2020-2021学年湖南省长沙市九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖南省长沙市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列实数是无理数的是　　

A． B． C．3.1415 D．

2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）近日，从国家航天局探月与航天工程中心获悉，在完成既定主任务后，嫦娥五号轨道器将开展拓展任务，启程飞往距离地球约1500000公里的日地拉格朗日点．将1500000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）不等式组的整数解有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为　　

A． B． C． D．

7．（3分）下列命题是真命题的是　　

A．内错角相等 B．旋转改变图形的形状和大小 

C．等边三角形是中心对称图形 D．平行四边形对角线互相平分

8．（3分）一次函数的函数值随增大而减小，那么该函数的图象不经过　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为　　

A． B． 

C． D．

10．（3分）如图，正方形，点，分别在边，上，，，与交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：　　．

12．（3分）平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是 　　．

13．（3分）小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图．这6次成绩的中位数是　　．

14．（3分）正十二边形每个内角的度数为　　．

15．（3分）若圆锥的底面半径为4，高为3，则圆锥的侧面展开图的面积是　　．

16．（3分）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于、两点．若，则的值为　　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

19．（6分）如图，、、三点在同一水平线上，，，，．

（1）求的度数；

（2）求线段的长度．

20．（8分）为了解某校九年级全体男生100米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为、、、四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：

（1）　　，扇形图中表示的圆心角的度数为　　度；

（2）甲、乙、丙是等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

21．（8分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

22．（9分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．

（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？

（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？

23．（9分）如图，点是上的一点，点是直径延长线上的一点，连接，，，且．

（1）求证：直线是的切线；

（2）当时，求；

（3）在（2）的条件下，作的平分线，与交于点，若，求的半径．

24．（10分）定义：形如为用自变量表示的代数式）的函数叫做“翻折函数”．

例如，函数，都是“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数．

例如，可以将“翻折函数” 写成分段函数的形式：．

探索并解决下列问题：

（1）将“翻折函数” 写成分段函数的形式；

（2）若“翻折函数”函数的图象与直线恰有2个公共点，求的取值范围；

（3）已知函数的图象与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左边），点在函数的图象上（点与点不重合），轴，垂足为．若与相似，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

25．（10分）如图，为等边的外接圆，．

（1）如图1，若点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，求证：；

（2）在（1）问的基础上，当点从点运动到点时，求点的运动路径的长度；

（3）如图2，点在劣弧上运动（不与点，重合），四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．

2020-2021学年湖南省长沙市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列实数是无理数的是　　

A． B． C．3.1415 D．

【解答】解：、是无理数，故本选项符合题意；

、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

、3.1415是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：．

2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、主视图是三角形，故不符合题意；

、主视图是矩形，故不符合题意；

、主视图是圆，故符合题意；

、主视图是正方形，故不符合题意；

故选：．

3．（3分）近日，从国家航天局探月与航天工程中心获悉，在完成既定主任务后，嫦娥五号轨道器将开展拓展任务，启程飞往距离地球约1500000公里的日地拉格朗日点．将1500000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：1500000用科学记数法表示为：．

故选：．

4．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，原式计算错误，故此选项不合题意；

、，原式计算错误，故此选项不合题意；

、，原式计算错误，故此选项不合题意；

、，正确；

故选：．

5．（3分）不等式组的整数解有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

所以不等式组的整数解为，0，1，2，一共4个．

故选：．

6．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：直尺的两边互相平行，，

．

，

．

故选：．

7．（3分）下列命题是真命题的是　　

A．内错角相等 B．旋转改变图形的形状和大小 

C．等边三角形是中心对称图形 D．平行四边形对角线互相平分

【解答】解：、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；

、旋转不改变图形的形状和大小，故本选项说法是假命题，不符合题意；

、等边三角形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；

、平行四边形对角线互相平分，故本选项说法是真命题，符合题意；

故选：．

8．（3分）一次函数的函数值随增大而减小，那么该函数的图象不经过　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：一次函数的函数值随增大而减小，

，

一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，

故选：．

9．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，

在中，，即．

故选：．

10．（3分）如图，正方形，点，分别在边，上，，，与交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④

