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四川省成都外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份四川省成都外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中
数学试卷
一、选择题
1．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1
3．下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知a＞b，下列式子成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B．﹣5+a＞﹣5+b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b2
5．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
6．若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好落在AC边上，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADE B．BC＝DE C．BC∥AE D．AC平分∠BAE
9．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
二、填空题
11．分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
12．当x＝ 时，的值为0．
13．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．
若AC＝8，则BD＝ ．
三、解答题
15．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
16．先化简÷（x﹣），其中x＝2．
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC向左平移4个单位所得的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点B按顺时针旋转90°所得的△A2BC2（点A、C分别对应点A2、C2）；
（3）线段B1C2的长度为 ．
18．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB，AC分别交于点D、G．
求：（1）直接写出∠B与∠C的角度之和．
（2）求∠EAF的度数．
（3）求△AEF的周长．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：
（1）分解因式：x2﹣y2+xz﹣yz．
（2）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图1，函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
四、填空题
21．已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 ．
22．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
23．若关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是 ．
24．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AC＝2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△PMB为直角三角形，则AM的长为 ．
25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为 ．
五、解答题
26．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
27．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
28．已知：如图，∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B．
（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE是等腰直角三角形；
③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变、
在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ．
（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BC＝2+2时，求CD的长．
2021-2022学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式的左边不是多项式，所以不是因式分解，故本选项不合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，（x﹣y）中分母中含有字母，因此是分式．
，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
4．已知a＞b，下列式子成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B．﹣5+a＞﹣5+b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质及取特殊值来验证解题即可．
【解答】解：当a＞b时，若c＝0，则c2＝0，从而ac2＝bc2，故A不符合题意；
当a＞b时，根据不等式的性质3，两边同乘以﹣2，不等号方向改变，故C不符合题意；
当a＞b时，如0＞﹣1，但02＜（﹣1）2，故D不符合题意；
当a＞b时，根据不等式的性质1，两边同时加（﹣5），不等号方向不变，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，明确不等式的性质及采取特殊值验证是解题的关键．
5．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑：若4为腰，则另外一腰也为4，底边就为8，根据4+4＝8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若4为底边，腰长为8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
【解答】解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，
综上三角形的周长为20．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
6．若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件得出答案即可．
【解答】解：（x﹣3）（x+2）
＝x2+2x﹣3x﹣6
＝x2﹣x﹣6，
∵二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+2），
∴m＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好落在AC边上，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADE B．BC＝DE C．BC∥AE D．AC平分∠BAE
【分析】由旋转的性质得出∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∠BAC＝∠CAE，则可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好落在AC边上，
∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∠BAC＝∠CAE，
∴AC平分∠BAE．
结论BC∥AE不一定成立．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
9．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：﹣＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
二、填空题
11．分解因式：5x2﹣5y2＝ 5（x+y）（x﹣y） ．
【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），
故答案为：5（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12．当x＝ 3 时，的值为0．
【分析】直接利用分式的值为零的条件得出x的值进而得出答案．
【解答】解：∵的值为0，
∴|x|﹣3＝0，x+3≠0，
解得：x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 a＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．
【解答】解：根据题意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案为：a＞6．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．
若AC＝8，则BD＝ 4 ．
【分析】根据勾股定理可得AB的长，根据作图过程可知：MN是BC的垂直平分线，连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，进而可得结果．
【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝8，
∴AB＝＝8，
根据作图过程可知：MN是BC的垂直平分线，
