04第四章+指数函数与对数函数（知识回顾+高频考点训练）-2023年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（人教A版2019，新教材地区）

第四章 指数函数与对数函数

4.1指数与指数函数；

4.2对数与对数函数

4.3函数的应用（二）

4.4指数函数与对数函数实战

4.1指数与指数函数

知识回顾

1、根式的概念及性质

（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．

（2）性质：

①(且)；

②当为奇数时，；当为偶数时，

2、分数指数幂

①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；

②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；

③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

3、指数幂的运算性质

①；

②；

③.

4、指数函数及其性质

（1）指数函数的概念

函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．

（2）指数函数的图象和性质

高频考点

1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）下列运算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·广西·高二学业考试）函数的图象与y轴的交点坐标是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·天津河东·高二学业考试）已知三个数，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数,则（    ）

A．2 B．9 C．65 D．513

6．（2022·福建·高二学业考试）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． 

C． D．

8．（2022·四川·高三学业考试）已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

9．（2022·浙江·高三学业考试）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

10．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于原点对称

B．函数在R上不具有单调性

C．函数的图象关于y轴对称

D．当a＞1时，函数的最大值是0

11．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）___________.

12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为________．

13．（2022·全国·高一学业考试）计算：________.

14．（2022·天津红桥·高二学业考试）函数，当时，则的值为______.

15．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数

(1)求的值；

(2)若，求x的值．

16．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数．

(1)用定义法证明：函数在区间上单调递增；

(2)判断函数在上的零点个数（不需要证明）．

4.2对数与对数函数

知识回顾

1、对数的概念

（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.

（3）对数式与指数式的互化：.

2、对数的性质、运算性质与换底公式

（1）对数的性质

根据对数的概念，知对数具有以下性质：

①负数和零没有对数，即；

②1的对数等于0，即；

③底数的对数等于1，即；

④对数恒等式.

（2）对数的运算性质

如果，那么：

①；

②；

③.

（3）对数的换底公式

对数的换底公式：.

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

①；

②；

3、对数函数及其性质

（1）对数函数的定义

形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．

（2）对数函数的图象与性质

高频考点

1．（2022·贵州·高二学业考试）（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）计算：（    ）

A．10 B．1 C．2 D．

3．（2022·浙江·高三学业考试）下列等式成立的是（   ）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．9

5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域为（    ）

A． B． 

C． D．

6．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数曲线恒过定点（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·天津河东·高二学业考试）下列函数与是同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·天津红桥·高二学业考试）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）关于函数的单调性的说法正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．在上是减函数

C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数

10．（2022·浙江·高三学业考试）若对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·天津河东·高二学业考试）已知函数，则__________.

13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）计算：________.

14．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则_________．

15．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则__________．

16．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知定义在上的函数满足：，当时，，则等于___________.

17．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知f(x)＝ln是奇函数.

(1)求m；

(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.

18．（2022·全国·高一学业考试）已知函数（且）的图象过点．

(1)求a的值；

(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．

19．（2022·全国·高一学业考试）已知函数.

（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

20．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数.

(1)求函数的定义域，并判断其奇偶性；

(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.

4.3函数的应用（二）

知识回顾

1、函数的零点

对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注

意函数的零点不是点，是一个数.

2、函数的零点与方程的根之间的联系

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标

即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、零点存在性定理

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

4、常见函数模型

（1）指数函数模型（且，）

（2）对数函数模型（且，）

5、指数、对数、幂函数模型性质比较

高频考点

1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（    ）．

A． B． C． D．

2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·贵州·高二学业考试）记函数的两个零点为，，若，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）某地西红柿从月日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表：

由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高一学业考试）已知函数若方程至少有两个实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知函数则下列说法正确的个数是（       ）

①是上的增函数；②的值域为；③“”是“”的充要条件；④若关于的方程恰有一个实根，则

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，不等式恒成立，实数取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C．  D．

9．（2022·福建·高二学业考试）的零点的个数为________．

10．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）能源是国家的命脉， 降低能源消耗费用是重要抓手之一， 为此， 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层， 据当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： 厘米） 满足关系：， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时， 隔热层厚度__________厘米.

11．（2022·全国·高一学业考试）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热､挤压､发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨珍珠棉还需要投人其他成本万元.

(1)写出该公司本季度增加的利润万元与之间的函数关系；

(2)当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？

12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）某汽车公司购买了辆大客车，每辆万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约万元，每辆车第一年各种费用约为万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.

写出辆车运营的总利润（万元）与运营年数的函数关系式.

这辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？

13．（2022·福建·高二学业考试）已知函数．

(1)从中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；

(2)若函数有零点，求实数的取值范围．

14．（2022·全国·高一学业考试）已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点.

（1）求的表达式；

（2）若方程恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.

4.4指数函数与对数函数实战

1．（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．3

2．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

4．函数，且)恒过定点（    ）

A． B． C． D．

5．函数的图象经过（    ）

A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）

6．近年来贵州经济发展进入快车道，GDP（国内生产总值）增速连续保持全国前列.若2021年贵州的GDP为亿元，预计未来5年内GDP年均增长率为10％，则2024年贵州的GDP（单位：亿元）为（    ）

A． B．(1+10%) C．(1+10%)2 D．(1+10%)3

7．在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　）

A． B．

C． D．

8．已知lg2=a,   lg3=b，则lg 等于

A．a-b B．b-a C． D．

9．设用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（    ）

A． B． C． D．

10．已知，则的值为（    ）

A．7 B． C． D．27

11．函数的值域是_______.

12．函数的定义域是________.

13．已知函数（且），，则函数的解析式是__________.

14．已知函数；设，则 _______.

15．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．

16．已知函数（）且.

（1）求的值；

（2）若函数有零点，求实数的取值范围.

17．已知函数与.

(1)若与有相同的零点，求的值；

(2)若对恒成立，求的最小值.

18．已知函数，且.

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）当时，求使的的解集.

19．已知函数，其中.

（1）若的图象关于直线对称时，求的值；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）当时，令，若，且，函数在上有最大值9，求的值.

20．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于，小于，重金属B的密度为．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．