C＝90°－θ
联立解得tan θ＝eq \f(\r(3),2)，n＝eq \f(\r(7),2)
根据几何关系有tan θ＝eq \f(MB,BN)＝eq \f(a,2BN)
解得NC＝a－BN＝a－eq \f(a,\r(3))
再由tan θ＝eq \f(PC,NC)，解得PC＝eq \f(\r(3)－1,2)a。
跟踪训练
4.(2023·山东青岛高三期末)如图8，垂钓者位于平静清澈湖面岸边的A点，他的眼睛距离A点的高度为0.9 m，水面上的浮标B离A点的距离为0.9 m，发光鱼饵C位于浮标正前方1.8 m处水面上D点的正下方，此时垂钓者发现发光鱼饵刚好被浮标挡住，已知水的折射率n＝eq \r(2)。
图8
(1)求此时发光鱼饵在水中的深度；
(2)发光鱼饵缓慢竖直上浮，当它离水面多深时，鱼饵发出的光恰好不能从水面上A、B间射出。
答案 (1)3.12 m (2)1.8 m
解析 (1)设发光鱼饵在水中的深度为h1，人眼的位置为P，发光鱼饵发出的光线射向B点的入射角为α，经水面射向P点的折射角为β，光路图如图所示
有tan β＝eq \f(AB,AP)＝1，则β＝45°
则n＝eq \f(sin β,sin α)
由几何关系得h1＝eq \f(BD,tan α)
解得 h1＝eq \f(9\r(3),5) m≈3.12 m。
(2)设当鱼饵离水面h2时，鱼饵发出的光线射向B点时恰好发生全发射，鱼饵发出的光不能从水面上A、B间射出，有n＝eq \f(1,sin C)
h2＝eq \f(BD,tan C)
解得h2＝1.8 m。
A级 基础对点练
对点练1 折射定律 折射率
1.(多选)如图1，一束光经玻璃三棱镜折射后分为两束单色光a、b，波长分别为λa、λb，该玻璃对单色光a、b的折射率分别为na、nb，则( )
图1
A.na>nb B.naλb
答案 BD
解析 由图可知，两束单色光a、b入射角相同时，单色光a的折射角大，由折射定律n＝eq \f(sin i,sin r)可知，单色光a的折射率小于单色光b的折射率，故A错误，B正确；由于单色光a的折射率小于单色光b的折射率，则单色光a的频率小于单色光b的频率，由λ＝eq \f(c,f)可知，单色光a的波长大于单色光b的波长，故C错误，D正确。
2.(2023·湖南长沙联考)如图2所示为半圆形玻璃砖，O为圆心，AB是水平直径，C为AO中点，一束单色光斜射到C点，逐渐改变入射方向，当入射光与AB面夹角为θ时，折射光线从圆弧的最高点D点射出，则玻璃砖对光的折射率为( )
图2
A.eq \r(3)cs θ B.2cs θ
C.eq \r(5)cs θ D.eq \r(6)cs θ
答案 C
解析 光路图如图所示，设C点折射角为r，由几何关系可知sin r＝eq \f(\f(R,2),\r(R2＋\f(R2,4)))＝eq \f(1,\r(5))，根据折射定律可得n＝eq \f(sin（90°－θ）,sin r)＝eq \r(5)cs θ，故C正确。
对点练2 全反射
3.如图3所示，一束细白光从半圆形玻璃砖顶点垂直于PQ向圆心O射去。保持入射光不变，让玻璃砖绕圆心逆时针缓慢转动，当转过α角时，恰好没有任何光线从PQ边射出。由此可以判定( )
图3
A.红光的临界角是α B.红光的临界角是eq \f(α,2)
C.紫光的临界角是α D.紫光的临界角是eq \f(α,2)
答案 A
解析 当转过角α时，可以知道光线在PQ界面上的入射角为α。恰好没有任何光线从PQ边射出，可以知道临界角为α，因为紫光的折射率最大，根据sin C＝eq \f(1,n)，可知：紫光的临界角最小，最先消失的是紫光，现在都没有光射出，说明临界角最大的红光也没有射出，所以可以知道红光的临界角为α。故A项正确，B、C、D项错误。
4.(多选)一束白光从顶角为θ的三棱镜的一边以较大的入射角i射入并通过三棱镜后，在屏P上可得到彩色光带，如图4所示，在入射角i逐渐减小到零的过程中，假如屏上的彩色光带先后全部消失，则( )
图4
A.红光最先消失，紫光最后消失
B.紫光最先消失，红光最后消失
C.折射后的出射光线向底边BC偏折
D.折射后的出射光线向顶角A偏折
答案 BC
解析 白光从AB面射入玻璃后，由于紫光偏折程度大，到达另一侧面AC时的入射角较大，玻璃对紫光的折射率大，根据sin C＝eq \f(1,n)，可知其临界角最小，故随着入射角i的减小，进入玻璃后的各色光中紫光首先发生全反射不再从AC面射出，红光最后消失，通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向三棱镜底边BC偏折，A、D错误，B、C正确。
