人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质背景图课件ppt

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2.2.1　不等式及其性质
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　用作差法证明不等式探究点二　用综合法证明不等式探究点三　用反证法证明不等式探究点四　用分析法证明不等式
第2课时　不等式的证明方法
1.能灵活选用综合法、分析法证明简单不等式问题.2.掌握反证法证明问题的一般步骤,能用反证法证明一些简单的命题.
知识点　证明不等式的方法
1.作差法通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法.2.综合法从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
3.反证法首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.4.分析法从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立.分析法又叫逆推证法或执果索因法.
探究点一　用作差法证明不等式
变式 已知a>0,b>0,若ab=2,求证:(a+b)2≥4(a-b+1).
证明:因为(a+b)2-4(a-b+1)=(a-b)2+4ab-4(a-b)-4=(a-b)2-4(a-b)+4=(a-b-2)2≥0,所以(a+b)2≥4(a-b+1).
[素养小结]作差法证明不等式的步骤:①作差:对要证明的两个代数式作差;②变形:对差进行因式分解、配方、通分等变形为一个常数、几个平方和或者几个因式的积(或商);③判号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号;④得结论:注意等号是否能取到.
例2 已知x,y是实数,求证:x2+y2≥2x+2y-2.
探究点二　用综合法证明不等式
证明:由x2-2x+1=(x-1)2≥0,可得x2≥2x-1.由y2-2y+1=(y-1)2≥0,可得y2≥2y-1,所以x2+y2≥2x+2y-2.
[素养小结]综合法证明不等式,重点是揭示出条件和结论之间的因果联系,因此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式是证明的关键.
例3 若a3+b3=2,求证:a+b≤2.
探究点三　用反证法证明不等式
变式 用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a2-2b+1,y=b2-2c+1,z=c2-2a+1,则x,y,z中至少有一个不小于0.
证明:假设x,y,z均小于0,即x=a2-2b+1