河南省许昌市第十八中2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷

河南省许昌市第十八中2021-2022学年八年级上学期期中

数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　）

A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，8cm 

C．5cm，12cm，6cm D．4cm，6cm，9cm

2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）

3．（3分）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）

A．20° B．50° C．60° D．80°

4．（3分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（3分）下列条件中，不能判定三角形全等的是（　　）

A．三条边对应相等 

B．两边和其中一角对应相等 

C．两边和夹角对应相等 

D．两角和它们的夹边对应相等

6．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（　　）

A．AB∥DF B．∠B＝∠E 

C．AB＝DE D．AD的连线被MN垂直平分

7．（3分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C为（　　）

A．24° B．30° C．21° D．40°

8．（3分）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）

A．50 B．62 C．65 D．68

9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的三等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，∠BCF＝2∠ACF），且△DFE的三个内角分别为∠DFE＝54°、∠FDE＝60°、∠FED＝66°，则∠BAC＝（　　）

A．54° B．60° C．66° D．48°

10．（3分）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（　　）

A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠C＝　   　度．

12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝　   　°．

13．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为4和8，那么这个三角形的周长为　   　．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝　   　．

15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（3，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 　   　．

三、解答题（共8题，共75分）。

16．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC角平分线，AE与BF相交于点O，∠BOA＝125°，求∠DAC的度数．

17．（9分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF．请你在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，选择一个条件证明：∠A＝∠D．你选的条件的序号是　   　．

证明：

18．（9分）（1）如图，求x和y的值．

（2）在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．

19．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．

（1）若CD＝3，则求CE的长；

（2）求证：BF⊥AE．

20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．

（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．

（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　   　．

（4）△ABC的面积为 　   　．

21．（10分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．

（1）求证：△PMN是等边三角形；

（2）若AB＝12cm，求CM的长．

22．（10分）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．

（1）如图（1）当α＝15°时，

①按要求画出图形，

②求出∠ACD的度数，

③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；

（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为　   　．

23．（11分）在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），其中参数a、b满足如下关系式|2a﹣b|+（6﹣b）2＝0．

（1）直接写出A、B两点坐标：A　   　、B　   　．

（2）如图1，C点的横坐标为3，且AC平分∠BAy，作CD⊥AB于D，求BD﹣AD的值；

（3）如图2，现以AB为斜边构造等腰直角三角形ABM，试求以A、B、O、M为顶点的四边形的面积．

河南省许昌市第十八中2021-2022学年八年级上学期期中

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　）

A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，8cm 

C．5cm，12cm，6cm D．4cm，6cm，9cm

【考点】三角形三边关系．版权所有

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．

【解答】解：A、1+2＝3，故不能构成三角形，选项错误；

B、3+2＜8，故不能构成三角形，选项错误；

C、5+6＜12，故不能构成三角形，选项错误；

D、4+6＞9，能构成三角形，正确．

故选：D．

【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．

2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标．

【解答】解：根据轴对称得，点（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）．

故选：D．

【点评】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．

3．（3分）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）

A．20° B．50° C．60° D．80°

【考点】等腰三角形的性质．版权所有

【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．

【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为80°

∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°．

故选：B．

【点评】考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．

4．（3分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】多边形内角与外角．版权所有

【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．

【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，

∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，

∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8．

故选：D．

【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的内角和与外角和定理是关键．

5．（3分）下列条件中，不能判定三角形全等的是（　　）

A．三条边对应相等 

B．两边和其中一角对应相等 

C．两边和夹角对应相等 

D．两角和它们的夹边对应相等

【考点】全等三角形的判定．版权所有

【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理SSS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；

B、不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意；

C、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；

D、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合；

故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

6．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（　　）

A．AB∥DF B．∠B＝∠E 

C．AB＝DE D．AD的连线被MN垂直平分

【考点】轴对称的性质；线段垂直平分线的性质．版权所有

【分析】根据轴对称图形的性质一一判断即可、

【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，

∴∠B＝∠E，AB＝DE，AD的连线被MN垂直平分，

∴B、C、D正确，

故选：A．

【点评】本题考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．

7．（3分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C为（　　）

A．24° B．30° C．21° D．40°

【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴EA＝EC，

∴∠EAC＝∠C，

∴∠FAC＝∠EAC+19°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠FAB＝∠EAC+19°，

∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，

∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，

解得，∠C＝24°，

故选：A．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

8．（3分）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）

A．50 B．62 C．65 D．68

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；

同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG．

故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．

【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，

∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，

∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，

∴∠EAF＝∠ABG，

∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，

∴△EFA≌△AGB，

∴AF＝BG，AG＝EF．

同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．

故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16

故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．

故选：A．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，是中考常见题型．

9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的三等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，∠BCF＝2∠ACF），且△DFE的三个内角分别为∠DFE＝54°、∠FDE＝60°、∠FED＝66°，则∠BAC＝（　　）

A．54° B．60° C．66° D．48°

【考点】三角形内角和定理．版权所有

【分析】设∠BAD＝x，∠CBE＝y，∠ACF＝z，则∠CAF＝2x，∠ABD＝2y，∠BCE＝2z，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．

【解答】解：∵∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，∠BCF＝2∠ACF，

∴可以假设∠BAD＝x，∠CBE＝y，∠ACF＝z，则∠CAF＝2x，∠ABD＝2y，∠BCE＝2z，

∵∠DFE＝∠ACF+∠CAF，∠FDE＝∠DAB+∠ABD，∠DEF＝∠CBE+∠BCE，

∴54°＝2x+z，60°＝x+2y，66°＝y+2z，

解得x＝16°，y＝22°，z＝22°，

∴∠BAC＝3x＝48°，

故选：D．

【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

10．（3分）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（　　）

A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s

【考点】全等三角形的性质．版权所有

【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：当△ABC≌△PQA时，AP＝AC＝8，

∵点P的速度为2cm/s，

∴8÷2＝4（s）；

当△ABC≌△QPA时，当AP＝BC＝4，

∵点P的速度为2cm/s，

∴4÷2＝2（s）

故选：D．

【点评】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠C＝　80　度．

【考点】三角形内角和定理．版权所有

【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．

【解答】解：∵∠A＝60°，

∴∠B+∠C＝120°，

∵∠C＝2∠B，

∴∠C＝80°．

【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝　74　°．

【考点】全等三角形的性质．版权所有

【分析】根据全等三角形的性质可得∠E＝∠B＝37°，再根据等边对等角可得∠PFB＝∠B＝37°，再由三角形外角的性质可得∠APF的度数．

【解答】解：∵△ABC≌△DEF，

∴∠E＝∠B＝37°，

∵PB＝PF，

∴∠PFB＝∠B＝37°，

∴∠APF＝37°+37°＝74°，

故答案为：74．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．

13．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为4和8，那么这个三角形的周长为　20　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：∵4+4＝8，

∴腰的长不能为4，只能为8，

∴等腰三角形的周长＝2×8+4＝20，

故答案为：20．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝　112°　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题．版权所有

【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．

【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．

∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，

∴∠ADC＝180°﹣α，

由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，

在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC

＝180°﹣（180°﹣34）

＝34°

∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，

∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）

＝180°﹣68°

＝112°

故答案为：112°．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．

15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（3，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 　（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，5）　．

【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．版权所有

【分析】先画出点B关于直线AC的对称点E1，然后画出点B、点E1关于AC的垂直平分线的对称点E2、E3，从而得到满足条件的E点坐标．

【解答】解：如图，E点坐标为（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，5）．

故答案为：（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，5）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了坐标与图形性质．

三、解答题（共8题，共75分）。

16．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC角平分线，AE与BF相交于点O，∠BOA＝125°，求∠DAC的度数．

【考点】三角形内角和定理．版权所有

【分析】由三角形的内角和定理结合角平分线的性质可求解∠ACB＝70°，根据三角形高线的定义可得∠ADC＝90°，进而可求解∠DAC的度数．

【解答】解：∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠AOB＝125°，

∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣125°＝55°，

∵AE、BF是△ABC角平分线，

∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，

∴∠BAC+∠ABC＝55°，

∴∠BAC+∠ABC＝110°，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠ACB＝70°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°．

