03第三章+函数的概念与性质（知识回顾+高频考点训练）-2023年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（人教A版2019，新教材地区）

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

3.2函数的基本性质

3.3幂函数

3.4函数的应用（一）

3.5函数的概念与性质实战

3.1函数的概念及其表示

知识回顾

1、函数的概念

设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.

其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域

与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

2、同一（相等）函数

函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

3、函数的表示

函数的三种表示法

高频考点

1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求

故选：D

2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以要使式子有意义，则

，解得，即.

所以函数的定义域是.故A，C，D错误.

故选：B.

3．（2022·浙江·高二学业考试）下列函数中表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【详解】选项A：函数的定义域为R，函数的定义域为，故不是同一函数，

选项B：函数与的关系式相同，定义域相同，故是同一函数，

选项C：因为，则，函数，则，故不是同一函数，

选项D：因为，而，故不是同一函数，

故选：B．

4．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：因为函数的定义域为，

即，所以，令，解得，

所以函数的定义域为；

故选：A

5．（2022·四川·高三学业考试）函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】函数的图象，是将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；

又由于函数图象关于原点中心对称，所以图象关于中心对称，所以C正确.

故选：C.

6．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ）

A．（） B．（）

C． （） D．（）

【答案】ABD

【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，

所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，

对于B，由选项A，可知（），所以B正确，

对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，，

因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，

对于D，由选项C可知，，所以，

因为，所以（），所以D正确，

故选：ABD

7．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数，则___________.

【答案】

【详解】，.

故答案为：.

8．（2022·北京·高三学业考试）对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（），少数国家使用华氏温标（），两种温标间有如下对应关系：

根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：

①对应；

②对应；

③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．

其中所有正确推断的序号是_____________．

【答案】①②③

【详解】设摄氏温标为x ，对应的华氏温标为y ,

根据表格数据可知

∴，即，

∴时，，时，，故①②正确；

由，可得，即摄氏温标对应的华氏温标为，故③正确.

故答案为：①②③.

9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，求的表达式．

【答案】．

【详解】由题意，设一次函数的解析式为，

因为，可得，

整理得，即，解得，

所以函数的表达式为.

10．（2022·北京·高三学业考试）已知函数则________；方程的解为________．

【答案】     －2     1

【详解】2×(－1)＝－2；

x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.

故答案为：－2；1.

3.2函数的基本性质

知识回顾

1、函数的单调性

（1）单调性的定义

一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；

①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数

②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数

（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）

若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．

2、函数的最值

（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足

①对于任意的，都有；

②存在，使得

则为最大值

（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足

①对于任意的，都有；

②存在，使得

则为最小值

3、函数的奇偶性

4、函数对称性

（1）轴对称：若函数关于直线对称，则

①；

②；

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

高频考点

1．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数为偶函数，且，则（    ）

A．1 B．3 C．4 D．7

【答案】C

【详解】由偶函数的性质得.

故选：C.

2．（2022·贵州·高二学业考试）函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.

故选：B.

3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】当时，函数，其在区间内单调递减，故A不正确；

函数的定义域为，且，所以是奇函数，故B不正确；

函数的定义域为，且，所以是偶函数，由二次函数的性质可知函数在区间内单调递增，故C正确；

函数的定义域为，且，所以是奇函数，故D不正确；

故选：C.

4．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数的图像关于点对称，则（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【详解】图象关于点对称，，

又，

，

，解得：，.

故选：C.

5．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]

【答案】A

【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.

故选：A

6．（2022·福建·高二学业考试）若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，

所以或时，；或时，；

，即，

可知或.

故选：A.

7．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）以下函数图象中不为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】奇函数的图象关于原点对称，

所以A选项的图象是奇函数的图象，BCD选项的不是奇函数的图象.

故选：BCD

8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，函数，存在，使得对任意的，都有，则的取值范围是___________．

【答案】

【详解】根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增.且.又在上恒为正，且存在，使得对任意的，都有，故，因为，故只需即可.

（1）当时，不成立；

（2）当时，，故，即，，解得.

综上有.

故答案为：.

9．（2022·贵州·高二学业考试）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下两个条件：

①对任意，把有；②对任意，都有．

则不等式的解集为___．

【答案】

【详解】由，可得：，

令，则，即函数为偶函数，

因为对任意，都有，

所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，

由，得，

即，因为函数为偶函数，所以

则，，，解得或，

故答案为：.

10．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设函数.

(1)当a=8时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；

(2)若，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.

【答案】(1)(2)

（1）当时， ，所以函数在上递减，在上递增，又，，，所以函数在上的值域是，

（2），因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以符合题意的必须满足或，即或，（ⅰ）当时，函数在上递减，在上递增，在上递增，由题意得，关于的方程在至少有两个不同的解，等价于，即 ，解得： 所以 （ⅱ）当时，，而当时，，所以方程无解，综上，实数的取值范围是，另解：，，因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，（ⅰ）当时，在上递增，因为，所以在上递增，，当在上递增，所以不存在，使得，（ⅱ）当时，在上递增，，①若，在上递增，所以不存在，使得，②若，在上递减，在上递增，由题意，关于的方程在至少有两个不同的解所以 ，解得： 所以；③若，而当时，，所以不存在，使得，综上，实数的取值范围是

11．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知函数.

