2022-2023学年四川省雅安中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省雅安中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．下列四个命题中，正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为2

B．直线的倾斜角和斜率均存在

C．若两直线的斜率满足，则两直线互相平行

D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【答案】B

【分析】根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为时斜率不存在可判断D.

【详解】对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；

直线的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；

若两直线的斜率满足，则两直线互相平行或重合，所以C错误；

若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以D错误；

故选：B

2．不等式组所表示的平面区域的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出可行域，不等式组表示的区域为直角三角形，求出面积即可.

【详解】画出可行域，如图阴影部分为直角三角形，

其中，则面积为.

故选：B

3．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，．若，则下列关系不可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据倾斜角，取锐角、钝角等不同情况结合正切函数的图象与性质可得到不可能成立的选项.

【详解】若，因为在上单调递增，则，即，所以A选项可能成立;

若，因为在上单调递增，则，即，所以B选项可能成立;

对于C选项，由可知，，且,即与题意矛盾，不能成立;

若，，则，即，所以D选项可能成立.

故选:C.

4．若方程表示椭圆，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.

【详解】因为方程表示椭圆，

所以，

解得：且.

故k的取值范围为：.

故选：D.

5．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ）

A．4或－1 B．－1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系得到分式方程，解出值，最后不忘检验.

【详解】由题意得，化简得，解得或4，

又，，

故选：D.

6．过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到弦长.

【详解】由,得椭圆方程,

左焦点为,

过左焦点的直线为,代入椭圆方程得

，解得或，

，

故选：D.

7．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程.

【详解】解：由已知，得，故，

∵，即，

∴，得，故，

所以椭圆C的方程为.

故选：D．

8．圆：上存在点到原点的距离为1，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出圆心及半径，由题意可得，解之即可得解.

【详解】解：由圆：，得，

则圆心，半径，则，

因为圆上存在点到原点的距离为1，

所以圆与单位圆有公共点，

，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：A.

9．已知圆和圆的交点为、，则下列选项错误的是（    ）

A．圆和圆有两条公切线

B．直线的方程为

C．圆上存在两点和使得

D．圆上的点到直线的最大距离为

【答案】C

【分析】判断两圆的位置关系，可判断A选项；将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.

【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

所以，，

因为，则两圆相交，故这两圆有两条公切线，A对；

对于B选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，B对；

对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，，

对于圆上的任意两点、，，C错；

对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.

故选：D.

10．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意将曲线转化为，，是一个半圆,作图如下,可结合图形确定直线与圆的交点个数,进而确定斜率的取值范围.

【详解】由可化为，，

所以曲线为以为圆心，2为半径的圆的部分．

直线过定点，

由图知，当直线经过点时恰与曲线有两个点，

顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个,

且，由直线与圆相切得，

解得，则实数k的取值范围为．

故选:B.

11．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.

【详解】设，，则有，两式作差得：，

即，

弦中点坐标为，则，

又∵，∴，∴，

又∵，∴可解得，，

故椭圆的面积为.

故选：C

12．已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与的关系得到的范围，然后利用斜率公式表示出，进而求出其范围．

【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．

因椭圆C的焦点在x轴上，则．

因为，所以，

不妨设，，，，

由题意知，则，即，

．

故选：A．

二、填空题

13．若点在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是__________．

【答案】.

【分析】根据题意，将点的坐标代入不等式解出a即可.

【详解】由题意，.

故答案为：.

14．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围．

【详解】解：如图，

，，，

，，

则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，，

又直线倾斜角的范围是：，且

直线l的倾斜角的范围为．

故答案为：．

15．已知，是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为________.（注：离心率等于）

【答案】

【分析】根据椭圆定义及勾股定理求出，从而求出，结合题干条件得到，从而求出离心率.

【详解】由椭圆定理可知：，，

因为，由勾股定理得：，

即，

所以，

解得：，

所以，

因为，

所以，故，

故离心率为.

故答案为：

16．在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________.

【答案】5x－12y＋45＝0或x－3＝0

【分析】首先判断点与圆的位置关系，然后设出直线的方程，进而根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.

【详解】因为，所以点在圆外，

且的圆心为，半径为2，

若切线斜率不存在，即，圆心到直线的距离为2，故直线是圆的切线，

若切线的斜率存在，设切线方程为，即，

则，则，两边同时平方得，故，

所以，即，

综上：切线的方程为或.

故答案为：或.

三、解答题

17．已知点的坐标为，直线的方程为.

(1)如果直线过点，且，求直线的方程.

(2)如果点是直线上的动点，求线段最短时点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两直线平行得到，再利用其过点，写出点斜式方程；

（2）根据直线外一定点到直线上一动点最短距离即为此定点到直线的距离，得到，再联立两直线方程解出点坐标即可.

【详解】（1），∵，∴，

又过点，由点斜式知：直线的方程为，即.

（2）当时，最短，此时，

由点斜式知：直线的方程为，即，

由解得，则点.

18．已知两圆和.求：

(1)m取何值时两圆外切？

(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）分别求出两圆的圆心及半径，由两圆外切得圆心距等于半径之和，即可得解；

（2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再根据圆的弦长公式计算即可求出公共弦长.

【详解】（1）解：两圆的标准方程分别为，

圆心分别为，

半径分别为和，

当两圆外切时，

＝＋，

解得；

（2）解：两圆的公共弦所在直线的方程为，

即，

圆的圆心到公共弦所在直线的距离

，

公共弦长为.

19．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合列式求解；（2）由两点间距离结合椭圆方程整理可得，再根据二次函数求最值.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）设，则，即

，

因为的对称轴为，所以在为减函数，

所以当时，的最大值为的最大值为.

20．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求x＋y的最大值和最小值；

(3)求的最大值和最小值.

【答案】(1)最大值为－2＋，最小值为－2－

(2)最大值为－1，最小值为－－1

(3)最大值为＋1，最小值为－1

【分析】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，分析即得解；

（2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，求解即可；

（3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.

【详解】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.

设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，

即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－

∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.

（2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，

∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，

解得t＝－1或t＝－－1.

∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.

（3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.

又圆心到定点(－1，2)的距离为，

∴的最大值为＋1，最小值为－1.

21．已知定点，，动点P满足.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设动点P的坐标为，根据已知建立方程，化简求解.

（2）利用相关点法进行求解.

【详解】（1）设动点P的坐标为，

因为，，且，

所以，

整理得，

所以动点P的轨迹C的方程为；

（2）设点的坐标为，点A坐标为，

因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，

所以，即，

解得，又点A在轨迹C运动，

由（1）有：，

化简得：，

即Q的轨迹方程：.

22．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；

（2）由题意可知在x轴上存在一点，使成立，据此结合根与系数的关系可求解.

【详解】（1）由题意得，解得：．

所以椭圆C的方程为．

（2）由题意可知．

若直线l斜率存在，设直线l的方程为，

联立得，整理得．

由题意可知恒成立，所以，

假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，

所以，整理得，

即，

整理得，，

则，

即，解之得．

若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分．

综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分．