专题07 切比雪夫函数（学生版+教师版）

专题7 切比雪夫函数

一、考情分析

纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。最后就是不了了之。然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。

二、考点梳理

1.切比雪夫不等式

①马尔科夫不等式：；

②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：.

2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义

马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能正确，也有可能不正确。但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。发生的概率是最大。但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。

三、题型突破

（一）切比雪夫函数的巧解

例1.已知函数，若时，，则的最大值是           ．

【传统解法】

【切比雪夫不等式解法】

【解析】根据切比雪夫不等式：，若时，

对称轴为压轴，所以，，

当，,故此次

的最大值

【变式训练1-1】已知函数，若时，恒成立，则=        

【切比雪夫不等式解法】

【解析】根据切比雪夫不等式：若时，恒成立，也就是对称轴应该是；

，解之得：，,故此；

故此,所以.

.

（二）其他类型函数的

例2．（1）、【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，

则实数的最大值是___________.

【答案】

【解析】存在，使得，即有，

化为，可得，

即，由，可得.

则实数的最大值是.

【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.

（2）、（2020·浙江杭州市·高一期末）若对任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____.

【答案】

【分析】

将不等式转化为恒成立，结合函数单调性转化求解.

【详解】

对任意，当时，不等式恒成立，

即恒成立，

，当时，单调递增，

，

只需对恒成立，

且，

解得.

故答案为：

【点睛】

此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合恒成立求解参数.

【变式训练2-1】（2019·新源县第二中学高二期末（文））对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】

由绝对值三角不等式可得，.

故选：B.

【变式训2-2】、（2021·浙江绍兴·高二期末）存在，使时恒有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意令，则上恒成立，上恒成立，讨论、、，上述两区间内的绝对值不等式是否同时成立，即可求参数的范围.

【详解】

令，

∴在上恒有，在上恒有，

∴上恒成立，上恒成立，

∴令，即时，；上；

∴当时，上，上，此时；

当时，上，上，此时；

当时，上，

在上，有：

①时，；

②时，，

当.

此时，不能在和上同时成立.

综上，有.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：由题意易得上恒成立，上恒成立，令，讨论参数a，并确认在和上绝对值不等式是否可以同时成立，求参数范围.

四、迁移应用

一、单选题

1．函数的单调减区间为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】函数，

则或，

故函数的定义域为或，

由是单调递增函数，可知函数的单调减区间即的单调减区间，

当时，函数单调递减，

结合的定义域，可得函数的单调减区间为.故选A.

【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间.

2．已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】函数的图象如图：

若函数存在零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．故选D．

【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力．

3.   已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为对，满足，所以当时，是单调递减函数，又因为为偶函数，所以关于直线对称，所以函数当时，是单调递增函数，又因为，所以有，

当，即当时，

；

当，即当时，

，

综上所述：不等式的解集为.故选A．

【名师点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想.

对于来说，设定义域为，，，

若，则是上的增函数；

若，则是上的减函数.

4．已知函数，，设为实数，若存在实数，使得

成立，则的取值范围为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为，

所以当时，单调递增，故；

当时，，

当且仅当，即时，取等号，

综上可得，.

又因为存在实数，使得成立，

所以只需，即，

解得.

故选A.

5．（2020·红桥·天津三中高三月考）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】

解绝对值不等式、一元二次不等式，然后判断充分、必要条件.

【详解】

或或.

或.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．（2021·宁夏吴忠中学高二月考（文））已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先化简集合A与B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】

∵，，

∴.

故选：A.

7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断．

【详解】

命题“，”为真命题，

，

，时，取得最大值，由是，这是命题为真的充要条件，

因此只有D是必要不充分条件．

故选：D．

8．（2021·沈阳市第十中学高一月考）若，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C．{a|a＞1} D．

【答案】D

【分析】

将已知转化为，，利用函数的单调性求最值即可得解.

