江苏省扬州中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023扬州中学高二数学期中考试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线的倾斜角为60，且经过点，则直线的方程为（    ）

A.   B.   C.   D.

2.以点，为直径端点的圆的方程是（    ）

A.   B.

C.  D.

3.已知双曲线：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（    ）

A.-8   B.8   C.10   D.

4.“”是“直线和直线垂直”的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

5.若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ）

A.2或1   B.-2或-1   C.2   D.-1

6.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为（    ）

A.6   B.   C.8   D.

7.已知点在直线上运动，则的最小值是（    ）

A.   B.   C.   D.

8.如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，若，则点P的坐标为（    ）

A.   B.

C.   D.

10.设双曲线：的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ）

A.若，，则C的两条渐近线的方程是

B.若点的坐标为，则的离心率大于3

C.若，则的面积等于

D.若为等轴双曲线，且，则

11.光线自点射入，经倾斜角为的直线：反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ）

A.   B.   C.   D.

12.已知曲线的方程为，圆：，则（    ）

A.表示一条直线

B.当时，与圆有3个公共点

C.当时，存在圆，使得圆与圆相切，且圆与有4个公共点

D.当与圆的公共点最多时，的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.

14.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为________.

15.已知圆：，直线：，P为直线上的动点，过P做圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PAMB的面积的最小值为________.

16.过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A，B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______.

四、解答题：共070分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知，当为何值时，

（1）方程表示焦点在轴上的椭圆；

（2）方程表示双曲线.

18.求满足下列条件的直线方程.

（1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；

（2）经过点，并且与圆相切的直线方程.

19.已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线的左右焦点，.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.

20.已知圆：与圆：.

（1）求证：圆与圆相交；

（2）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程.

21.已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为.

（1）求圆C的方程；

（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

22.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点F为椭圆的右焦点，过C上一点的直线：与直线：交于点为P，直线AF交C于另一点B，设AB与OP交于点Q.证明：

（i）；

（ii）Q为线段AB的中点.

参考答案：

1.C

【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.

2.D

【详解】A，B的中点坐标为，即圆心为，，

所以圆的半径为，所以圆的方程为.

3.A

【详解】由，得，得，因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，所以.

4.A

【详解】由直线和直线垂直，

可得，∴，∴或.

当时，直线和直线垂直；

当直线和直线垂直时，不一定成立.

所以是直线和直线垂直的充分不必要条件.

5.C

【答案】C

【分析】把代入圆方程计算,注意方程要表示圆.

【详解】∵表示圆，

∴

∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.

故选:C.

6.B

【详解】解：由椭圆的方程可得，，

所以，得，

且，

在中，由余弦定理可得

，

而，所以，，

又因为，，所以，

所以，.

7.A

【详解】表示点与距离的平方，

因为点到直线的距离，所以的最小值为.

8.C

【详解】作另一焦点，连接和和，则四边形为平行四边，

所以，且，则三角形为等腰直角三角形，

设，则，解得，

，在三角形中由勾股定理得，

所以，，故答案为：.

9.AB

【详解】抛物线的准线方程为，

设点的坐标，∵，∴，∴.

把代入方程得，∴.∴点P的坐标为.

10.BC

【详解】解：由题意得：

A选项：当，时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；

B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；

C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；

D选项：若C为等轴双曲线，则，从而.若，则，.在中，由余弦定理，得

，D错误

11.BD

【详解】因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为，

设点关于直线：的对称点为，

则，解得，

所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，

则反射光线所在直线的方程为，

当时，；当时，.

12.BC

【详解】由，得，即，

则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；

因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆M相交，C与圆M有3个公共点，所以B正确；

当时，存在圆N，使得圆M内切于圆N，且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点C与圆M的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；

当时，圆与直线、交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，

13.3【详解】因为点P到焦点的距离为4，所以点P到抛物线准线的距离为4，

所以点到轴的距离为3.

14.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离.

15.

【详解】

由题知，：，圆心为，半径，

圆心到直线：上的点P的最短距离为，

所以切线长，

故四边形的面积的最小值为.

16.

【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为，

联立，消去，得，

设，，则，，

由得，故，即，

整理得，即，

则，所以，故，

所以，两边除以，得，解得,

又因为，所以，故，

又A，B在左支且过，所以，即，故,

所以，所以,

即，则，故，即，

综上：，即.

17.（1）（2）或

18.（1）或；（2）或

（1）i.当截距都为0时，所求直线为.

ii.当截距不为0时，设为，代入得，故所求直线为；

（2）圆方程配方为，圆心为，半径，代入易得该点不在圆上，

i.当切线斜率不存在时，即，与圆相切，符合题意；

ii.当切线斜率存在时，设为，由相切得

，故所求切线为

19.（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）由题知：由双曲线的定义知：，

又因为，所以，所以

所以，双曲线的标准方程为.

（2）设，则因为，，所以，

所以

20.（1）证明见解析（2）

（1）证明：圆：化为标准方程为，

∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为，

∴，∵.∴两圆相交；

（2）解：由，解得或

则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为，

则，即，解得，

故圆心，半径，∴所求圆的方程为.

21.（1）；（2）不存在，理由见解析.

【详解】（1）设圆的方程为

圆心在射线上，所以，

圆与轴相切，则点到直线的距离，

由于截直线所得弦长为，所以.

则得，又所以，（舍去），，

故圆C的方程为；

（2）假设存在，由（1）得，因为，

所以P，C在线段AB的中垂线上，则.

因为，所以，解得；

当时，直线方程为即，

圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；

所以不存在实数满足题干要求.

22.（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，

因为的短轴的一个端点的坐标为，所以，，

因为，所以.得，所以，所以椭圆的方程为.

（2）证明：（i）将代入，，

解得，，所以，

，

（ii）由直线AB过焦点，得到直线方程为.

代入.并结合整理，得，

设）.则，

设中点为，则，则

，

即，所以，又，.

所以，即，共线，

即AB的中点R在直线OP上，从而点R与Q重合，

故Q是线段AB的中点.