2023届山东省潍坊第一中学高三上学期期中考试模拟数学试题含解析

这是一份2023届山东省潍坊第一中学高三上学期期中考试模拟数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2023届山东省潍坊第一中学高三上学期期中考试模拟数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：由，即，解得或，所以或，所以，又，所以；故选：D2．“”是“”的（    ）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】判断两个命题：和的真假即可得．【详解】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，，故必要性成立.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题和的真假．3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值.【详解】因为随机变量服从正态分布，则，所以，.故选：B.4．函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先分析的奇偶性，然后根据的取值正负即可判断出符合的图象.【详解】因为，所以定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，排除A、B，又因为当时，，排除C.故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，所以共（种）选派方案，故选：A.6．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选：C．7．设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使得成立的取值范围是（    ）A．  B． C． D． 【答案】D【分析】根据题意构造函数，由求导公式和法则求出，结合条件判断出的符号，即可得到函数的单调区间，根据奇函数判断出是偶函数，由求出，结合函数的单调性、奇偶性，再转化，由单调性求出不等式成立时的取值范围．【详解】由题意设，则当时，有，当时，，函数在上为增函数，函数是奇函数，，函数为定义域上的偶函数，在上递减，由得，，不等式，或，即有或，使得成立的的取值范围是：，，，故选：D8．已知数列和首项均为1，且，，数列的前n项和为，且满足，则（    ）A．2019 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用条件得到，进而得到，代入，利用与的关系推得是等差数列，进而求出，代入即可求得结果.【详解】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，数列是首项为1，公差为2的等差数列，，故，.故选：D. 二、多选题9．若，，，则事件与的关系错误是（       ）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立【答案】ABD【分析】计算得出，由此可得出结论.【详解】由题意可得，因为，，所以，，故事件与相互独立.故选：ABD.10．已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（    ）A． B．展开式中所有项的系数和为1C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项【答案】AD【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.【详解】由题意，则，，A正确； ，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为 ，C错误；，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；故选：AD.11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（    ）A．的最小正周期为B．向右平移个单位后得到的新函数是偶函数C．若方程在上共有4个根，则这4个根的和为D．图象上的动点到直线的距离最小时，的横坐标为.【答案】ACD【分析】由函数图象以及函数解析式，建立方程组，求得的值，根据三角函数的最小正周期的公式，可得A的答案；利用函数图象平移变换，写出平移后的函数解析式，根据三角恒等变换进行整理，可得B的答案；首先设出4个根，根据三角函数的对称性，可得C的答案；直观想象直线平移到最早与三角函数有公共点时的位置，即切线位置，利用导数求切点，可得D的答案.【详解】因为经过点，所以，又在的单调递减区间内，所以①，又因为经过点，所以，，又是在时最小的解，所以②.联立①②，可得，解得，代入①，可得，又，所以，则.故的最小正周期，则A正确；向右平移个单位后得到的新函数是，则为奇函数，故B错误；设在上的个根从大到小依次为，令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得，所以，故C正确；作与直线平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与直线存在最小距离，也是点到直线的最小距离，令，则，解得或，又，所以或或（舍去），又，令，，，则由，可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，故D正确.故选：ACD.12．若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（    ）A．可以取到3 B．C．当时，的取值范围是 D．当时，存在唯一的值【答案】ABD【分析】设切线的切点为，，利用导数的几何意义及题设条件可得，令，再利用导数研究函数的单调性，作出其草图，再逐项判断即可．【详解】解： 设切线的切点为，，则切线的斜率为，又，则切线的方程为，，则，令，则，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，，作出函数的草图如下，对于A，由于，，故，由图象可知，或2或3，即，故A正确；对于B，因为与不能同时取得，故，即，故B正确；对于C，当时，即的值有一个，由图象可知，当或时，的值唯一，此时，故C错误；对于D，当时，即的值有两个，由图象可知，当且仅当时，的值有两个，即当时，存在唯一的值，故D正确.故选：ABD．【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线方程及零点问题，考查转化思想及数形结合思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，考查了数形结合思想，属于较难题目． 三、填空题13．已知，则________．【答案】【分析】先用诱导公式求出，再用万能公式求出和，再用正弦的和角公式进行求解【详解】因为，由诱导公式得：所以．，．故答案为：14．