5.(多选)如图5所示，光导纤维由内芯和包层两个同心圆柱体组成，其中心部分是内芯，内芯以外的部分为包层，光从一端射入，从另一端射出，下列说法正确的是( )
图5
A.内芯的折射率大于包层的折射率
B.内芯的折射率小于包层的折射率
C.不同频率的可见光从同一根光导纤维的一端传输到另一端所用的时间相同
D.若红光以如图所示角度入射时，恰能在内芯和包层分界面上发生全反射，则改用紫光以同样角度入射时，也能在内芯和包层分界面上发生全反射
答案 AD
解析 光线在内芯和包层的界面上发生全反射，可知光从光密介质进入光疏介质，则内芯的折射率大于包层的折射率，故A正确，B错误；不同频率的可见光在界面上发生全反射，可知经过的路程相同，根据v＝eq \f(c,n)，光在介质中传播的速度不同，则传播的时间不同，故C错误；根据sin C＝eq \f(1,n)，折射率越大，临界角越小，红光的折射率小，则临界角大，若红光恰能发生全反射，则紫光一定能在分界面上发生全反射，故D正确。
对点练3 光的折射与全反射的综合问题
6.如图6所示，玻璃三棱镜的截面为直角三角形，其中∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，一束单色光照射到BC面上的D点，当入射角i＝60°时，光线折射到AB边上没有光线射出，光线反射到AC面上与BC平行，则该玻璃的折射率为( )
图6
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C.eq \f(1＋\r(3),2) D.eq \f(1＋\r(2),2)
答案 A
解析 光束在BC边上折射，eq \f(sin i,sin r)＝n，由几何关系r＝α＝30°，解得n＝eq \r(3)，故A正确。
7.如图7所示，圆心为O、半径为R的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，光线从P点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当入射角θ＝60°时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行。已知真空中的光速为c，则( )
图7
A.玻璃砖的折射率为1.5
B.OP之间的距离为eq \f(\r(2),2)R
C.光在玻璃砖内的传播速度为eq \f(\r(3),3)c
D.光从玻璃到空气的临界角为30°
答案 C
解析 光线从P点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射，则sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(OP,R)；当入射角θ＝60°时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行，作出光路图如图所示，出射光线刚好经过玻璃砖圆形表面的最高点Q，设在P点的折射角和在Q点的入射角均为θ1，则n＝eq \f(sin θ,sin θ1)，由几何关系可知，OP＝
Rtan θ1，联立解得n＝eq \r(3)，OP＝eq \f(\r(3),3)R，A、B错误；光在玻璃砖内的传播速度v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(3),3)c，C正确；光从玻璃到空气的临界角C满足sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(\r(3),3)，D错误。
B级 综合提升练
8.半径为R的半圆形玻璃砖如图8所示放置，AB面水平，O为圆心。一束单色光与水平面成45°角照射到AB面上的D点，D为OA中点，折射光线刚好照射到圆弧最低点C，光线在C点折射后照射到地面上的E点(图中未画出)，将入射点从D点移到O点，保持入射方向不变，最终光线也照射到地面上的E点，不考虑光在圆弧面上的反射，求：
图8
(1)玻璃砖对光的折射率；
(2)C点离地面的高度。
答案 (1)eq \f(\r(10),2) (2)R
解析 (1)由几何关系可知，光在D点的入射角
i＝45°
设折射角为r，根据几何关系
sin r＝eq \f(\f(1,2)R,\r(R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R))\s\up12(2)))＝eq \f(\r(5),5)
因此，玻璃砖对光的折射率n＝eq \f(sin i,sin r)＝eq \f(\r(10),2)。