连接CD，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠DCA＝∠A＝45°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AD＝AB＝8＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
三、解答题
15．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞﹣24，
∴原不等式组的解集为：﹣24＜x≤4；
（2），
x（x+2）﹣1＝x2﹣4，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x2﹣4≠0，
∴x＝﹣是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，一定要注意解分式方程必须检验．
16．先化简÷（x﹣），其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（x﹣）
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC向左平移4个单位所得的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点B按顺时针旋转90°所得的△A2BC2（点A、C分别对应点A2、C2）；
（3）线段B1C2的长度为 ．
【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
（3）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2BC2即为所求．
（3）线段B1C2的长度为＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形．
18．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB，AC分别交于点D、G．
求：（1）直接写出∠B与∠C的角度之和．
（2）求∠EAF的度数．
（3）求△AEF的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．可得AE＝BE，AF＝GF，继而可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，又由∠BAC＝120°，即可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案；
（3）由AE＝BE，AF＝GF，可得△AEF的周长等于BC的长，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∵FG垂直平分AC，
∴∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝∠B+∠C＝60°，
∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°；
（3）∵BC＝26，
∴BE+FE+FC＝26，
∵EB＝AE，AF＝FC，
∴EA+AF+EF＝26，
∴△AEF的周长为26．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：
（1）分解因式：x2﹣y2+xz﹣yz．
（2）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）前两项先用平方差公式，后两项用提公因式，可得（x﹣y）（x+y）+z（x﹣y），再次利用提公因式法即可得出结果；
（2）把b2+2ab＝c2+2ac进行整理可得：（2a+b+c）（b﹣c）＝0，而2a+b+c≠0，只能是b﹣c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）x2﹣y2+xz﹣yz＝（x﹣y）（x+y）+z（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+z）；
（2）△ABC是等腰三角形，
理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，
（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，即b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是对因式分解的方法的掌握与熟练应用．
20．如图1，函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；
（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，
故点M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②如图，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，
∴P（﹣，），
当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
四、填空题
21．已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 7 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当x＝+5时，
原式＝[（x﹣2）﹣3]2
＝（x﹣5）2
＝（）2
＝7
故答案为：7
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
22．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】先对原不等式组解答，再根据关于x的不等式组无解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞a+1，
解不等式②，得x≤2a，
∵关于x的不等式组无解，
∴a+1≥2a，解得，a≤1，
故答案为：a≤1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．若关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是 m＞﹣3且m≠﹣2 ．
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：＝3
方程两边同乘（x+1），得2x﹣m＝3x+3
解得，x＝﹣m﹣3，
由题意得，﹣m﹣3＜0，﹣m﹣3≠﹣1，
解得，m＞﹣3且m≠﹣2，
故答案为：m＞﹣3且m≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AC＝2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△PMB为直角三角形，则AM的长为 或 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB＝90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠MPB＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当∠CMB＝90°时，由题意可知点P与C重合，
在Rt△ACM中，∵∠A＝45°，AC＝2，
∴AM＝CM＝，
在Rt△BCM中，∵∠B＝30°，CM＝，
∴BM＝CM＝，
∴AB＝AM+BM＝+，
如图2中，当∠MPB＝90°时，
由翻折可知，AM＝PM，
在Rt△PMB中，∵∠B＝30°，
∴BM＝2PM＝2AM，
∴3AM＝AB，
∴AM＝．
综上所述，满足条件的AM的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为 2+ ．
【分析】过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF＝EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝2+．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG＝∠FEH，
又∵EF＝DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS），
∴HF＝EG，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，
∴AE＝4，CE＝2，∠AEH＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE＝1，AP＝AE＝2，
∴EG＝CG＝，
∴HF＝，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝2+，
故答案为：2+．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点F的运动轨迹．
五、解答题
26．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据“购买两种电脑的总费用不超过34万元，且购进乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
根据题意得：＝，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
根据题意得：，
解得：48≤m≤50．
又∵m为整数，
∴m可以取48，49，50．
∴学校有三种购买方案，
方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
27．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出＜2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x＜，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴≤2，
