2022-2023学年山东省潍坊市高一上学期期中考试数学试题含解析

 2022-2023学年山东省潍坊市高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，， 则（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】应用集合的交补运算求集合.

【详解】由题设，，

所以.

故选：C

2．已知命题p：“，有成立”，则命题p的否定为（    ）

A．，有成立 B．，有成立

C．，有成立 D．，有成立

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结果.

【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p：“，有成立”的否定是“，有成立”，

故选：B

3．已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】利用根与系数关系及，根据已知等量关系即可求值.

【详解】由题设，

又，

所以，可得.

故选：A

4．的图象大致是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出的分段形式，判断各区间的单调性及其最值，即可确定图象.

【详解】由题设，故上递减，上递增，且最小值，

根据各选项图象知：B符合要求.

故选：B

5．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质和基本不等式结合已知条件分析判断.

【详解】因为，所以，，

所以，，

因为，当且仅当时取等号，

综上，，

故选：D

6．某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案，其中 ，则两次提价后价格最高的方案为（     ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断

【答案】C

【分析】甲：经两次提价后变为：；乙：经两次提价后变为：；丙：经两次提价后变为：．通过作差比较即可得出结论．

【详解】设商品原价为1，

甲：经两次提价后变为：；

乙：经两次提价后变为：；

丙：经两次提价后变为：．

因为，

所以

，

则，

经两次提价后，甲乙相同，只有丙方案两次提价后价格最高．

故选：C.

7．，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得，根据高斯函数知，即可求范围.

【详解】由，故，

所以，则，故.

故选：A

8．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知区间单调性及偶函数的对称性知在上递增，根据单调性比较的大小关系.

【详解】由为偶函数且在内单调递减，

所以在上递增，

由，而，

因为，故，

所以.

故选：B

二、多选题

9．下列四个命题中正确的是（     ）

A．若则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】根据不等式的性质或是做差法，直接判断选项.

【详解】A.由条件可知，，，所以，故A正确；

B.因为，所以，所以，故B正确；

C.，因为，所以，但是不确定的正负，所以不能判断的正负，所以C错误；

D.因为，所以，所以，故D错误.

故选：AB

10．下列函数组中表示同一函数的有（     ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据同一函数的定义域、对应法则相同，结合各项解析式判断是否为同一函数.

【详解】A：函数定义域均为R，且与对应法则相同，同一函数；

B：函数定义域均为R，而，对应法则不同，不同函数；

C：函数定义域均为R，且对应法则相同，同一函数；

D：函数定义域均为R，且对应法则相同，同一函数.

故选：ACD

11．图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（     ）

A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元

B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡

C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价

D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用

【答案】ABD

【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.

【详解】A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；

B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；

C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；

D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.

故选：ABD

12．已知，，则的值可能为（     ）

A．6 B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由基本不等式“1”的妙用求解，

【详解】由题意得原式

，当且仅当时等号成立，

而，故A错误，

，，，B，C，D满足题意，

故选：BCD

三、填空题

13．已知，则实数_______.

【答案】

【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值.

【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除；

若，则，可得或（舍），

所以，此时.

故答案为：

14．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________.

【答案】

【分析】解不等式得到，由“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】，

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，

故，解得：，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

15．已知函数，且，则________________.

【答案】

【分析】构造并证明其为奇函数，应用奇函数性质求即可.

【详解】由，令且定义域为，

，

所以为奇函数，故，

则.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数满足对任意，都有，且.在用二分法寻求零点的过程中，依次确定了零点所在区间依次为，，则 ______；若的近似值小于0.001（精确度）时，一共至少需要进行______次区间中点函数值的计算.

【答案】     4;     12.

【分析】结合二分法得到，解方程组即可求出结果；设需要进行次区间中点函数值的计算，则，进而可求出结果.

【详解】由题意得，解得，所以，

设需要进行次区间中点函数值的计算，

则，解得，

所以一共至少需要进行12次区间中点函数值的计算.

故答案为：4；12.