已知函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】画出图象，换元后得到方程在和内各有一个实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.【详解】解：作出函数的图象如图，函数恰好有五个零点，即方程恰好有五个不同的实数解，令，则当，方程有个不同的实数解，则方程可化为，使关于的方程恰好有五个不同的实数解，则方程有个的实数根，，且、，所以方程在内有个的实数根，有个实数根，令，所以，即，解得，所以实数的取值范围为；故答案为：15．对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.【答案】1632【分析】由得解出q，即可得通项公式，再由可解出d，可得通项公式，根据定义，找出数列和前面相同的项，进而确定前30项，即可求和.【详解】为正项等比数列，则，解得或（舍），∴；为等差数列，则，∴，∴.由，可得当时，，故数列的前30项包含数列前33项除去数列第2、4、6项，.故答案为：1632 四、解答题16．函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在上的值域.【答案】(1)，(2) 【分析】（2）由已知，根据题意，对原函数化简，得到函数，，然后根据余弦函数单调区间，解不等式，即可完成求解；（2）由已知，可令，根据x的范围，求解出t的范围，先求解出，然后再求解函数的值域.【详解】（1），，，；∴的单调增区间为，；（2）因为，令，所以，∴，所以，∴.17．已知等比数列的公比，满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）法一：利用等比数列的通项公式和前项和公式的定义得到关于基本量的方程组，解之即可求得；法二：利用等比数列的性质和前项和公式的定义依次转化得到关于的方程组，解之即可求得；（2）法二：分类讨论的通项公式，注意当为偶数时，为奇数，从而利用分组求和法可求得.【详解】（1）法一：因为是公比的等比数列，所以由，得，即，两式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因为是公比的等比数列，所以由得，即，则，故，解得或（舍去），故，则，所以.（2）当为奇数时，，当为偶数时，，所以.18．在①；②的面积；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．问题：在中，它的内角，，所对的边分别为，，，为锐角，，______．(1)求的最小值；(2)若为上一点，且满足，判断的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)任选①②③，结果都是3(2)直角三角形 【分析】（1）选①，用正弦定理求得，选②，由三角形面积公式求得，选③，由余弦定理求得，然后再由余弦定理求，结合基本不等式得最小值；（2）设，在中用正弦定理求得，再在中应用正弦定理可得的关系式，从而求得，再得，可判断三角形形状．【详解】（1）选①，，由正弦定理得，又是三角形内角，，所以，而为锐角，所以，，当且仅当时等号成立，所以．选②，，所以，是锐角，所以，，当且仅当时等号成立，所以．选③，，由余弦定理，是锐角，所以．，当且仅当时等号成立，所以．（2）设，则，，，中，，，，中，，，，，，，所以，从而，是直角三角形． 投入x（千万元）578101113收益y（千万元）111516222531 (1)若与之间线性相关，求关于的线性回归方程.并估计若投入千万元，收益大约为多少千万元？（精确到）(2)现家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为的去甲城市，掷出正面向上的点数为的去乙城市.求：①公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.（用最简分数作答）参考数据及公式：，【答案】(1)；35.12亿元(2)①；② 【分析】（1）根据公式分别求出，即可求出关于的线性回归方程，将当代入即可得出答案.（2）①由古典概率的计算公式代入即可得出答案；②6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数，则去甲城市的人数为0，1，2，分别求出其概率，即可得出答案.【详解】（1）（1）          ，则 当，则所以当投入15千万元，收益大约为35.12亿元.（2）① 设“某位代表去甲城市参加活动”为事件，则，所以公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为，                ② 设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件，.20．已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由导数法求切线斜率，由点斜式即可写出切线；（2）法一：令，对、分类讨论，由二次导数法研究单调性及最值，进而研究恒成立问题；法二： 对、分类讨论，由参变分离法得，进而用导数法及洛必达法则研究的最大值【详解】（1），所以切线的斜率，又，所以切线过点，所以切线方程为.（2）方法一：令，则，，，.因为，所以，在单调递减，当时，对，，所以在上单调递减，所以对，.当时，因为在单调递减，，当时，.故，使，且时，，单调递增，所以，与，矛盾. 所以实数b的取值范围是.方法二：，当时，原不等式恒成立，当时，原不等式等价于，令，则，令，，因为，所以，所以，所以在区间上单调递减，即，所以，即在区间上单调递减.由洛必达法则，所以，所以实数b的取值范围是.【点睛】含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决. 一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求出函数的定义域，求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）令，，利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，结合函数的图象可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：，设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以，，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于换元，将问题转化为，通过求出的取值范围，结合函数的图象得出关于实数的不等式进行求解. 五、双空题22．在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则满足的方程关系为__________；的是小值为_______.【答案】     a＋c＝ac     9【分析】空1：根据面积关系，结合三角形面积公式化简整理即可；空2：由可得，利用“乘1法”结合基本不等式运算求解.【详解】空1：∵，则即，整理得空2：∵，则，当且仅当时等号成立∴的是小值为9故答案为：；9.【点睛】利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.