【详解】

由于，不等式恒成立

所以，恒成立，即 恒成立

令，显然在 上单调递减，

所以实数a的取值范围是

故选：D

【点睛】

方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

9．（2021·上海高一期中）一元二次不等式的解集是，则的值是（    ）

A．10 B．-10 C．14 D．-14

【答案】D

【分析】

根据题意，由不等式的解集分析可得方程的两根为和，且，由根与系数的关系分析可得，解可得、的值，将其值相加即可得答案．

【详解】

解：根据题意，一元二次不等式的解集是，且，

则方程的两根为和，

则有，

解可得，，

则，

故选：D．

10．（2021·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分析函数的单调性，解出不等式，再根据条件列出不等式即可得解.

【详解】

当时，，则在上递减，当时，，则在上递减，

于是得在上是减函数，因此，不等式等价于，解得，

依题意，存在，使成立，从而得，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：A

11．（2019·浙江学军中学）若关于的不等式无解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先得到当时，满足题意，再当时，根据绝对值三角不等式，得到的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于，从而得到关于的不等式，解得的范围

【详解】

关于的不等式无解，

当时，可得此时不等式无解，

当时，

，

所以要使不等式无解，则，

平方整理后得，

解得，

所以，

综上可得的范围为，

故选C.

【点睛】

本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.

12．（2019·全国高一课时练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.

【详解】

不等式去掉绝对值符号得，

即对任意恒成立，

变量分离得，只需，即

所以a的取值范围是

故选B

二、填空题

13．（2021·北京人大附中高三月考）当时，不等式恒成立，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】

等价于，对分两种情况讨论，结合基本不等式求解.

【详解】

由题得，

当时，恒成立，；

当时，，

因为，所以（当且仅当时等号成立）

所以，

所以.

综上，的取值范围为.

故答案为：

14．（2022·全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______

【答案】

【分析】

问题等价于不等式在区间上有解，设，根据函数的单调性和最值可求得实数的取值范围.

【详解】

解：由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，

设，则函数在上单调递增，所以，

所以实数的取值范围为.

15．（2022·全国高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是______．

【答案】或．

【分析】

根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可．

【详解】

∵的定义域为R，

∴恒成立，

当，即或，

若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件．

若，不等式等价为，恒成立，满足条件．

当时，要使不等式恒成立，

则，

即或，

解得或，

综上可知，实数的取值范围是或．

故答案为：或．

16．（2021·全国）已知函数对任意实数，函数值恒大于零，则实数的取值范围是_______________.

【答案】

【分析】

分类讨论考虑二次项的系数为0和不为0，当二次项的系数为0时，满足题意；当二次项系数不为0时，且，解不等式即可得解.

【详解】

①当时，或.

若，则函数化为，其对任意实数不可能恒大于；

若，则恒成立；

②当时，根据题意得，

综上可知实数的取值范围是.

【点睛】

关键点点睛：本题以函数为载体，考虑恒成立问题，解题的关键是分类讨论及利用二次函数的图像求解，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于一般题.

17．（2021·上海市建平中学高三月考）若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

根据函数解析式得到，进而对分类讨论求出的最小值即可求出结果.

【详解】

解：设，，

易得，，

∴，

∴当时，，

∵对于任意，都存在，使得，

∴，

故的取值范围为.

故答案为：.

18．（2020·上海市实验学校高一期中）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________

【答案】

【分析】

由题可知，利用绝对值不等式的性质可以求出 的最大值，进而可求出实数的取值范围.

【详解】

解：由于不等式对一切实数恒成立，

则大于等于的最大值，即，

，当 时取等号，

则的最大值为7，

所以实数的取值范围是：.

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：本题考查含有两个绝对值的函数的最值及恒成立问题，一般利用绝对值的性质或者几何意义进行求解，在恒成立问题中求参数的范围的常用结论如下：

恒成立 ；

恒成立 .

19．（2020·河南郑州一中（文））若不等式的解集包含，则的取值范围______.

【答案】

【分析】

令，将不等式的解集包含，转化为，在上恒成立求解.

【详解】

设，

因为不等式的解集包含，

所以，在上恒成立，

即，在上恒成立，

所以，

解得，

的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查绝对值函数的性质研究不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.