湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，1
2．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．（3分）如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．140°C．80°D．60°
6．（3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
7．（3分）关于抛物线y＝下列描述正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣1
B．最大值为y＝2
C．图象与坐标轴有且只有一个交点
D．当x≤2时，y随x的增大而增大
8．（3分）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球的直径为（ ）
A．cmB．6cmC．cmD．8cm
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2022x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则+1的值等于（ ）
A．0B．﹣2022C．2022D．﹣1
10．（3分）如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（ ）
A．B．6C．D．5
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 ．
12．（3分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
13．（3分）已知点A（2，y1），B（0，y2），C（﹣3，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．（3分）圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
15．（3分）已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC＝AB＝OA，则∠BOC的度数为 ．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（2，0），坐标原点为O．
①若b＝﹣2a，则抛物线必经过原点；
②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB＝OC，则；
④点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞﹣1时，总有y1＞y2，则8a+c≤0．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC＝BC，求证：BE∥AC．
19．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝ax2+bx+c．
（1）完成表格并直接写出函数的顶点坐标为 ．
（2）若﹣2＜x＜3，y的取值范围是 ．
（3）若一元二次方程a（x﹣m）2+b（x﹣m）+c＝0的一个根为x＝1，则m的值为 ．
20．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧上一点，∠ADC＝60°．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若CD＝2BD＝4，求四边形ABDC的面积．
21．如图是由小正方形构成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，连接AB、AC、BC．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，过B点画⊙O的一条对称轴，并画出圆心O点；
（2）在图2中，在劣弧上找点D，连接弦BD，使得∠ABD＝45°；
（3）在图3中，过点B作出所有的弦BG，使得BG＝AC．
22．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
23．如图，在△ABC的同侧以AB、AC为底边向外作等腰Rt△ADB、Rt△AEC，其中∠ADB＝∠AEC＝90°，P为BC的中点，连接PD、PE．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，直接写出PD与PE的关系．
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，（1）中的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
（3）如图3，当∠BAC＝45°，BC＝，连接DE，取其中点M，若动点A从∠ABC＝30°的位置运动到∠ABC＝90°时停止，则M点的运动路径长为 ．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点，点A为（﹣1，0），OB＝OC．直线l：y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M在N左边），交y轴于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若b＝1，过C点作CD⊥l于点D，连接AD、AC，若此时AD＝AC，求M点的横坐标；
（3）如图2，若k＝﹣4，连接BM、BN，过原点O作直线BN的垂线，垂足为E，以OE为半径作⊙O．
求证：⊙O与直线BM相切．
2022-2023学年湖北省武汉市武昌区八校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，1
【解答】解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【解答】解：根据题意Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【解答】解：∵将抛物线y＝x2向上平移3个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3．
故选：B．
5．（3分）如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．140°C．80°D．60°
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝40°，
故选：A．
6．（3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
7．（3分）关于抛物线y＝下列描述正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣1
B．最大值为y＝2
C．图象与坐标轴有且只有一个交点
D．当x≤2时，y随x的增大而增大
【解答】解：（1）从函数的表达式看，抛物线的对称轴为直线x＝1，故A错误，不符合题意；
（2）a＝＞0，抛物线有最小值，不存在最大值，故B错误，不符合题意；
（3）抛物线顶点坐标为（1，2），开口向上，故抛物线和x轴没有交点，只和y轴有一个交点，故C正确，符合题意；
（4）当x≤2时，此时抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意．
故选：C．
8．（3分）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球的直径为（ ）
A．cmB．6cmC．cmD．8cm
【解答】解：如图，由题意知，AB＝6cm，CD＝2cm，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC＝CB＝AB＝3（cm），
设铅球的半径为rcm，则OC＝（r﹣2）cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC2+AC2＝OA2，
即（r﹣2）2+32＝r2，
解得：r＝，
则铅球的直径为：2r＝（cm），
故选：A．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2022x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则+1的值等于（ ）
