2024届上海交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．抛物线的准线方程是 ．
【答案】
【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填
2．复数的虚部是
【答案】/0.96
【分析】根据复数除法法则化简即得结果.
【详解】因为，所以虚部为.
故答案为：
3．已知全集，集合，集合，那么 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质求出集合，根据求函数值域的方法求出集合，然后利用集合的运算即可求解.
【详解】由题意知：集合，
集合，所以，
则，
故答案为：.
4．方程的解为 .
【答案】2.
【解析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.
【详解】方程等价于，
所以，解得.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为 ．
【答案】
【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.
【详解】长方体外接球的直径为，
所以外接球半径为，
所以球的体积为.
故答案为：
6．已知，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】求解对数不等式和根式不等式，即可求得参数的范围.
【详解】，即，解得；
，即，
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
综上所述，.
故答案为：.
7．若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式展开式的通项公式是，
令；令（舍去）
所以.
故答案为：
8．新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 种不同安排方法．（用数字作答）
【答案】
【分析】先计算出没有限制条件下所有的排法种数，减去甲、乙两人安排在同一个路口时的排法种数，进而得解.
【详解】先考虑没有限制条件下的排法种数，将人分为三组，三组的人数分别为、、或、、，此时，所有的排法种数为.
其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有种排法.
综上所述，共有种.
故答案为：.
【点睛】本题考查人员安排问题，采用正难则反的思想求解，考查计算能力，属于中等题.
9．在△ABC中，已知BC=2，，则△ABC面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】先由得到，再由面积公式得到4S2=AB2AC2sin2A，
相加得到1+4S2=AB2AC2，再借助求出ACAB的最大值，即可求解.
【详解】由可得，平方得①，
又∵△ABC的面积S=|AB||AC|sinA，∴4S2=AB2AC2sin2A②，
①+②得：1+4S2=AB2AC2(cs2A+sin2A)，即1+4S2=AB2AC2，
又由得BC2=AC2+AB2－ =AC2+AB2－2，∵BC=2，
∴AC2+AB2=6，由不等式：AC2+AB2≥2AC•AB 当且仅当AC=AB时，取等号，
∴6≥2ACAB，即ACAB≤3，∴1+4S2=AB2AC2≤9，∴4S2≤8，即：S2≤2，
故面积的最大值是.
故答案为：.
10．已知双曲线的左、右顶点分别为和，是上一点，等腰三角形的外接圆面积为，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】设M在双曲线右支上，由题意可得M的坐标，代入双曲线方程可得a,b等量关系，再由离心率公式即可得到所求值．
【详解】设M在双曲线的右支上
∵外接圆面积为3πa2，∴3πa2＝πR2，⇒R＝a．
MB＝AB＝2a，设∠MAB＝θ，∠MBx=
∴=2R＝2a，⇒sinθ＝，csθ＝,
sin2θ=2 sinθcsθ=, cs2θ=1-2,
则M的坐标为（x，y），
x=a+MB,y=MB,
所以M(,将点M代入双曲线方程可得，可得=2，
即有e＝．
故答案为．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的知识，求得M的坐标是解题的关键．
11．已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 .
【答案】
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.
【详解】当时，，即，；
当时，，函数周期为2，
画出函数图象，如图所示：
与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，故，
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
12．对于函数和，设，，若存在m，n，使得，则称和互为“零点关联函数”，若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的最小值是 ．
【答案】
【分析】首先根据函数为单调递增函数，，得仅有唯一零点，结合“零点关联函数”的定义得出函数的一个零点为，则有，即，构造函数用导数解决问题.
【详解】由函数为单调递增函数，，得仅有唯一零点，
设函数的一个零点为，则有，即，
所以由题知，在有零点，即方程在有解,
构造函数，，
，，在单调递减，，
所以，，单调递增，且，,
要使方程在有解，则，所以实数的最小值是-2.
故答案为：-2．
二、单选题
13．已知直线平面，则“直线”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．
【详解】若直线平面， ，则直线平面或；
若直线平面，直线，则，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
14．某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）
A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95
D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
【答案】C
【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差的定义即可判断D.
【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；
讲座前的答卷得分主要分布在之间，而讲座后主要分布在之间，
则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；
讲座后答卷得分依次为，
因为，所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数，为，故C错误；
讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，
所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.
故选：C.
15．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】A
【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数为偶函数，则，
即，可得，
整理得，故，解得，
∴.
若正实数a、b满足，即，可得，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
故选：A.
16．已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
三、解答题
17．如图，正方体的棱长为2，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与底面所成的锐二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明即可得证；
（2）求出两个平面的法向量，根据法向量所成角即可求得该二面角的大小.
【详解】（1）正方体中，以A为原点，以AB， AD， AA1为x轴，y轴，z轴正方向 建立空间直角坐标系如图所示：
所以，
，所以
所以；
（2）由题可得：
底面，取为底面的法向量，设平面的法向量为，，取，所以取
，
所以平面与底面所成的锐二面角的大小为.
【点睛】此题考查线线垂直的证明和求解二面角的大小，通过建立空间直角坐标系利用向量求解，方法简便易行，需要注意防止计算出错.
18．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
【详解】（1）
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
（2），，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
19．某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
【答案】(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为元
(3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
【分析】（1）根据题意得到时，，进而得到数列的通项公式；
（2）由时，，结合基本不等式，即可求解；
（3）由时，，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意得，当时，，
当时，，
所以
（2）解：由，当时，，
当且仅当，上式的等号成立，即，解得，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为元．
（3）解：当时，
，
当且仅当且，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
20．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)是，定值；
(3)；
【分析】（1）根据题意，直接列式计算可得答案；
（2）直线与双曲线联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值；
（3）根据题意，利用韦达定理得出的范围，然后根据，可得，进而可得取值范围.
【详解】（1）由题意可设双曲线：，
则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，直线AB的方程为，
由，消元得.
则，，且，
∴
；
或由韦达定理可得，即，
∴
，
即与的比值为定值.