【点评】本题主要考查三角形的角平分线，高线，三角形的内角和定理，灵活运用相关定理是解题的关键．

17．（9分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF．请你在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，选择一个条件证明：∠A＝∠D．你选的条件的序号是　②　．

证明：

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】答由全等三角形的判定方法即可得出△ABC≌△DEF，即可得出∠A＝∠D．

【解答】解：①在△ABC和△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∠B＝∠E，

不能判定△ABC和△DEF全等；

②∵BF＝CE，

∴BF+CF＝CE+CF，

即BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

∴∠A＝∠D；

③在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）；

∴∠A＝∠D；

④∵AC∥DF，

∴∠ACB＝∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

∴∠A＝∠D；

故答案为：②，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

18．（9分）（1）如图，求x和y的值．

（2）在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．

【考点】多边形内角与外角；三角形的外角性质．版权所有

【分析】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和是180°；

（2）多边形的外角和是360°，内角和它相邻的外角互补．

【解答】解：（1）∵x+70＝x+（x+10），

∴x＝60，

∴∠C＝60°，∠B＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，

∴y＝50；

（2）设多边形的每个内角度数是x°，

由题意得：180﹣x＝x，

∴x＝150，

∴多边形的每一个内角的度数是150°，

∴多边形的边数是360°÷（180°﹣150°）＝12．

【点评】本题考查三角形的内角和定理，外角定理，多边形的有关知识，关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；多边形的外角和是360°，内角和它相邻的外角互补．

19．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．

（1）若CD＝3，则求CE的长；

（2）求证：BF⊥AE．

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】（1）先证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．

（2）由全等三角形的性质得到：∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．

【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD＝90°．

在Rt△BDC与Rt△AEC中，

，

∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．

∴CD＝CE＝3；

（2）证明：由（1）知，Rt△BDC≌Rt△AEC，

∴∠CBD＝∠CAE．

又∴∠CAE+∠E＝90°．

∴∠EBF+∠E＝90°．

∴∠BFE＝90°，

即BF⊥AE．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．

（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．

（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　（a+4，﹣b）　．

（4）△ABC的面积为 　3　．

【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．版权所有

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△A1B1C1；

（2）根据平移的性质即可作出△A2B2C2；

（3）结合（1）（2）可得AC上有一点M（a，b）的横坐标加4，纵坐标互为相反数，即可得对应A2C2上的点M2的坐标．

（4）根据网格即可求出△ABC的面积．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）点M2的坐标是（a+4，﹣b）．

故答案为：（a+4，﹣b）．

（4）△ABC的面积为：2×4﹣1×4﹣1×2﹣2×2＝8﹣2﹣1﹣2＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．

21．（10分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．

（1）求证：△PMN是等边三角形；

（2）若AB＝12cm，求CM的长．

【考点】等边三角形的判定与性质．版权所有

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；

（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C，

∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，

∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，

∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，

∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，

∴△PMN是等边三角形；

（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，

∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，

∴BM+PB＝AB＝12cm，

∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴2PB＝BM，

∴2PB+PB＝12cm，

∴PB＝4cm，

∴MC＝4cm．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．

22．（10分）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．

（1）如图（1）当α＝15°时，

①按要求画出图形，

②求出∠ACD的度数，

③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；

（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为　30°或52.5°　．

【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．版权所有

【分析】（1）①按要求画出即可；

②根据点B关于直线AP的对称点为点D，得到AP垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，证明△ACD为等边三角形，即可得到∠ACD＝60°；

③DE＝2BF，连接EB，根据AP垂直平分BD，得到ED＝EB，利用等边对等角得到∠3＝∠4，利用等腰三角形的性质求出∠3＝∠4＝15°，∠5＝30°，又因为AD＝AC，AB平分∠DAC，所以AB⊥DC，即可得到EB＝2BF，所以ED＝2BF；