五、解答题

17．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x－1|≤1的解集为Q．

(1)若a＝3，求P；

(2)若Q⊆P，求正数a的取值范围．

【答案】(1){x|－1＜x＜3}

(2)(2，＋∞)

【分析】（1）将a＝3代入，转化为一元二次不等式求解即可；

（2）先求出不等式的解集Q，再由Q⊆P求出a的取值范围．

【详解】（1）由，得，解得－1＜x＜3，则P＝{x|－1＜x＜3}．

（2）Q＝{x||x－1|≤1}＝{x|－1≤x－1≤1}＝{x|0≤x≤2}．

由，得，

由a＞0，得P＝{x|－1＜x＜a}，

又Q⊆P，所以a＞2，即a的取值范围是(2，＋∞)．

18．已知函数，.

(1)求，，的值；

(2)若，求实数a的值.

【答案】(1)，，

(2)或

【分析】（1），代入直接计算，然后先求出再计算；

（2）按分段函数定义分类讨论解方程．

【详解】（1）由题可得，

，

因为，

所以；

（2）①当时，，

解得，不合题意，舍去；

②当时，，即，

解得或，

因为，，所以符合题意；

③当时， ，

解得，符合题意；

综合①②③知，当时，或．

19．已知点在函数的图象上

(1)求函数的解析式并用定义法证明在区间(0,1)上的单调性；

(2)判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域.

【答案】(1)，在(0,1)上的单调递减，证明见解析；

(2)为奇函数，在上值域为.

【分析】（1）将点坐标代入求参数k，令应用作差法判断的大小判断单调性；

（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性，再结合奇函数、单调性求区间值域.

【详解】（1）由题设，，可得，故，

令，则，

又，，，，

所以，故，

则在区间(0,1)上的单调递减.

（2）由题设，定义域为，关于原点对称，

，故为奇函数，

由（1）知：在(0,1)上的单调递减，又为奇函数，

所以在上递减，即上递减，且，，

故在区间上的值域为.

20．已知函数有两个不同的零点．

(1)求实数m的取值范围；

(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：

由，解得.

据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？

如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)甲同学解答不完整，满足题意的.

【分析】（1）根据二次函数的性质，结合零点个数列不等式组求m范围；

（2）由恰有一个在区间内有且不同时为0，求m的范围.

【详解】（1）由题设，，可得.

（2）甲同学解答不完整，补充如下：

由恰有一个在区间内，

所以（不能同时为0），

解得，经检验或满足题意，

所以.

21．某地2019年引进并种植了一种新型水果，据了解， 该水果每斤的售价为25元，年销售量为8万斤.

(1)经过市场调查分析，价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万斤， 若每斤定价为t元（），求每年的销售总收入的解析式;

(2)在（1）的条件下，要使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入，该水果每斤定价最高应为多少元?

(3)该地为提高年销售量，决定2022年末对该水果品质进行改良，改良后将定价提高到每斤元，拟投入万元作为改良费用.请预测改良后，当该水果2023年的销售量至少应达到多少万斤，才可能使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和?并求出此时水果的单价.

【答案】(1)，；

(2)每斤定价最高应为40元；

(3)至少应达到万斤使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和，此时水果的单价元.

【分析】（1）根据题意写出，注意定义域，即可得解析式；

（2）由题设，解不等式求t范围，即可得最大值.

（3）由题意得在时恒成立，利用基本不等式求最值，注意取值条件，即可得结果.

【详解】（1）由题意，

又且，即，

所以每年的销售总收入且.

（2）由题意，且，

所以，可得，

所以该水果每斤定价最高应为40元.

（3）由题意时，，

所以，而，当且仅当时等号成立，

所以，

故销售量至少应达到万斤，才可能使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和，此时水果的单价元.

22．对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即

(1)设函数，求A和B；

(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；

(3)若，且，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果；

（2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证.

（3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围.

【详解】（1）令，可得，故；

令，可得，故.

（2），证明如下：

由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标，

若与有交点，则横纵坐标相等，则，

所以.

（3）由，则：

令，即有实根，

当时，，符合题设；

当时，，可得.

令，即有实根，

所以，

因为，则无实根，或有与相同的实根，

当无实根，有且，可得且；

当有实根，此时，即，

所以，则，代入得：，可得.

综上，.

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同.