(1)若函数为偶函数， 求的值；

(2)设函数，已知当时，存在最大值，记为.

（i）求的表达式；

（ii）求的最大值.

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

(1)解：因为为偶函数，所以，

即，即，所以，

即，所以；

(2)解：（i）因为，

所以，因为，

所以，

①当时，

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以当即时，，

当即时，，

②当时，

又在上单调递增，

所以，

因为，

所以当时，

又，

所以当时，当时，

综上可得：，

（ii）因为函数，与，均在定义域上单调递增，又，，

所以；

12．（2022·天津南开·高二学业考试）已知函数．

(1)若为偶函数，求a的值；

(2)若在上有最小值9，求a的值．

【答案】(1)

(2)或

(1)解：由题意，函数，可得其对称轴方程为，

因为函数为偶函数，所以二次函数的对称轴为，

所以，解得.

(2)解：由（1）知，函数，对称轴方程为，

①当，即时，函数在上为增函数，

所以函数的最小值为，解得；

②当，即时，函数在单调递减，在单调递增，

所以函数的最小值为，此时方程无解；

③当，即时，函数在上为减函数，

所以函数的最小值为，

解得或（舍去），

综上所述，满足条件的的值为或.

13．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数.

(1)若函数在是增函数，求的取值范围；

(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

（1）因为函数，所以对称轴为，

因为在是增函数，所以，解得

（2）因为对于任意的，恒成立，

即在时恒成立，所以在时恒成立，

设，则对称轴为，即在时恒成立，

当，即时，，解得；

当，即时，，解得（舍去），

故.

3.3幂函数

知识回顾

1、幂函数定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．

2、五种常见幂函数

高频考点

1．（2022·贵州·高二学业考试）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，即，定义域为，且，

即为奇函数，又由幂函数的性质可知在上单调递减，

所以在上单调递减，故符合题意的只有C；

故选：C

2．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知幂函数上单调递增，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【详解】因为幂函数上单调递增，

所以且，

解得，

故选：A

3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；

，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.

故选：B.

4．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】是奇函数， 时，．

当时，，，得．故选D．

5．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）当时，幂函数为减函数，则_________．

【答案】2

【详解】函数为幂函数，则，解得或，

又因为函数在上单调递减，

可得，可得，

故答案为：2

6．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．

【答案】

【详解】设幂函数，

∵幂函数的图象经过点，

∴，∴，

∴这个幂函数的解析式为．

故答案为：．

7．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

【答案】1

【详解】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故

故答案为：

8．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知幂函数的图象过点.

(1)求出此函数的解析式；

(2)判断函数的奇偶性,并给予证明.

【答案】(1)；

(2)奇函数，证明见解析.

(1)设幂函数，因为的图象过点，

所以有，因此；

(2)函数是奇函数，理由如下：

因为，所以函数是奇函数.

9．（2022·全国·高一）已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．

【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2.

【详解】解：（1）由幂函数可知，解得或

当时，，函数为偶函数，符合题意；

当时，，不符合题意；

故求的解析式为

（2）由（1）得：

函数的对称轴为：，开口朝上

，

由题意得在区间上，解得

所以实数的值为2.

10．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．

【答案】     ##0.5    

【详解】由题意可得，，所以，

所以幂函数．

可知函数在上单调递增，

由，得，

解得：．

故答案为：；.

3.4函数的应用（一）

知识回顾

常见几类函数模型

高频考点

1．（2022·湖南娄底·高二学业考试）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）

A．y＝10－x(0<x<5)

B．y＝10－2x(0<x<10)

C．y＝20－x(0<x<5)

D．y＝20－2x(0<x<10)

【答案】A

【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.

所以函数解析式为.

故选：A

2．（2022·全国·高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ）

A．310元 B．300元

C．390元 D．280元

【答案】B

【详解】依题意，解得.

故选：B

3．（2022·全国·高一课时练习）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（    ）

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.

A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①

【答案】A

【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；

对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；

对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；

故选：A.

4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则的取值范围是 （    ）

A．， B．，

C．，， D．，，

【答案】D

【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，

所以将原不等式转化为：或，

从而得或．

故选：D．

5．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））函数的零点所在的区间为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，易知函数单调递增，

，，,故函数在上有唯一零点.

故选：C.

6．（2022·全国·高一课时练习）夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是    

A．1500米 B．1600米 C．1700米 D．1800米

【答案】C

【详解】由（米）,知应选C.

7．（多选）（2022·全国·高一课时练习）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（    ）

A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元

【答案】BCD

【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，

根据题意有，解得，故BCD符合题意.

