23版新高考一轮分层练案(三十七)　空间点、直线、平面之间的位置关系

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一轮分层练案(三十七)　空间点、直线、平面之间的位置关系 A级——基础达标1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　)A．4  B．3C．2  D.1【答案】A　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【答案】A　如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．4.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则异面直线AB1与BC1所成的角的大小是(　　)A．60°  B．75°C．90°  D.105°【答案】C　设BB1＝1，如图，延长CC1至点C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角．接连AC2，易知AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°，即异面直线AB1与BC1所成的角的大小为90°.5．(多选)给出以下说法，其中正确的是(　　)A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面【答案】AD　在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，B不正确；选项C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，D正确．故选A、D.6.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　)A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线【答案】BD　如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，∴EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，∴EF＝GH，即GH≠2EF.故选B、D.7．(多选)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是(　　)A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行【答案】ACD　A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选A、C、D.8．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________．解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．【答案】平行、相交或异面9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.则：(1)三棱锥P­ABC的体积为______；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值为________．解析：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P­ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.【答案】(1)　(2)10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EF綉E1F1；(2)∠EA1F＝∠F1CE1.证明：(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綉BD.同理可证E1F1綉B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD綉B1D1.所以EF綉E1F1.(2)如图，取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綉AB，所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1. B级——综合应用 11．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A­BCD，则当三棱锥A­BCD的体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为(　　)A.  B.C.  D.【答案】B　设菱形对角线交于点O，当三棱锥A­BCD的体积最大时，∠AOC＝90°.如图，分别取AB，AC的中点为M，N，连接OM，MN，ON.∵OM∥AD，MN∥BC，∴∠OMN为异面直线AD与BC所成的角或其补角．在△OMN中，易得OM＝，MN＝，ON＝，由余弦定理得cos∠OMN＝，即异面直线AD与BC所成的角的余弦值为.故选B.12．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)A.  B.C.  D.【答案】A　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，∴∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A.13．(多选)关于正方体ABCD­A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的是(　　)A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A­D1PC的体积不变B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角【答案】AB　对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，则点P到平面AD1C的距离不变，由△AD1C的面积为定值，可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A­D1PC的体积不变，故A正确；对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，且tan∠PAB＝，所以∠PAB<，故C错误；对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误．所以其中说法正确的是A、B.14.如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点，则PN与MC之间的位置关系是________．解析：法一：∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，∴点N与点M不重合．∵N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM，∴由异面直线的判定方法可知，直线PN与MC为异面直线．法二(反证法)：假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α.∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，∴点M与点N不重合．∵M∈α，N∈α，∴直线MN⊂α，∵A∈MN，B∈MN，∴A∈α，B∈α，即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾．∴假设不成立．故PN与MC为异面直线．【答案】异面直线15.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：(1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？(2)若E，F，G，H四点共面，画出过点E，F，G，H的平面截正方体所得的截面；(3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？解：(1)如图①，直线EF，GH，DC能交于一点．理由如下．因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.易证△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB.同理，直线GH与直线CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB.所以点P1与点P重合．因此直线EF，GH，DC能交于一点．(2)如图②，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图②中的阴影部分所示．(3)截面为正六边形，其面积为6××2＝a2.  C级——迁移创新16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．解：如图，设⊙O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的中心角为＝π，∴＝，∴sin∠BVO＝，∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝.连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，∴OE∥VA.∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝，∴∠VEO＝，即VE⊥OE.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，∴CD⊥平面VAB.∵VE⊂平面VAB，∴VE⊥CD.又∵OE∩CD＝O，OE，CD⊂平面CDE，∴VE⊥平面CDE.∴∠VOE是截面与轴线的夹角，∴截面的轴线夹角大小为.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．