解得a≤；
（3）由求得，
∵m≥，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k＞1时，不等式P的解集为x＞﹣，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k﹣1＜0，且＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0，
综上k的值为0或1．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
28．已知：如图，∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B．
（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE是等腰直角三角形；
③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 BD+AB＝CB ；
（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变、
在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 AB﹣BD＝CB ；
在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 BD﹣AB＝CB ．
（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BC＝2+2时，求CD的长．
【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，②判断出△CAE≌△CDB，即得结论，③过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可；
（2）①过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形；②解题思路同（1）③，过点C作CE⊥CB于点C，得到△ACE≌△DCB，从而确定△ECB为等腰直角三角形；
（3）由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE＝BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD＝DH，求出DH，即可求解．
【解答】解：（1）①依题意补全图形如下图，
②证明：
∵∠ACD＝90°，
又∵CE⊥CB，
∴∠ECB＝90°＝∠ACD，
∴∠1＝∠2．
∵DB⊥MN于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAC+∠D＝180°．
又∵∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠D＝∠EAC．
又∵AC＝CD，
∴△CAE≌△CDB（ASA），
∴CE＝CB．
∴△BCE是等腰直角三角形；
③如图1，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∵CE⊥CB，
∴∠ABC+∠CEA＝90°，
∴∠CBD＝∠CEA．
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，
∴BE＝BD+AB，
∴BD+AB＝CB，
故答案为：BD+AB＝CB；
（2）①如图2，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣BD，
∴AB﹣BD＝CB，
故答案为：AB﹣BD＝CB；
②BD﹣AB＝CB．
如图3，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE﹣AB，
∴BE＝BD﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB．
故答案为：BD﹣AB＝CB；
（3）①如图4，过点C作CE⊥BC，交MN与点E，过点D作DH⊥BC于H，
由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE＝BC，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°＝∠CBE＝∠DBC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD＝BH＝DH，
在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，
∴CH＝DH，CD＝2DH，
∴BC＝CH+BH＝（+1）DH＝2+2，
∴DH＝2，
∴CD＝4；
②如图5，过点D作DH⊥BC交CB的延长线与H，
同①的方法，得，DH＝4+2，
∴CD＝2DH＝8+4．
综上所述：CD＝4或8+4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．解本题的关键是作出辅助线构造全等三角形．
2021-2022学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中
数学试卷
一、选择题
1．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1
3．下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知a＞b，下列式子成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B．﹣5+a＞﹣5+b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b2
5．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
6．若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好落在AC边上，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADE B．BC＝DE C．BC∥AE D．AC平分∠BAE
9．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
二、填空题
11．分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
12．当x＝ 时，的值为0．
13．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．
若AC＝8，则BD＝ ．
三、解答题
15．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
16．先化简÷（x﹣），其中x＝2．
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC向左平移4个单位所得的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点B按顺时针旋转90°所得的△A2BC2（点A、C分别对应点A2、C2）；
（3）线段B1C2的长度为 ．
18．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB，AC分别交于点D、G．
求：（1）直接写出∠B与∠C的角度之和．
（2）求∠EAF的度数．
（3）求△AEF的周长．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：
（1）分解因式：x2﹣y2+xz﹣yz．
（2）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图1，函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
四、填空题
21．已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 ．
22．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
23．若关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是 ．
24．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AC＝2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△PMB为直角三角形，则AM的长为 ．
25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为 ．
五、解答题
26．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
27．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
28．已知：如图，∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B．
（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE是等腰直角三角形；
③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变、
在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ；
在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 ．
（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BC＝2+2时，求CD的长．
2021-2022学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式的左边不是多项式，所以不是因式分解，故本选项不合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，（x﹣y）中分母中含有字母，因此是分式．
