23版新高考一轮分层练案(三十二)　平面向量的概念及线性运算

这是一份23版新高考一轮分层练案(三十二)　平面向量的概念及线性运算，共6页。试卷主要包含了已知O是正方形ABCD的中心，在△ABC中，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(三十二)　平面向量的概念及线性运算 A级——基础达标1．设a，b是非零向量，则a＝2b是＝成立的(　　)A．充要条件    B．充分不必要条件C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件【答案】B　由a＝2b可知，a，b方向相同，， 表示a，b方向上的单位向量，所以＝成立；反之不成立．故选B.2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A．a与λa的方向相反    B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|    D．|－λa|≥|λ|a【答案】B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．3．已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　)A．－2    B．－C．－    D．【答案】A　＝＋＝＋＝－＋＝－，∴λ＝1，μ＝－，∴＝－2.4.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A．    B．C．    D．【答案】B　注意到N，P，B三点共线，因此＝m＋＝m＋，从而m＋＝1，所以m＝.5．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)A．＋    B．－C．＋     D．＋【答案】AC　如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选A、C.6．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)A．    B．C．    D．【答案】CD　因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0，即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可为或.7．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是(　　)A．－＝B．＋＋＝0C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形D．若·＞0，则△ABC为锐角三角形【答案】BC　由向量的运算法则知－＝，＋＋＝0，故A错误，B正确；∵(＋)·(－)＝2－2＝0，∴2＝2，即||＝||，∴△ABC为等腰三角形，故C正确；∵·＞0，∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形，故D错误．故选B、C.8．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，则t＝________．解析：∵a，tb，(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同，∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ，∴解得即当t＝时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上．【答案】9．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．解析：取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.【答案】　10．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，若存在实数t使C，D，E三点在一条直线上，则t＝________．解析：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，又C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.【答案】B级——综合应用11．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)A．(0，1)    B．(1，＋∞)C．(1， ]    D．(－1，0)【答案】B　设＝m，则m>1，因为＝λ＋μ，所以m＝λ＋μ，即＝＋，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B.12．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为△ABC的(　　)A．BC边中线的中点B．BC边中线的三等分点(非重心)C．重心D．BC边的中点【答案】B　设BC的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点．13．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)A．若＝＋，则点M是边BC的中点B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上C．若＝－－，则点M是△ABC的重心D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【答案】ACD　若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选A、C、D.14．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．解析：设＝y，∴＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，∵＝x＋(1－x)，∴x＝－y，∴x∈.【答案】15．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB⊥PD，则||的最大值是________，|＋|的值是________．解析：因为PB⊥PD，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B，D)，如图：设BD的中点为O，由题意得BD＝5，所以圆O的半径r＝，由圆的性质可得||max＝2r＝5.由矩形的性质可得O也为AC中点，所以|＋|＝|2|＝2r＝5.【答案】5　5 C级——迁移创新 16．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.以上结论一定正确的是_________(填写所有正确结论的序号).解析：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当a，b共线且λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|＝|a|<|a|＋1，当e与a共线时，|a⊗e|＝|a－e|≤|a|＋1，故④是正确的．【答案】①④