06第六章+平面向量和复数（知识回顾+高频考点训练）-2023年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（人教A版2019，新教材地区）

第六章 平面向量和复数

6.1平面向量的概念和运算

6.2平面向量基本定理及坐标表示

6.3平面向量的应用（正弦定理、余弦定理）

6.4复数的概念及四则运算

6.5平面向量和复数实战

6.1平面向量的概念和运算

知识回顾

1、向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)

向量表示方法：向量或；模或.

（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.

（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.

特别的：非零向量的单位向量是.

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；

特别的：与任一向量平行或共线.

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.

2、向量的线性运算

（1）向量的加法

①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.

②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）

已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）

已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

（2）向量的减法

①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.

②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示

如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.

（3）向量的数乘

向量数乘的定义:

一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：

①

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.

3、共线向量定理

①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.

②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．

4、向量的夹角

已知两个非零向量和，如图所示，作，，则

()叫做向量与的夹角，记作．

(2)范围：夹角的范围是．

当时，两向量，共线且同向；

当时，两向量，相互垂直，记作；

当时，两向量，共线但反向．

5、数量积的定义：

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．

规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.

高频考点

1．（2022·天津南开·高二学业考试）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·福建·高二学业考试）

A． B． C． D．

4．（2022·广西·高二学业考试）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（   ）

A． B． C． D．

5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图，在矩形中，为中点，那么向量=（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知，，若与夹角的大小为60°，则（    ）

A． B．3 C． D．

7．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）在中，，为（    ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

8．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（    ）

A． B．

C． D．且

9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知，，，则与的夹角余弦值大小为（    ）

A． B．

C． D．

10．（2022·浙江·高二学业考试）已知，是非零向量且满足，，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

11．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）设是非零向量，则“”是“与共线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

13．（2022·浙江·高三学业考试）已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（    ）

A． B． C． D．

14．（2022·浙江·高三学业考试）已知为平面内两个不共线的向量，，若M，N，P三点共线，则λ=________.

15．（2022·天津南开·高二学业考试）已知，则__________．

16．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________.

17．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为_____________．

6.2平面向量基本定理及坐标表示

知识回顾

1、平面向量的基本定理

（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.

（2）基底：

不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；

（2）基底一旦确定，分解方式唯一；

（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.

2平面向量的坐标运算

（1）向量加减：若，则；

（2）数乘向量：若，则；

（3）任一向量：设，则.

3、平面向量共线的坐标表示

若，则的充要条件为

4、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量，为向量和的夹角：

（1）数量积

（2）模：

（3）夹角：

（4）非零向量的充要条件：

高频考点

1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知向量，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·贵州·高二学业考试）已知向量，则（    ）

A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）

3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知向量．若，则实数m的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

5．（2022·四川·高三学业考试）已知向量，且，则实数的值为（       ）

A．4 B．1 C．－1 D．－4

6．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）已知向量，，则（    ）

A．5 B． C．3 D．

7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，，则在上的投影向量为（   ）

A． B． C． D．

8．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面向量，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．（多选）（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知平面向量， 则（    ）

A． B． C． D．

6.3平面向量的应用（正弦定理、余弦定理）

知识回顾

1、正弦定理

（1）正弦定理的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有

（2）正弦定理的推广及常用变形公式

在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则

①

②；；；

③

④

⑤，，（可实现边到角的转化）

⑥，，（可实现角到边的转化）

2、余弦定理

（1）余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：

；

（2）余弦定理的推论

；

；

3、三角形常用面积公式

①；

②；

③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；

④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).