（3）思路一：设直线AM：，代入双曲线方程并整理得：
，
由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，
由韦达定理得：，解得.
因为点A在双曲线的右支上，所以，
解得，即，
同理可得，
由（2）中结论可知，
得，所以，
故，
设，其图象对称轴为，
则在，上单调递减，
故，
故的取值范围为.
思路二：由于双曲线的渐近线方程为，
如图，过点M作两渐近线的平行线与，

由于点A在双曲线的右支上，
所以直线AM介于直线与之间（含x轴，不含直线与），
所以，
同理，过点N作两渐近线的平行线与，

由于点B在双曲线的右支上，
所以直线BN介于直线与之间（不含x轴，不含直线与），
所以.
由（2）中结论可知，
得，所以，
故.
21．已知函数.
(1)若在上周期为，求的值；
(2)当时，判断函数在上零点的个数：
(3)已知在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)一个零点
(3)
【分析】（1）利用恒成立，得到在上恒成立，即可求值；
（2）对函数求导，讨论、，根据导数符号判断单调性，结合零点存在性定理研究零点的个数；
（3）将问题化为在上恒成立，构造函数，讨论参数并研究其单调性，进而分区间判断是否恒成立求参数范围.
【详解】（1）由题意，在上，
所以，
即在上恒成立，
又，故.
（2）当时，则，
当时，所以，即在上单调递增.
又，所以在上有且仅有一个零点；
当时，所以在上无零点.
综上，在上有且仅有一个零点.
（3）由，即，整理得，
令，则，
当时，对任意有，又，
所以，此时在上单调递增，故，符合题意.
当时，令，则，
所以，在上恒成立，即在上单调递增.
又.
当，即时，在上有，此时在上单调递增，，符合题意.
当，即时，若，即，
由零点存在定理，存在使，故上，
所以在上递减，此时，不合题意.
若，即，此时对恒有且不恒为0.
即在上单调递减，所以，不合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问，问题转化为在上恒成立，构造中间函数研究函数符号.