山东省济南市钢城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市钢城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市钢城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知为锐角，且，则(    )A.  B.  C.  D. 已知反比例函数，则它的图象经过点(    )A.  B.  C.  D. 将二次函数的图象向左平移个单位，则平移后的二次函数表达式为(    )A.  B.
C.  D. 已知在中，，，，则等于(    )A.  B.  C.  D. 若双曲线，经过点，，则与的大小关系为(    )A.  B.
C.  D. 无法比与的大小已知二次函数，下面结论正确的是(    )A. 图象的开口向下 B. 最小值是
C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于轴的直线分别交双曲线于、两点，连接、，则的面积为(    )A.
B.
C.
D. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 图是年世界数学大会的会徽，其主体图案如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 已知二次函数在时有最小值，则等于(    )A.  B. 或 C. 或 D. 或第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______ ．如图，已知的三个顶点均在格点上，则______．
已知抛物线的顶点在轴上，那么的值是______．同一坐标系中，反比例函数和正比例函数图象交于、，则______．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽若水面再上升，则水面的宽度为______
 如图，将矩形对折，使点点与重合，点与重合，折痕为；展开
后再次折叠，使点与点重合于上的点处，折痕分别为、，若，，则______． 三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：．本小题分
求：二次函数的顶点坐标和对称轴．本小题分
为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
求这一函数的表达式；
当气体体积为时，求气体压强的值．
本小题分
某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于处的济南舰突然发现北偏西方向上的处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向海里处的西安舰，西安舰测得处位于其北偏西方向上，请问此时两舰距处的距离分别是多少？
本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
求、的值；
观察函数图象，直接写出不等式的解集；
连接，，求的面积．
本小题分
如图，已知抛物线与轴交于，，与轴交于点．
求、的值；
若点是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点坐标．
本小题分
如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点处测得山体的仰角为，沿方向前行至点处，斜坡的坡度为：，在观景台处测得山顶的仰角为，且点到水平地面的垂直距离为点，，在一条直线上，，，在同一竖直平面内．
求斜坡的水平宽度的长；
求山体的高度．结果精确到参考数据，，，
本小题分
某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为元件，要求销售单价不低于成本，每件最高利润不高于元．市场调查发现，当销售单价定为元件时，每天可销售件，销售单价每涨元，销售量减少个．
求该纪念品每天销售量件与销售单价元件之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
若每天的销售利润为元，求销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？本小题分
如图，已知一次函数与反比例的图象相交于点，与轴相交于点．
求的值以及点的坐标；
以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；
在轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，抛物线过点，，与轴交于点在轴上有一动点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于、．
求抛物线的解析式；
求线段长度的最大值，并求此时点的坐标；
当时，是直线上的点且在第一象限内，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：为锐角，且，
．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：
A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意．
故选：．
根据的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：将二次函数的图象向左平移个单位，则平移后的二次函数表达式为，
故选：．
根据函数图象的平移规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
．
故选：．
直接利用正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
此函数在每个象限内，随的增大而增大，
点，在反比例函数，的图象上，，
，
故选：．
根据反比例函数的性质可以判断与的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．
 6.【答案】 【解析】解：二次函数中的，
该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
该函数图象有最小值，故选项B正确，符合题意；
该函数图象的对称轴为直线，故选项C错误，不符合题意；
当时．随的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 7.【答案】 【解析】解：设直线与轴交于点．
轴，
轴，轴．
点在双曲线的图象上，的面积．
点在双曲线的图象上，的面积．
的面积的面积的面积．
故选：．
如果设直线与轴交于点，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数的几何意义，知的面积，的面积，从而求出结果．
本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．
 8.【答案】 【解析】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：．
本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
 9.【答案】 【解析】解：，，，
，，
由题意得：
，
，
故选：．
在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：二次函数，
对称轴为直线，
，抛物线开口向上，
时，有最小值，
解得：；
，抛物线开口向下，
对称轴为直线，在时有最小值，
时，有最小值，
解得：；
故选：．
先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【试题解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
解得，
故答案为．
反比例函数的图象在第二、四象限，让反比例系数小于，列式求值即可．
考查反比例函数的性质；用到的知识点为：对于反比例函数，，反比例函数图象在第二、四象限内．
 12.【答案】 【解析】解：如图，作的高．
，，，
，
．
故答案为：．
如图，作的高利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 13.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，即，
解得：．
故答案为：．
根据抛物线的顶点在轴上，得代入求出即可．
本题主要考查对二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到“”是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：正比例函数、反比例函数图象关于原点成中心对称性，
点、关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
根据正比例函数、反比例函数图象的中心对称性可得、关于原点对称，求出、的值，代入计算即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象的交点，掌握反比例函数、正比例函数图象的中心对称性是解决问题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如下图建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，
由已知可得，点在此抛物线上，
则，
解得，
，
当时，，
解得，
此时水面的宽度为，
故答案为：．
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度为多少，本题得以解决．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
 16.【答案】 【解析】解：由矩形两次折叠可知：
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，根据勾股定理，得：
，
，
解得，
，
．
故答案为：．
由矩形两次折叠可知：，，，，，设，则，然后利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数即可解决问题．
本题考查折叠问题，矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握折叠的性质．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 18.【答案】解：