A．0B．﹣2022C．2022D．﹣1
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2022x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），
∴a2﹣2022a+2＝1，
∴a2﹣2022a＝﹣1，
把y＝1代入y＝x2﹣2022x+2得，x2﹣2022x+1＝0，
∵二次函数y＝x2﹣2022x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），
∴a，b是方程x2﹣2022x+2＝1的两个根，
∴ab＝1，
∴a＝，
∴+1＝a2﹣2022a+1＝﹣1+1＝0．
故选：A．
10．（3分）如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（ ）
A．B．6C．D．5
【解答】解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，
∵OA＝OB，
∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，
∴OD＝＝2，
∵PA切⊙O于A，
∴∠CAE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC，
∴∠CAE＝∠AOD，
∵∠AEC＝∠ADO＝90°，
∴△ACE∽△OAD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CE＝，AE＝，
∵∠P＝45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE＝CE＝，PC＝，
∵PA＝AE+PE，
∴PA＝，
∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴AC：AB＝PC：PA，
∴2：AB＝：，
∴AB＝6．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 （1，﹣2） ．
【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
12．（3分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 a≤且a≠﹣2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠﹣2，
故答案为：a≤且a≠﹣2．
13．（3分）已知点A（2，y1），B（0，y2），C（﹣3，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y3＜y1 ．
【解答】解：二次函数y＝x2+2x+c的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
故点C关于x＝﹣1的对称点是D（1，y3），
∵a＝1，故开口向上，
﹣3＜0＜2，
又∵点A，B．D都在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
14．（3分）圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 160° ．
【解答】解：设它的侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得8π＝，
解得n＝160，
所以它的侧面展开图的圆心角的度数为160°．
故答案为160°．
15．（3分）已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC＝AB＝OA，则∠BOC的度数为 150° ．
【解答】解：延长AO交⊙O于点D，连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵AD＝2AO，AC＝OA，
∴sinD＝＝＝，
∴∠D＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵AC＝AB＝OA，
∴AB＝AO，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，
故答案为：150°．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（2，0），坐标原点为O．
①若b＝﹣2a，则抛物线必经过原点；
②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB＝OC，则；
④点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞﹣1时，总有y1＞y2，则8a+c≤0．
其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【解答】解：①∵b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过点A（2，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过原点，
故①符合题意；
②∵抛物线过点A（2，0），
∴4a+2b+c＝0，即c＝﹣（4a+2b），
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a[﹣（4a+2b）]＝b2+16a2+8ab＝（b+4a）2，
∵c≠4a，
∴4a≠﹣4a﹣2b，
∴b+4a≠0，
∴Δ＝（b+4a）2＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，
故②符合题意；
③当x＝0时，y＝c，
∴C（0，c），
∴OC＝|c|，
∵OB＝OC，
∴B（c，0）或（﹣c，0），
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
当B（c，0）时，2c＝，
∴a＝；
当B（﹣c，0）时，﹣2c＝，
∴a＝﹣；
综上所述：a的值为或﹣，
故③不符合题意；
④∵4a+2b+c＝0，
∴2b＝﹣c﹣4a，
∵当x1＞x2＞﹣1时，总有y1＞y2，
∴在x＞﹣1时，y随x值的增大而增大，
∴﹣≤﹣1，且a＞0，
∴b≥2a，此时﹣c﹣4a≥4a，
∴8a+c≤0；
故④符合题意；
故答案为：①②④．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
18．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC＝BC，求证：BE∥AC．
【解答】证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，
∴∠A＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴BE∥AC．
19．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝ax2+bx+c．
（1）完成表格并直接写出函数的顶点坐标为 （，﹣） ．
（2）若﹣2＜x＜3，y的取值范围是 ﹣≤y＜6 ．
（3）若一元二次方程a（x﹣m）2+b（x﹣m）+c＝0的一个根为x＝1，则m的值为 ﹣3或2 ．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（0，﹣4），（1，﹣6），
∴，
解得，
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣4，
∴当x＝2时，y＝4﹣6﹣4＝﹣6，
当x＝3时，y＝9﹣9﹣4＝﹣4，
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，
∴该函数的顶点坐标为（，﹣）．
故答案为：﹣6，﹣4，（，﹣）．
（2）∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝，
∵x＝﹣2时，y＝4+6﹣4＝6，
∴若﹣2＜x＜3，y的取值范围是﹣≤y＜6，
故答案为：﹣≤y＜6；
（3）∵a＝1，b＝﹣3，
∴一元二次方程（x﹣m）2﹣3（x﹣m）﹣4＝0，
∵一元二次方程（x﹣m）2﹣3（x﹣m）﹣4＝0的一个根为x＝1，
∴（1﹣m）2﹣3（1﹣m）﹣4＝0，
∴（1﹣m﹣4）（1﹣m+1）＝0，