高频考点

1．（2022·贵州·高二学业考试）记的内角的对边分别为，若，，则（    ）

A． B． C．2 D．

2．（2022·天津红桥·高二学业考试）在中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·浙江·高三学业考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）

A．2 B． C． D．

4．（2022·天津南开·高二学业考试）在中，则  

A． B． C．或 D．或

5．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在中， 内角所对的边分别为， 若， 则（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·湖南娄底·高二学业考试）在中，已知，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·浙江·高三学业考试）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（    ）

A．2 B．1 C． D．4

9．（2022·重庆·高一学业考试）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼AB的高度是（    ）

A．20米 B．25米 C．米 D．米

10．（2022·天津河东·高二学业考试）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（    ）

A．30m B． C． D．

11．（多选）（2022·重庆·高一学业考试）在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则这个三角形有两解

12．（2022·福建·高二学业考试）在中，若，则_____

13．（2022·天津南开·高二学业考试）在中，若，则的长为__________．

14．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=___________.

15．（2022·贵州·高二学业考试）已知的外接圆半径为，边所对圆心角为，则面积的最大值为___．

16．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）在中，已知，，，则的面积等于___________.

17．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知的三个内角所对的边分别为 ，则边= ____________，的面积为__________．

18．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3

（1）求△CBD的面积；

（2）求边AC的长.

19．（2022·重庆·高一学业考试）在中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足方程

．

(1)求角A的大小；

(2)若，求的面积．

20．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，是直角三角形斜边上一点，.

(1)若，求角的大小；

(2)若，且，求的长.

21．（2022·湖南娄底·高二学业考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）若，，求，．

22．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在中，角所对的边分别为，且.

(1)求角的大小；

(2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长.

①；②的面积为.

23．（2022·重庆·高一学业考试）某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为2百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心O处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心O正东方向相距4百米的点A处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及圆弧外的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”：OC的长为“最远直接监测距离”.设.

(1)求“直接监测覆盖区域”的面积的最大值：

(2)试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大.

6.4复数的概念及四则运算

知识回顾

1、复数的概念

我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.

2、复数相等

在复数集中任取两个数，，（），我们规定.

3、复数的分类

对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:

4、复数的几何意义

（1）复数的几何意义——与点对应

复数的几何意义1：复数复平面内的点

（2）复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数  平面向量

5、复数的模

向量的模叫做复数)的模，记为或

                  公式：，其中

复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；                 

特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).

6、共轭复数

（1）定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

（2）表示方法

表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.

7、复数的四则运算

（1）复数的加法法则

（2）复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作

（3）复数的乘法法则

，

即

（4）复数的除法法则

（）

高频考点

1．（2022·天津南开·高二学业考试）设C为复数集，若，且（i为虚数单位），则（    ）．

A．1 B． C．4 D．

2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）复数,则在复平面内，z对应的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）复数（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知复数满足，则复数的模为（    ）

A． B．2 C． D．

6．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）若复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为i B．的共轭复数为

C．对应的点在第二象限 D．

7．（多选）（2022·重庆·高一学业考试）若，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为 B．

C． D．

8．（2022·天津红桥·高二学业考试）若是虚数单位，则复数______.

9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，复数且 (为虚数单位) ，则复数的模为____．

10．（2022·天津南开·高二学业考试）已知复数是实数，是虚数单位.

（1）求复数；

（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.

6.5平面向量和复数实战

一、单选题

1．设，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．1

3．三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若则的面积为（    ）

A． B． C． D．

4．已知向量和的夹角为，，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知向量，，，，则（   ）

A．0 B． C． D．

6．已知向量，，若，则（    ）

A．-2 B． C． D．2

7．某人从出发点向正东走后到，然后向左转150°再向前走到，测得的面积为，此人这时离出发点的距离为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，向量与的夹角为，则（       ）

A．5 B． C． D．

9．若平面上有A，B，C，D四点，且满足任意三点不共线，现已知，则=（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．2

二、多选题

11．已知向量，，则（   ）

A． B． C． D．

三、填空题

12．已知向量，，若，则实数_______.

13．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则的面积等于__________．

四、解答题

14．已知向量, .

(1)求；

(2)当时，求y的值.

15．在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若.

(1)求a ；

(2)求的面积.

16．已知为的三内角，且其对边分别为，若.

（1）求；

（2）若，，求的面积.