，
顶点坐标，
对称轴：直线． 【解析】把二次函数配成顶点式，即可解决问题．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 19.【答案】解：设，
将代入上式，得，
，
，
当时，
． 【解析】设出反比例函数解析式，把点坐标代入可得函数解析式；
把代入得到的函数解析式，可得．
本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
 20.【答案】解：过点作的延长线于点，如图．
由题意可得：，，
．
即，
海里．
在中，海里．
在中，海里．
故位于处的济南舰距处的距离海里，位于处的西安舰距处的距离海里． 【解析】过点作的延长线于点，由题意可证明为等腰三角形，所以海里．再求出的距离，最后根据求的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于把实际问题转化为直角三角形来求解．
 21.【答案】解：把代入得：
，
，
，
把代入得：
，
解得，
，；
由知，，，
观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，或，
不等式的解集为或；
如图：

将、代入得：
，
解得，
，
将代入得：，
，即，
，
的面积为． 【解析】把，坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出，的值；
观察函数图象，结合可得不等式的解集；
待定系数法可求出直线解析式，从而可得的坐标，即可得到的面积．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用．
 22.【答案】解：将代入抛物线得：
，
解得，
抛物线解析式为，
令，则，
解得，，
，
；
令，则，
，
，
设点的纵坐标为，其中，
，
，
，
当时，，
解得，舍，
故． 【解析】把代入抛物线求出，再令，解方程求出点坐标即可；
根据中解析式求出点坐标，再设点的纵坐标为，其中，根据列方程求出，再把代入解析式求出的值．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．
 23.【答案】解：斜坡的坡度，，
，
即斜坡的水平宽度长为米．

过点作于点，则四边形为矩形，

，，
设，
在中，，
，，
在中，，
，即，
解得，
，
即山体的高度为米． 【解析】由斜坡的坡度，即可得出答案；
作，知四边形为矩形，设，在中，，继而知，，在中，根据得，解之求出的值，进一步求解可得答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 24.【答案】解：．
要求销售单价不低于成本，每件最高利润不高于元，
自变量的取值范围是：；
，
，
抛物线开口向下，
当即时，随的增大而增大，
，
当时，，
即当销售单价为元时，每天获得利润最大，最大利润是元． 【解析】利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
 25.【答案】解：：把点代入一次函数，
可得；
把点代入反比例函数，
可得，
解得．
一次函数与轴相交于点，
，
解得，
点的坐标为；
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，

，，
，，，
，
在中，
，
四边形是菱形，
，，
，
轴，轴，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．
存在，

如图，作点关于轴的对称点的坐标为，
直线的关系式为，
直线与轴的交点为．
作点关于轴对称点，连接交轴于点，连接，此时值最小，且最小值为．
，
．
即的最小值为． 【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得，则可求得点坐标，代入反比例函数解析式则可求得的值；
由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求解；
作点关于轴的对称点的坐标为，连接交轴的交点为，求出解析式即可求解．
本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、菱形的性质、勾股定理、坐标的平移和数形结合思想等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键，综合性较强，难度适中．
 26.【答案】解：把、代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
，
，
由，，
直线解析式为，
设，
则，
，
当时，的最大值为，
此时；
设，其中，
，，
，，，
当时，
有，
即，
解得，
当时，
有，
即，
解得舍，．
综上所述，点的坐标为或． 【解析】用待定系数法即可求解；
设，则，可得，然后根据二次函数的性质进而求解；
分当时，当时，两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中要注意分类求解，避免遗漏．