2023雅安中学高二上学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年度上期高2024届半期考试

数学试卷

命题人：倪虎 审题人：王正军

一、单选题(每小题5分，共60分)

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

2．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ）

A． B． C． D．

3．下列说法正确的是（    ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．方程不能表示平行轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程为

4．若直线与直线平行，则m＝（    ）

A． B． C．或 D．不存在

5．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）

A．5 B．1 C．1或17 D．17

6．要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（　　）

A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017

7．圆与圆的公切线有（    ）

A．条 B．条 C．条 D．条

8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则线段的中点到轴的距离为（    ）

A．1 B．4 C．3 D．7

9．已知两点，给出下列曲线方程：

①；②；③；④．

在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（    ）

A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③

10．已知直线l：和圆C：相交于M，N两点，下列说法错误的是（    ）

A．的取值范围是 B．圆心C到直线l距离的取值范围是

C．∠MCN的最小值是 D．面积的最大值是2

11．已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

12．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，点P满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（　　）

A．圆的方程为 B．轨迹圆的面积为

C．在上存在使得 D．当，，三点不共线时，射线是的平分线

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．若点到直线的距离等于3，则a的值为______．

14．执行如图所示的程序框图，输出的值为___________

15．已知x，y满足约束条件则的最大值是___________.

16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，第一象限的A，B两点在C上，若，|FA|＝7，|FB|＝25，若直线AB的倾斜角为θ，则__．

三、解答题(17题10分，其余每小题12分，共70分)

17．已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：

(1)曲线C是椭圆；

(2)曲线C是双曲线．

18．已知点，，：

(1)求过点且与平行的直线方程；

(2)若中点为，求过点与的直线方程；

(3)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程.

19．已知圆C：

(1)与直线平行，求此时切线l的方程；

(2)过圆外一点P（）作圆C的切线，求此时切线l的方程.

20．已知抛物线经过点（a为正数），F为抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，求点M的轨迹方程．

21．已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；

(3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.

22．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.

(1)求椭圆方程；

(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.

高二上期半期考试数学参考答案：

1．C   2．A   3．D    4．B   5．D   6．B  7．C  8．C   9．C   10．D

11．A解：连接，与左右焦点，的连线，

由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，

在三角形中，，

所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故，

即，可得，所以椭圆的离心率.故选：A．

12．D解：对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足        ，

设，则，化简可得，故A错误；

对于B，又圆：的半径，则圆的面积为，故B错误；

对于C，若存在点，使得，可设，即有，化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故C错误；

对于D，当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确.  故选：D.

13．或7   14．   15．6

16．##0.75

如图所示，设抛物线C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作AP⊥BE于点P，由抛物线的定义可知|，

所以，又因为，

所以，所以，

所以直线AB斜率为，即tanθ，所以，故答案为：．

17．(1)；(2).     

（1）∵曲线C的方程为               ，∴               ，又曲线C是椭圆，

∴，解得且，∴实数m的取值范围为；

（2）∵曲线C是双曲线，∴               ，

解得或，故实数m的取值范围为.

18．(1)  (2) (3)或

（1）设所求直线的斜率为，则有                      ，又直线过点，

∴直线方程为：，即：.

（2）∵为中点，∴                   ，即        ，

∴直线的方程为：，即：.

（3）当所求直线在轴和轴上的截距都为0时，即直线经过点和坐标原点，此时直线方程为：，即：；

当所求直线在轴和轴上的截距都不为0时，设直线方程为：，，

由题意有：，解得：，所以直线方程为：，

即：,综上：所求直线方程为：或.

19．(1)  (2)或.

（1）由题意知，圆心为C，半径 设切线：

圆心C到切线的距离 ，

所求切线：.

（2）当的斜率不存在时，此时的方程为，C到的距离，满足条件.

当的斜率存在时，设斜率为，得的方程为，即，

则 ，解得.∴的方程为，即.

综上，满足条件的切线的方程为或.

20．(1)  (2)

（1）由抛物线经过点，可得，可得，

又，可得，解得，故抛物线C的标准方程为；

（2）由（1）知，则，设，

根据点M为线段的中点，可得即

由点Q为抛物线C上一动点，可得，

整理可得点M的轨迹方程为．

21．(1) (2) (3)

（1）依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立：，整理得，故，由弦长公式，

（3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，），设直线为：，和椭圆方程联立得，，

，则，故，

由韦达定理可得：，，

于是，，故，

即，

化简可得，解得，故直线为：

22．(1)(2)证明见解析.

（1）解：因为是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足，

所以，解得，因为椭圆的离心率为，

所以，解得.所以，，所以，椭圆方程为.

（2）解：由（1）知，，

当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，

直线方程为，直线方程为，所以，，

所以，，两点的纵坐标之积为，

当直线的斜率存在时，因为过点的直线与椭圆交于，两点（异于），

所以直线的斜率不为，设直线的方程为，设，

则直线方程为，直线方程为，

因为直线，分别交直线于，两点所以，

联立直方程得，

所以，，所以，，

所以，，两点的纵坐标之积为

所以，，两点的纵坐标之积为定值.