(2)光路如图所示，
根据光路可逆原理，知光在C点的折射角i＝45°
设C点离地面高度为h，根据题意有
htan i＝(h＋R)tan r
根据几何关系有tan i＝1
tan r＝eq \f(1,2)
解得h＝R。
9.(2022·河北卷，16) 如图9，一个半径为R的玻璃球，O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出，出射光线AB与球直径SC平行，θ＝ 30°。光在真空中的传播速度为c。求：
图9
(1)玻璃的折射率；
(2)从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。
答案 (1)eq \r(3) (2)eq \f(4\r(6)R,c)
解析 (1)根据题意将光路图补充完整，如图所示，根据几何关系可知
i1＝ θ＝ 30°，i2＝ 60°
根据折射定律有
n＝eq \f(sin i2, sin i1)
解得n＝eq \r(3)。
(2)设全反射的临界角为C，则
sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(\r(3),3)
光在玻璃球内的传播速度有v＝eq \f(c,n)
根据几何关系可知当θ＝ 45°，即光路为圆的内接正方形时，从S发出的光线经多次全反射回到S点的时间最短，则正方形的边长x＝eq \r(2)R
则最短时间为t＝eq \f(4x,v)＝eq \f(4\r(6)R,c)。
10.(2023·安徽马鞍山市教学质量检测)如图10所示，一横截面为半圆形的玻璃砖，O为圆心，半径为R，PQ为直径，A为OQ的中点，PQ与竖直放置的足够大的平面镜平行，两者间距为d＝2eq \r(3)R，一单色细光束沿垂直于PQ方向从A点射入玻璃砖，光从弧形表面射出后，经平面镜反射，恰好打到竖直光屏上的D点(图中未画出)，Q、P、D三点在同一条直线上。玻璃砖对该光的折射率n＝eq \r(3)，不考虑光线在玻璃砖中的多次反射。求：
图10
(1)D点到P点的距离；
(2)将玻璃砖沿QP连线向上平移多少距离，光屏上的光点会消失。
答案 (1)2R (2)eq \f(2\r(3)－3,6)R
解析 (1)由题意，入射角α＝30°
由折射定律eq \f(sin α,sin β)＝eq \f(1,n)
得β＝60°
经平面镜反射到达光屏D点，设D点到P点距离为L，根据几何关系
L＋R＋Rsin α＝(d－Rcs α)tan(β－α)＋dtan(β－α)
整理得L＝2R。
(2)设全反射临界角为C，则sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(1,\r(3))
设玻璃砖向上移动x发生全反射，由几何关系
x＝Rsin C－Rsin α＝eq \f(2\r(3)－3,6)R。
11.(2023·河北部分学校模拟)如图11所示，三角形ABC为三棱镜的截面图，∠C＝90°，∠B＝30°，BC边与水平面平行，O、D分别为AC、AB两边的中点，AC边长为L。位于截面所在平面内的一束单色光，与水平方向成i0＝60°角由O点入射，折射光线由BC边上的E点射出，且OC＝CE。当光在O点的入射角减小至某一值时，折射光线在BC边上的F点(图中未画出)恰好发生全反射。真空中光速为c。
图11
(1)求该棱镜对该单色光的折射率n；
(2)光在F点发生全反射时，求AC边上的入射角及光由O点传播至F点所用的时间。
答案 (1)eq \f(\r(6),2) (2)45° eq \f(3\r(2)L,4c)
解析 (1)由题意，光路如图甲所示。
甲
根据OC＝CE可知折射角r0＝45°，则根据折射定律有n＝eq \f(sin i0,sin r0)＝eq \f(\r(6),2)。
(2)由临界角公式知sin C＝eq \f(1,n)＝eq \f(\r(2),\r(3))
则cs C＝eq \f(1,\r(3))
设光在F点恰好发生全反射时，设AC边上的入射角为i，折射角为r，光路图如图乙。
乙
由几何关系知r＝90°－C
根据折射定律n＝eq \f(sin i,sin r)＝eq \f(\r(6),2)
代入可得sin i＝eq \f(\r(2),2)
即i＝45°
根据几何关系可得光由O点传播至F点的路程为s＝OF＝eq \f(OC,cs C)＝eq \f(\r(3),2)L
光在三棱镜中的传播速度为v＝eq \f(c,n)＝eq \f(\r(2),\r(3))c
光由O点传播至F点所用的时间为
t＝eq \f(s,v)＝eq \f(3\r(2)L,4c)。