，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
4．已知a＞b，下列式子成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B．﹣5+a＞﹣5+b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质及取特殊值来验证解题即可．
【解答】解：当a＞b时，若c＝0，则c2＝0，从而ac2＝bc2，故A不符合题意；
当a＞b时，根据不等式的性质3，两边同乘以﹣2，不等号方向改变，故C不符合题意；
当a＞b时，如0＞﹣1，但02＜（﹣1）2，故D不符合题意；
当a＞b时，根据不等式的性质1，两边同时加（﹣5），不等号方向不变，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，明确不等式的性质及采取特殊值验证是解题的关键．
5．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑：若4为腰，则另外一腰也为4，底边就为8，根据4+4＝8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若4为底边，腰长为8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
【解答】解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，
综上三角形的周长为20．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
6．若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件得出答案即可．
【解答】解：（x﹣3）（x+2）
＝x2+2x﹣3x﹣6
＝x2﹣x﹣6，
∵二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+2），
∴m＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好落在AC边上，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADE B．BC＝DE C．BC∥AE D．AC平分∠BAE
【分析】由旋转的性质得出∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∠BAC＝∠CAE，则可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好落在AC边上，
∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∠BAC＝∠CAE，
∴AC平分∠BAE．
结论BC∥AE不一定成立．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
9．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：﹣＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
二、填空题
11．分解因式：5x2﹣5y2＝ 5（x+y）（x﹣y） ．
【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），
故答案为：5（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12．当x＝ 3 时，的值为0．
【分析】直接利用分式的值为零的条件得出x的值进而得出答案．
【解答】解：∵的值为0，
∴|x|﹣3＝0，x+3≠0，
解得：x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 a＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．
【解答】解：根据题意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案为：a＞6．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．
若AC＝8，则BD＝ 4 ．
【分析】根据勾股定理可得AB的长，根据作图过程可知：MN是BC的垂直平分线，连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，进而可得结果．
【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝8，
∴AB＝＝8，
根据作图过程可知：MN是BC的垂直平分线，
连接CD，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠DCA＝∠A＝45°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AD＝AB＝8＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
三、解答题
15．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞﹣24，
∴原不等式组的解集为：﹣24＜x≤4；
（2），
x（x+2）﹣1＝x2﹣4，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x2﹣4≠0，
∴x＝﹣是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，一定要注意解分式方程必须检验．
16．先化简÷（x﹣），其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（x﹣）
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC向左平移4个单位所得的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点B按顺时针旋转90°所得的△A2BC2（点A、C分别对应点A2、C2）；
（3）线段B1C2的长度为 ．
【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
（3）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2BC2即为所求．
（3）线段B1C2的长度为＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形．
18．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB，AC分别交于点D、G．
求：（1）直接写出∠B与∠C的角度之和．
（2）求∠EAF的度数．
（3）求△AEF的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．可得AE＝BE，AF＝GF，继而可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，又由∠BAC＝120°，即可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案；
（3）由AE＝BE，AF＝GF，可得△AEF的周长等于BC的长，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∵FG垂直平分AC，
∴∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝∠B+∠C＝60°，
∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°；
（3）∵BC＝26，
∴BE+FE+FC＝26，
∵EB＝AE，AF＝FC，
∴EA+AF+EF＝26，
∴△AEF的周长为26．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：
（1）分解因式：x2﹣y2+xz﹣yz．
（2）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）前两项先用平方差公式，后两项用提公因式，可得（x﹣y）（x+y）+z（x﹣y），再次利用提公因式法即可得出结果；
（2）把b2+2ab＝c2+2ac进行整理可得：（2a+b+c）（b﹣c）＝0，而2a+b+c≠0，只能是b﹣c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）x2﹣y2+xz﹣yz＝（x﹣y）（x+y）+z（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+z）；
（2）△ABC是等腰三角形，
理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，
（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，即b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是对因式分解的方法的掌握与熟练应用．
20．如图1，函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；
（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，
故点M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②如图，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，
∴P（﹣，），
当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
四、填空题
