2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题含解析

2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解.

【详解】由题意可知，又，

所以．

故选：D．

2．有四个关于三角函数的命题：

：xR， + =           ： x，yR，

： +2kπ (kZ)    ： x，

其中真命题的是  （    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】，，从而可判断正误；

：存在，使成立；

：举出反例，，从而可判断正误；

：利用降幂公式可知，从而可知正误；

【详解】，，故错误；

：存在，使，故正确；

：当，时，，此时，故错误；

，，，故正确．

故选：．

3．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，把不等式有解，转化为，即可求得实数的取值范围.

【详解】由题意，正实数满足，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为，

又由不等式有解，可得，即，

解得或，即实数的取值范围为.

故选：C.

4．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ）

A．1倍 B．10倍

C．100倍 D．1 000倍

【答案】B

【分析】利用对数运算即可求解.

【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，

根据题意得＝，解得，，解得，所以

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.

故选: B.

5．已知，则函数的图像不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.

【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.

故选：A

6．已知函数，下列说法正确的有（    ）

①函数最小正周期为；

②定义域为

③图象的所有对称中心为；

④函数的单调递增区间为．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.

【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；

对②，令，解得，

即函数的定义域为，所以②错误；

对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；

对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；

故①③④正确；

故选：C

7．若实数，，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.

【详解】因为实数，，满足，，，

所以，

∴；

又，

∴；

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型.

8．的定义域为，且，，则（    ）

A．3 B．2 C．0 D．1

【答案】C

【分析】令，则，由此可推出，则的周期为6，然后利用赋值法求出的值，可求出一个周期上的6个函数值的和，从而可求出

【详解】令，则，即，

所以，，

所以，

所以，

所以的周期为6，

令，则，得，

因为，

所以，

，

，

，

，

所以，

所以

故选：C

二、多选题

9．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ）

A．2 B．-1 C．0 D．1

【答案】BC

【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.

【详解】解：当时，，

所以当时，，

若，则，

所以此时，即存在最小值，

若，则当时，，无最小值，

若，则当时，为减函数，

则要使存在最小值时，

则，解得，

综上或.

故选：BC.

10．函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数解析式为

B．函数的单调增区间为

C．函数的图象关于点对称

D．为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度

【答案】AB

【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.

【详解】对于A，由图可知，，又因为

由，则，

两式相减得：

，所以①，

又因为，

所以，结合①，，

因为，所以

所以，故A正确；

对于B，，

解得：，故B正确；

对于C，令，解得：，

函数的图象关于点对称，所以C不正确；

对于D，将函数向右平移个单位得到，故D不正确.

故选：AB.

11．已知数列满足为数列的前项和，则（    ）

A．是等比数列

B．是等比数列

C．

D．中存在不相等的三项构成等差数列

【答案】BC

【分析】根据给定条件，求出数列的通项表达式，再逐项分析计算、判断作答.

【详解】数列中，，，则，，

因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，

数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；

因，，则数列不是等比数列，A不正确；

，C正确；

假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，

则有，而，即，又，因此，不成立，

所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.

故选：BC

12．已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABCD

【分析】函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，则有，．，直接变形判断AB，利用基本不等式判断C，由零点存在定理判断，构造函数，确定单调性，再计算函数值，利用单调性判断D．

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，

因此已知，．

又，，即，

因而A、B均正确．

又，当且仅当即时等号成立，

但，

因而，上式等号不成立，

所以．C正确．

记，，

因此

而函数在区间范围内单调递增，

所以，所以D正确．

故选：ABCD．

三、填空题

13．在正项等比数列中，已知，则________．

【答案】

【分析】利用等比数列中项的性质结合对数的运算性质可求得结果.

【详解】由等比中项的性质可得，则，

因此，.

故答案为：.

14．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．

【答案】2

【分析】由题意设（），则，再由、、三点共线，则，而，从而可得当为中点时最小，此时最大，进而可求得答案

【详解】∵线段与线段交于点，设（），

则，即，

又∵、、三点共线，则，即，

∵，

∴当为中点时最小，此时最大，

又，故此时，

∴，即，即的最大值为，

故答案为：2．

15．已知函数在内是减函数，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用正切函数的单调性得到且，解不等式,可求得答案．

【详解】函数在内是减函数，

，函数，

且，

，又，

．

故答案为：

16．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将

整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.

【详解】由题意得，即或，

的图象如图所示，

关于的方程有5个不同的实数根，

则或，解得，

故答案为：

四、解答题

17．已知平面向量，且，

(1)若，且，求向量的坐标；

(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；

（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.

【详解】(1)解：设，，

，又，

，

或，

或.

(2)解：，，设与的夹角为.

故，

在上的投影向量为.

18．已知是等差数列前项和，.

(1)求的通项公式；

(2)在中，去掉以为首项，以为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为，求前100项和

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式；

（2）设以为首项，以为公比的数列为前项和为.利用

即可求解.

【详解】(1)（1）设数列的公差为d.

，,

解得: .

所以，，即.

(2)设以为首项，以为公比的数列为前项和为.由（1）知，

所以

19．在中，内角的对边分别为.已知.

(1)求；

(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理化简求得=，设a2=12k（k>0），则b2=7k，利用余弦定理求得c2=25k，然后利用余弦定理即可求解.（2）利用三角形面积公式求得ac=10，然后利用余弦定理即可求解.

【详解】(1)因为，所以==.

设a2=12k（k>0），则b2=7k，由cosC=-，

得==-，解得c2=25k，

所以cosB===

0<B<π，所以B=.

(2)因为△ABC的面积S=acsinB=ac=，所以ac=10.

又=，所以a=2，c=5.

由（1）知=，所以b=，CD=.

所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC=，故BD=.

20．设函数，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为，且为偶函数.

(1)求和的值；

(2)已知角，，为的三个内角，若，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意求得，得到，再结合为偶函数，即可求得的值；

（2）由题意结合三角恒等变换的公式，化简得到，求得，得到，

由（1）知，化简，结合三角函数的图象与性质，即可看求解.

【详解】(1)解：因为的图象上相邻两个最高点间的距离为，

可得，解得，所以，

又因为为偶函数，可得，，

因为，所以.

(2)解：因为，

可得，所以，

又因为，且，所以，所以，

因为，所以，则，即，

由（1）知，函数，

所以

，

因为，可得，所以，

则，即的取值范围为.

21．设为实数，函数，.

(1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；

(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用导数求得函数的单调区间和极值，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围；

（2）先求得在上的最小值，和在上的最小值，再依据题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围

【详解】(1)，

由，解得或；由解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

若函数与轴有三个不同交点，则，解得，

所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；

(2)对于，，都有，则，

由（1）知函数在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，又，，

故当时，

因为，且，则，

故函数在上单调递减，故，

由题意可得，故.

所以实数的取值范围为.

22．设函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求导，再分，和三种情况讨论，再根据导函数的符号即可得出答案；

（2）由（1）知：当时，在上单调递减，从而有，则有，再令，再利用放缩法及裂项相消法即可得证.

【详解】(1)解：的定义域为，，

令，

当时，恒成立，即恒成立，

故在上单调递增，

当时，有二正根，，，

当，，

在和上单调递减，

当，，在上单调递增，

当时，恒成立，即恒成立，

故在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

(2)证明：由（1）知：当时，在上单调递减，

所以，

所以，当且仅当时取等号，令，

则，

所以

，

所以.

【点睛】本题考查了利用导数求含参函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想及放缩思想，有一定的难度.