解得m＝﹣3或m＝2，
故m的值为﹣3或2．
故答案为：﹣3或2．
20．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧上一点，∠ADC＝60°．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若CD＝2BD＝4，求四边形ABDC的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
又AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：如图，过点B作BE⊥CD的延长线于点E，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝∠ADC＝60°，
∴∠BDC＝120°，
∴∠BDE＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∵CD＝2BD＝4，
∴BD＝2，
∴DE＝BD＝1，
∴BE＝DE＝，
∴△BDC的面积＝CD•BE＝4×＝2，
在Rt△BEC中，BE＝，CE＝CD+DE＝4+1＝5，
根据勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝3+25＝28，
∴等边三角形ABC的面积＝BC2＝7，
∴四边形ABDC的面积＝△BDC的面积+等边三角形ABC的面积＝2+7＝9．
∴四边形ABDC的面积为9．
21．如图是由小正方形构成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，连接AB、AC、BC．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，过B点画⊙O的一条对称轴，并画出圆心O点；
（2）在图2中，在劣弧上找点D，连接弦BD，使得∠ABD＝45°；
（3）在图3中，过点B作出所有的弦BG，使得BG＝AC．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）如图，点D即为所求；
（3）如图，BG即为所求．
22．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵x﹣2×20≥0，
∴x≥40，
又∵x≤a，
∴40≤x≤a．
∴有两种情况，
①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
23．如图，在△ABC的同侧以AB、AC为底边向外作等腰Rt△ADB、Rt△AEC，其中∠ADB＝∠AEC＝90°，P为BC的中点，连接PD、PE．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，直接写出PD与PE的关系．
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，（1）中的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
（3）如图3，当∠BAC＝45°，BC＝，连接DE，取其中点M，若动点A从∠ABC＝30°的位置运动到∠ABC＝90°时停止，则M点的运动路径长为 ．
【解答】解：（1）DP＝PE，DP⊥PE，理由如下：
如图1，连接AP，
∵等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，
∴AD＝BD，AE＝CE，∠BAD＝∠CAE＝45°，
∵∠BAC＝90°，P为BC边的中点，
∴AP＝BP，∠BAC+∠BAD+∠CAE＝180°，
∴点D，点A，点E三点共线，
∴DP垂直平分AB，
∴∠ADP＝45°，
同理可得：∠AEP＝45°，
∴∠ADP＝∠AEP＝45°，
∴DP＝PE，∠DPE＝90°，
∴DP⊥EP；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图2，分别取AB、AC中点M、N，连接MD、NE，再连接PM、PN，
∵∠ADB＝90°，∠AEC＝90°，点M是AB的中点，点N是AC的中点，
∴DM＝AB，EN＝AC，DM⊥AB，EN⊥AC，
∵P为BC边的中点，点M是AB的中点，点N是AC的中点，
∴PN＝AB，PN∥AB，PM∥AC，PM＝AC，AM＝BM＝AB，AN＝CN＝AC，
∴PM＝AN，PM∥AN，
∴四边形PMAN为平行四边形，
∴∠AMP＝∠ANP，
∵∠AMD＝∠ANE＝90°，
∴∠PMD＝∠ENP，
在△DMP与△PNE中，
，
∴△DMP≌△PNE（SAS），
∴DP＝EP，∠DPM＝∠NPE，
∵AM∥NP，
∴∠AMP+∠MPN＝180°，
∵∠DMP+∠MDP+∠DPM＝180°，
∴∠DPE＝∠DMA，
∵∠DMA＝90°，
∴∠DPE＝90°，
∴DP⊥EP；
（3）如图，连接AM，并延长AM至N，使AM＝MN，连接BN，NC，DN，NE，
∵∠BAC＝45°，∠DAB＝∠CAE＝45°，
∴∠DAC＝∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝ME，
又∵AM＝MN，
∴四边形ADNE是平行四边形，
∴AE∥DN，AE＝DN，
∴DN⊥AB，
又∵AD＝BD，
∴DN是AB的中垂线，
∴AN＝BN，
同理可得：AN＝CN，
∴AN＝BN＝NC，
∴点A，点B，点C三点都在以N为圆心，AN为半径的圆上，
∴∠BNC＝2∠BAC＝90°，
∵BC2＝BN2+CN2，
∴32＝2CN2，
∴CN＝4＝AN＝BN，
∴MN＝2，
∵动点A从∠ABC＝30°的位置运动到∠ABC＝90°，
∴点A旋转的角度为120°，
∴M点的运动路径长＝＝，
故答案为：．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点，点A为（﹣1，0），OB＝OC．直线l：y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M在N左边），交y轴于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若b＝1，过C点作CD⊥l于点D，连接AD、AC，若此时AD＝AC，求M点的横坐标；
（3）如图2，若k＝﹣4，连接BM、BN，过原点O作直线BN的垂线，垂足为E，以OE为半径作⊙O．
求证：⊙O与直线BM相切．
【解答】解：（1）由题意可知，C（0，c），B（﹣c，0），A（﹣1，0），
代入解析式中，得，，
解得a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，延长CA交直线l于点P，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵CD⊥l，AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD＝AC，
∴△AQP≌△AOC（AAS），
∴PQ＝OC＝3，AQ＝OA＝1，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+1，
令﹣x+1＝x2﹣2x﹣3，解得x＝．
∵点M在点N的左边，
∴点M的横坐标为．
（3）联立直线l与抛物线得：，
整理得x2+2x﹣3﹣b＝0，
由根与系数的关系知：xM+xN＝﹣2，
∵B（3，0），
∴可设直线BM、BN的解析式分别为y＝k1（x﹣3），y＝k2（x﹣3），
分别令k1（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，k2（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
整理可求得xM＝k1﹣1，xN＝k2﹣1，
代入上述根与系数的关系式中得：xM+xN＝k1﹣1+k2﹣1＝﹣2，
整理得，k1+k2＝0，
如图2，设直线BM、BN与y轴交点分别为G，H，
∴G（0，3k1），H（0，﹣3k2），
∴OG＝OH，
∵OB⊥GH，即BO垂直平分GH，
∴BG＝BH，
∴BO平分∠GBH，
过点O作OF⊥BM于点F，
∵OE⊥BN，
∴OF＝OE，
由切线的判定可知：⊙O与直线BM相切．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣4
﹣6


…
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40