【解答】解：四边形是正方形，

，，

，

，

，

在与中，

，

，

，

，

，

，故①正确；

，

，

，

，

，

，

，

，故②正确；

设的面积为，

，

，，

的面积为，的面积为，

的面积的面积，

，故③错误；

作于，设，，则，，

由，可得，

由，可得，

，

，

，

，

，，

，

，

，故④正确，

故选：．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：　　．

【解答】解：．

12．（3分）平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是 　　．

【解答】解：根据题意，从点平移到点，点的纵坐标不变，横坐标是，

故点的坐标是．

故答案为：．

13．（3分）小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图．这6次成绩的中位数是　9.75　．

【解答】解：由6次成绩的折线统计图可知：

这6次成绩从小到大排列为：

9.5，9.6，9.7，9.8，10，10.2，

所以这6次成绩的中位数是：．

故答案为：9.75．

14．（3分）正十二边形每个内角的度数为　　．

【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：，

则每一个内角的度数是：．

故答案为：．

15．（3分）若圆锥的底面半径为4，高为3，则圆锥的侧面展开图的面积是　　．

【解答】解：因为圆锥的底面半径为4，高为3，

所以圆锥的母线长，

所以圆锥的侧面展开图的面积．

故答案为．

16．（3分）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于、两点．若，则的值为　　．

【解答】解：一次函数的图象过点，

令，

整理得，

，，

，

点的横坐标是点横坐标的2倍，不防设，

，，

，

整理得，．

故答案为．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：．

【解答】解：原式．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

【解答】解：原式

，

当时，原式．

19．（6分）如图，、、三点在同一水平线上，，，，．

（1）求的度数；

（2）求线段的长度．

【解答】解：（1），，，

．

（2）如图，过点作于．

，，，

，

，

．

20．（8分）为了解某校九年级全体男生100米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为、、、四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：

（1）　40　，扇形图中表示的圆心角的度数为　　度；

（2）甲、乙、丙是等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

【解答】解：（1）随机抽取男生人数：（名，即；

等级人数：（名，即；

扇形图中表示的圆心角的度数．

故答案为：40，36；

（2）画树状图如下：

共有6种等可能的情况数，其中同时抽到甲，乙两名学生的有2种，

则同时抽到甲，乙两名学生的概率是．

21．（8分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

【解答】解：（1）证明：根据作图的过程可知：平分，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

平行四边形是菱形；

（2）如图，连接交于点，

四边形是菱形，

，，，，

，

，

，

菱形的周长为．

22．（9分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．

（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？

（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？

【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为元，则乙种玩具的进价为元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

．

答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．

（2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，

根据题意得：，

解得：，

为整数，

答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．

23．（9分）如图，点是上的一点，点是直径延长线上的一点，连接，，，且．

（1）求证：直线是的切线；

（2）当时，求；

（3）在（2）的条件下，作的平分线，与交于点，若，求的半径．

【解答】证明：（1）连接，如图，

为圆的直径，

．

．

，

，

．

，

，

即，

．

直线是的切线；

（2）过点作于点，如图，

则．

，

设，则．

，

，

，

．

，

．

，．

，．

，

在中，．

，

．

（3）过点作于，如图，

，

．

由（2）知：，，，，

，

．

是的平分线，

．

．

在中，，

则．

，

．

，

．

．

在中，，则．

，

．

．

，

．

在中，

，

．

解得：（负数不合题意，舍去）．

．

的半径．

24．（10分）定义：形如为用自变量表示的代数式）的函数叫做“翻折函数”．

例如，函数，都是“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数．

例如，可以将“翻折函数” 写成分段函数的形式：．

探索并解决下列问题：

（1）将“翻折函数” 写成分段函数的形式；

（2）若“翻折函数”函数的图象与直线恰有2个公共点，求的取值范围；

（3）已知函数的图象与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左边），点在函数的图象上（点与点不重合），轴，垂足为．若与相似，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

【解答】解：（1）根据题意得，令，解得，

；

（2）令函数，解得，，

根据题意得，

当函数的图象与直线恰有2个公共点时，直线在上方或在与之间，

当直线与重合时，有三个交点，

联立方程得，整理得：，

有两个相等的实数根，△，解得，

故，

当直线与重合时，有三个交点，将代入直线解得，

当直线与重合时，有一个交点，将代入直线解得，

此时，

综上所述，的取值范围为或；

（3）当时，，即点；

当时，，解得，，即点，点，

根据题意得，

设点的横坐标为，

当时，根据题意得，

若，则，即，

解得，，均不符合题意舍去，

若，则，即，

解得，，均不符合题意舍去，

当时，由题意得，

若，则，即，

解得（舍去），，

点，，

若，则，即，

解得（舍去），（舍去），

当时，根据题意点，

若，则，即，

解得（舍去），，

点，

若，则，即，

解得（舍去），，

点，，

综上所述，点，，，，．

25．（10分）如图，为等边的外接圆，．

（1）如图1，若点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，求证：；

（2）在（1）问的基础上，当点从点运动到点时，求点的运动路径的长度；

（3）如图2，点在劣弧上运动（不与点，重合），四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．

【解答】证明：（1）为等边三角形，

，．

在和中，

．

解：（2），

．

，

．

．

点的运动路径为以为弦，所含的圆周角为的弧．

设这条弧的圆心为，如图，则，

过点作于点，．

，

．

在△中，

，

．

点的运动路径的长为．

（3）四边形的面积是线段的长的函数．

延长到，使，连接，如图，

为圆内接四边形的外角，

．

为等边三角形，

．

在和中，

，

．

，，．

．

为等边三角形．

，．

过点作于点，

则．

．

，

．

四边形的面积是线段的长的函数，函数解析式为．

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日期：2021/12/16 16:57:29；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122