（2）画出图形，分三种情况讨论：当AE＝AF时；当AE＝EF时；当EF＝AF时．

【解答】解：（1）①如图1：

②∵B、D关于AP对称，

∴AP垂直平分BD，a＝15°，

∴AD＝AB，∠1＝∠2＝15°，

∵∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠1+∠2+∠BAC＝60°，

∵AC＝AB，

∴AC＝AD，

∴△ACD为等边三角形

∴∠ACD＝60°．

③DE＝2BF，

证明：连接EB，

∵AP垂直平分BD，

∴ED＝EB，

∴∠3＝∠4，

∵AB＝AD，∠DAB＝30°，

∴∠ADB＝75°，

又∠ADC＝60°，

∴∠3＝∠4＝15°，

∴∠5＝30°，

又AD＝AC，AB平分∠DAC，

∴AB⊥DC，

∴EB＝2BF，

∴ED＝2BF．

（2）如图2，

∵AD＝AC，

∴△DAC是等腰三角形

∴∠ADC＝（180°﹣2a﹣30°）÷2＝75°﹣a，

∴∠AEF＝∠ADC+∠DAE＝75°﹣a+a＝75°，

当AE＝AF时，∠EAF＝a＝180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°；

当AE＝EF时，∠EAF＝a＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°；

当EF＝AF时，∠AEF＝∠EAF＝a＝75°（舍去）．

故答案为：30°或52.5°．

【点评】本题考查了作图，解决本题的关键是作出图形，利用垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质解决问题．

23．（11分）在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），其中参数a、b满足如下关系式|2a﹣b|+（6﹣b）2＝0．

（1）直接写出A、B两点坐标：A　（0，3）　、B　（6，0）　．

（2）如图1，C点的横坐标为3，且AC平分∠BAy，作CD⊥AB于D，求BD﹣AD的值；

（3）如图2，现以AB为斜边构造等腰直角三角形ABM，试求以A、B、O、M为顶点的四边形的面积．

【考点】三角形综合题．版权所有

【分析】（1）根据非负数的性质得到2a﹣b＝0，6﹣b＝0，解方程即可得到a，b的值，则可得出答案；

（2）连接CO，CB，过点C作CH⊥OB于点H，过点C作CE⊥AO于点E，证明Rt△CEO≌Rt△CDB（HL），由全等三角形的性质得出OE＝BD，证明△CAE≌△CAD（AAS），得出AD＝AE，则可得出答案；

（3）分两种情况：当M在AB上方时，当M在AB下方时，画出图形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．

【解答】解：（1）∵|2a﹣b|+（6﹣b）2＝0．

∴2a﹣b＝0，6﹣b＝0，

∴a＝3，b＝6，

∴A（0，3），B（6，0）；

故答案为：（0，3），（6，0）；

（2）连接CO，CB，过点C作CH⊥OB于点H，过点C作CE⊥AO于点E，

∵C点的横坐标为3，B点的横坐标为6，

∴H为OB的中点，

∴CO＝CB，

∵CA平分∠EAD，CE⊥AO，CD⊥AB，

∴CE＝CD，

在Rt△CEO和Rt△CDB中，

，

∴Rt△CEO≌Rt△CDB（HL），

∴OE＝BD，

在△CAE和△CAD中，

，

∴△CAE≌△CAD（AAS），

∴AD＝AE，

∴BD﹣AD＝OE﹣AE＝OA＝3．

（3）①当M在AB上方时，

如图2，过点M作MH⊥y轴于点H，过点B作BT⊥HM于点T，

∵∠AHM＝∠AMB＝∠BTM＝90°，

∴∠AMH+∠BMT＝∠BMT+∠MBT＝90°，

∴∠AMH＝∠MBT，

∵AM＝BM，

∴△AHM≌△MTB（AAS），

∴AH＝MT，HM＝BT，

设AH＝MT＝x，HM＝BT＝y，

∵x+y＝6，y﹣x＝3，

∴x＝，y＝，

∴S四边形AOBM＝S矩形OHTB﹣2S△AHM＝6×﹣2×＝．

②当M在AB下方时，如图3，

同①可得△AHM≌△MTB（AAS），

∴AH＝MT＝y，HM＝BT＝x，

∵x+y＝6，y﹣x＝3，

∴x＝，y＝，

∴S四边形AOMB＝S梯形AHTB﹣S△MBT﹣S△OHM＝×（）×6﹣﹣﹣＝．

综合以上可得以A、B、O、M为顶点的四边形的面积为或．

【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．