21．已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 7 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当x＝+5时，
原式＝[（x﹣2）﹣3]2
＝（x﹣5）2
＝（）2
＝7
故答案为：7
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
22．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】先对原不等式组解答，再根据关于x的不等式组无解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞a+1，
解不等式②，得x≤2a，
∵关于x的不等式组无解，
∴a+1≥2a，解得，a≤1，
故答案为：a≤1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．若关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是 m＞﹣3且m≠﹣2 ．
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：＝3
方程两边同乘（x+1），得2x﹣m＝3x+3
解得，x＝﹣m﹣3，
由题意得，﹣m﹣3＜0，﹣m﹣3≠﹣1，
解得，m＞﹣3且m≠﹣2，
故答案为：m＞﹣3且m≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AC＝2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△PMB为直角三角形，则AM的长为 或 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB＝90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠MPB＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当∠CMB＝90°时，由题意可知点P与C重合，
在Rt△ACM中，∵∠A＝45°，AC＝2，
∴AM＝CM＝，
在Rt△BCM中，∵∠B＝30°，CM＝，
∴BM＝CM＝，
∴AB＝AM+BM＝+，
如图2中，当∠MPB＝90°时，
由翻折可知，AM＝PM，
在Rt△PMB中，∵∠B＝30°，
∴BM＝2PM＝2AM，
∴3AM＝AB，
∴AM＝．
综上所述，满足条件的AM的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为 2+ ．
【分析】过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF＝EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝2+．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG＝∠FEH，
又∵EF＝DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS），
∴HF＝EG，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，
∴AE＝4，CE＝2，∠AEH＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE＝1，AP＝AE＝2，
∴EG＝CG＝，
∴HF＝，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝2+，
故答案为：2+．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点F的运动轨迹．
五、解答题
26．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据“购买两种电脑的总费用不超过34万元，且购进乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
根据题意得：＝，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
根据题意得：，
解得：48≤m≤50．
又∵m为整数，
∴m可以取48，49，50．
∴学校有三种购买方案，
方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
27．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出＜2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x＜，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴≤2，
解得a≤；
（3）由求得，
∵m≥，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k＞1时，不等式P的解集为x＞﹣，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k﹣1＜0，且＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0，
综上k的值为0或1．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
28．已知：如图，∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B．
（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE是等腰直角三角形；
③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 BD+AB＝CB ；
（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变、
在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 AB﹣BD＝CB ；
在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是 BD﹣AB＝CB ．
（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BC＝2+2时，求CD的长．
【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，②判断出△CAE≌△CDB，即得结论，③过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可；
（2）①过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形；②解题思路同（1）③，过点C作CE⊥CB于点C，得到△ACE≌△DCB，从而确定△ECB为等腰直角三角形；
（3）由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE＝BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD＝DH，求出DH，即可求解．
【解答】解：（1）①依题意补全图形如下图，
②证明：
∵∠ACD＝90°，
又∵CE⊥CB，
∴∠ECB＝90°＝∠ACD，
∴∠1＝∠2．
∵DB⊥MN于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAC+∠D＝180°．
又∵∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠D＝∠EAC．
又∵AC＝CD，
∴△CAE≌△CDB（ASA），
∴CE＝CB．
∴△BCE是等腰直角三角形；
③如图1，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∵CE⊥CB，
∴∠ABC+∠CEA＝90°，
∴∠CBD＝∠CEA．
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，
∴BE＝BD+AB，
∴BD+AB＝CB，
故答案为：BD+AB＝CB；
（2）①如图2，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣BD，
∴AB﹣BD＝CB，
故答案为：AB﹣BD＝CB；
②BD﹣AB＝CB．
如图3，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE﹣AB，
∴BE＝BD﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB．
故答案为：BD﹣AB＝CB；
（3）①如图4，过点C作CE⊥BC，交MN与点E，过点D作DH⊥BC于H，
由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE＝BC，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°＝∠CBE＝∠DBC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD＝BH＝DH，
在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，
∴CH＝DH，CD＝2DH，
∴BC＝CH+BH＝（+1）DH＝2+2，
∴DH＝2，
∴CD＝4；
②如图5，过点D作DH⊥BC交CB的延长线与H，
同①的方法，得，DH＝4+2，
∴CD＝2DH＝8+4．
综上所述：CD＝4或8+4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．解本题的关键是作出辅助线构造全等三角形．
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