故选:BCD

8．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：

则下列说法正确的是（    ）A．买小包装实惠

B．买大包装实惠

C．卖3小包比卖1大包盈利多

D．卖1大包比卖3小包盈利多

【答案】BD

【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，

卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.

故选：BD

9．（2022·全国·高一课时练习）已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用________作为拟合模型较好．

【答案】甲

【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．

故答案为：甲

10．（2022·全国·高一课时练习）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．

【答案】1120

【详解】设顾客选购物品的总金额为元, 获得的折扣优惠金额为元,

则当时,,

当时,,令,得,解得,所以应舍去;

当时,,令,所以,解得,符合题意,

所以他实际所付金额为1150-30=1120元.

故答案为:1120.

11．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）

(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；

(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)70万盒

（1）

当产量小于或等于50万盒时，，

当产量大于50万盒时，，

故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为

（2）

当时，；

当时，，

当时，取到最大值，为1200．                    

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．

12．（2022·全国·高一课时练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.

(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？

【答案】(1)，

(2)投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元

（1）依题意：可设，，

∵，，

∴，.

（2）设投资债券类产品万元，

则股票类投资为万元，年收益为万元，

依题意得：，

即，令，

则，，

则，，

所以当，即万元时，

收益最大，万元.

3.5函数的概念与性质实战

一、单选题

1．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【详解】由题意，幂函数的图象经过点，

则 ，

故选：D

2．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，

所以的单调递减区间为.

故选：B

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由解析式有意义可得，故，

故函数的定义域为

故选：D.

4．下列函数中，与函数相同的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数；

对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；

对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数；

对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数.

故选：C.

5．已知函数则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】因为函数，所以.

故选：B

6．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为该函数为增函数，

所以，

故选：A

7．若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为函数是奇函数，所以有，

因为奇函数在上是增函数，所以该函数在上也是增函数，

当时，由，

当时，由，

所以不等式的解集为

故选：C

8．已知函数，则不等式的解集是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：，

当时，，所以或；

当时，，所以，

所以不等式的解集是，，，

故选：A．

9．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为在单调递增，在单调递增，

所以在单调递增.

所以.

因为对任意恒成立，所以.

故选：D

10．已知函数，，则的图象不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】定义域为R.

因为，所以为偶函数.，其图像关于y轴对称，

对照四个选项的图像，只能选D.

故选:D

二、多选题

11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（    ）．

A．；

B．若在上有最小值，则在上有最大值3；

C．若在上为减函数，则在上是增函数.

D．

【答案】AB

【详解】选项A：函数是定义在R上的奇函数，则，则.判断正确；

选项B：奇函数的图像关于原点中心对称，故若在上有最小值，则在上有最大值3.判断正确；

选项C：奇函数在上为减函数，但在上依旧是减函数.判断错误；

选项D：函数是定义在R上的奇函数，则.判断错误.

故选：AB

12．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）

A．的最大值为

B．

C．若，则

D．的解集为

【答案】BD

【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减，故函数在时取最大值为，A选项错误；

，B选项正确；

当时，，解得，当时，，解得，C选项错误；

当时，，解得，当时，，解得，D选项正确；

故选：BD.

13．已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】函数是偶函数，在区间上单调，，

 ，

函数在区间上单调递增，区间上单调递减，

，，，.

故选：AD

14．若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】ABC

【详解】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

故选：ABC.

三、填空题

15．函数，则__________．

【答案】1

【详解】∵，

∴，即，

∵，

∴，即．

故答案为：1．

16．是定义在R上的奇函数，当时，，当x＜0时，= ______.

【答案】

【详解】当时，，所以

因为是定义在R上的奇函数，所以，所以

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

(1)当时，求值；

(2)若是偶函数，求的最大值．

【答案】(1)4(2)2

(1)

解：当时，，

所以；

(2)

因为是偶函数，

所以成立，

即成立，

所以，则，

所以的最大值为2．

18．已知函数，

（1）判断并用定义证明的单调性；

（2）求的值域.

【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.

【详解】（1）为增函数，证明如下：

，，

因为，

可得：

所以在上为增函数.

（2）由第一问可知该函数在上为增函数，则当，有最小值，当，有最大值.

因为，，所以函数值域为.

19．设，已知函数.

（1）若是奇函数，求的值；

（2）当时，证明：；

（3）设，若实数满足，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，

即，亦即，因此；

（2）证明：因为，，

.

所以，.

（3）设，则，

当时，；

当时，；

，，

所以.

由得，即.

①当时，，，所以；

②当时，由（2）知，

，等号不能同时成立.综上可知.

20．已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）求函数在区间的最小值；

（3）关于的方程有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）答案见解析；（3）

【详解】（1）当时，，∴关于直线对称，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）由题意，，对称轴为，

当时，在区间上单调递增，则；

当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则；

当时，在区间上单调递减，则.

（3）方程有解，

即方程有解，

∴，解得或.

∴a的取值范围是．