专题10 导数之分离常数法（学生版+教师版）

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专题10 导数之分离常数法一、考情分析不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分离参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；分离参数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。二、考点梳理1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为 ①，则只需要  ，则只需要②，则只需要  ，则只需要③，则只需要  ，则只需要④，则只需要  ，则只需要（2）若的值域为 ① ，则只需要   ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）② ，则只需要   ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）   ，则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）   ，则只需要x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可. 三、题型突破例1．（1）、（2021·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A．或 B． C．或 D．  （2）、（2021·全国·高二单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．   【变式训练1-1】、（2020·山东·昌乐二中高二月考）已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是______.  【变式训练1-2】、（2020·江西·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.
例2．(1)、（2021·江西·高安中学高二期中（文））不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围为______.   （2）、（2019·吉林·吉化第一高级中学校高二期末（文））已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______.    【变式训练2-1】、（2020·山西·高三月考（理））若在有恒成立，则的取值范围为__________    【变式训练2-2】、（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三月考（文））若关于的不等式在区间（为自然对数的底数）上有实数解，则实数的最大值是（    ）A． B．C． D． 【变式训练2-3】、（2021·北京育才学校高三月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．
例3．（2021·河南许昌·高三月考（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.          【变式训练3-1】、（2021·河南商丘·高三月考（文））已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若时，，求实数的取值范围.
例4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若时恒成立，求实数的取值范围．          【变式训练4-1】、（2021·河南南阳·高二期中）已知，是的导数．（1）求的极值；（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．    
四、迁移应用一、单选题1．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．（2021·天津四十三中高三月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．（2021·辽宁丹东·高三期中）当时，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．4．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（    ）A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）5．（2021·广西·高三月考（文））已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）函数在内存在极值点，则(    )A． B．  C．或 D．或7．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数有且只有一个零点，则k的值为（    ）A． B． C． D．8．（2021·山东·新泰市第一中学高三月考）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（2021·河南·高二期末（理））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．11．（2021·浙江·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．（2020·全国·高三月考（文））函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A． B．C． D．13．（2019·山东济宁·高二期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]14．（2020·山东·高三专题练习）已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（    ）A． B． C． D．15．（2020·湖南株洲·一模（文））已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．16．（2019·河北·三河市第三中学高三月考（理））设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为A． B． C． D．二、填空题17．（2021·天津市天津中学高三月考）若函数在区间有三个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.18．（2021·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.19．（2018·山东·沂水县第一中学一模（文））已知关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．20．（2019·浙江浙江·高三专题练习）当，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．21．（2011·辽宁·高考真题（文））已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．三、解答题22．（2021·河南平顶山·高二期末（文））已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
23．（2021·辽宁铁岭·二模）设函数.（1）若，求；（2）当时，，求的取值范围.          24．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围．
25．（2021·湖北·武汉市新洲区城关高级中学高二开学考试）已知函数，是的导数，记．（1）当时，求的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值．         26．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
27．（2021·辽宁朝阳·二模）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.（1）求的值；（2）求函数的极值；（3）证明:.