湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
将一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是( )
A. 5，-1B. 5，4C. 5，-4D. 5，1
下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为( )
A. y=(x+2)2+3B. y=(x-2)2+3
C. y=(x+2)2-3D. y=(x-2)2-3
如图，点C是⊙O的优弧AB上一点，∠AOB=80°，则∠ACB的度数为( )
A. 40°
B. 140°
C. 80°
D. 60°
如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为( )
A. 10×6-4×6x=32B. 10×6-4x2=32
C. (10-x)(6-x)=32D. (10-2x)(6-2x)=32
关于抛物线y=12(x-1)2+2下列描述正确的是( )
A. 对称轴为直线x=-1B. 最大值为y=2
C. 图象与坐标轴有且只有一个交点D. 当x≤2时，y随x的增大而增大
在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球的直径为( )
A. 132cmB. 6cmC. 152cmD. 8cm
已知二次函数y=x2-2022x+2的图象上有两点A(a,1)和B(b,1)，则a2-2022b+1的值等于( )
A. 0B. -2022C. 2022D. -1
如图，已知∠P=45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为10，AC=22，则AB的长度为( )
A. 42B. 6C. 27D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
点A(-1,2)关于原点对称点B的坐标是______．
关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
已知点A(2,y1)，B(0,y2)，C(-3,y3)在二次函数y=x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______．
圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．
已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC=2AB=2OA，则∠BOC的度数为______．
已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，其图象经过点A(2,0)，坐标原点为O．
①若b=-2a，则抛物线必经过原点；
②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与x轴交于点B(不与A重合)，交y轴于点C且OB=OC，则a=-12；
④点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若当x1>x2>-1时，总有y1>y2，则8a+c≤0．
其中正确的结论是______(填写序号)．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
解方程：x2-4x-1=0．
(本小题8.0分)
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC=BC，求证：BE//AC．
(本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y=ax2+bx+c．
(1)完成表格并直接写出函数的顶点坐标为______．
(2)若-2(3)若一元二次方程a(x-m)2+b(x-m)+c=0的一个根为x=1，则m的值为______．
(本小题8.0分)
如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC=60°．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)若CD=2BD=4，求四边形ABDC的面积．
(本小题8.0分)
如图是由小正方形构成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，连接AB、AC、BC.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)．
(1)在图1中，过B点画⊙O的一条对称轴，并画出圆心O点；
(2)在图2中，在劣弧AB上找点D，连接弦BD，使得∠ABD=45°；
(3)在图3中，过点B作出所有的弦BG，使得BG=AC．
(本小题8.0分)
某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
(1)求y与x的关系式；
(2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
(3)若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
(本小题8.0分)
如图，在△ABC的同侧以AB、AC为底边向外作等腰Rt△ADB、Rt△AEC，其中∠ADB=∠AEC=90°，P为BC的中点，连接PD、PE．
(1)如图1，当∠BAC=90°时，直接写出PD与PE的关系．
(2)如图2，当∠BAC≠90°时，(1)中的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
(3)如图3，当∠BAC=45°，BC=42，连接DE，取其中点M，若动点A从∠ABC=30°的位置运动到∠ABC=90°时停止，则M点的运动路径长为______．
(本小题8.0分)
如图，抛物线y=ax2-2ax+c的图象与x轴交于A、B两点，点A为(-1,0)，OB=OC.直线l：y=kx+b与抛物线交于M、N两点(M在N左边)，交y轴于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若b=1，过C点作CD⊥l于点D，连接AD、AC，若此时AD=AC，求M点的横坐标；
(3)如图2，若k=-4，连接BM、BN，过原点O作直线BN的垂线，垂足为E，以OE为半径作⊙O．
求证：⊙O与直线BM相切．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：5x2-1=4x，
5x2-4x-1=0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、-4，
故选：C．
先化成一般形式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．
2.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意△=(-2)2-4×(-1)=8>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算判别式得到△=(-2)2-4×(-1)=8>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
4.【答案】B
【解析】解：∵将抛物线y=x2向上平移3个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=(x-2)2+3．
故选：B．
直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB=80°，
∴∠ACB=40°，
故选：A．
根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为(10-2x)cm，宽为(6-2x)cm，
依题意，列方程得：(10-2x)(6-2x)=32．
故选：D．
设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为(10-2x)cm，宽为(6-2x)cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：(1)从函数的表达式看，抛物线的对称轴为直线x=1，故A错误，不符合题意；
(2)a=12>0，抛物线有最小值，不存在最大值，故B错误，不符合题意；
(3)抛物线顶点坐标为(1,2)，开口向上，故抛物线和x轴没有交点，只和y轴有一个交点，故C正确，符合题意；
(4)当x≤2时，此时抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意．
故选：C．
根据函数的图象和性质逐个求解即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，由题意知，AB=6cm，CD=2cm，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC=CB=12AB=3(cm)，
设铅球的半径为r cm，则OC=(r-2)cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC2+AC2=OA2，
即(r-2)2+32=r2，
解得：r=134，
则铅球的直径为：2r=132(cm)，
故选：A．
由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题．
本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=x2-2022x+2的图象上有两点A(a,1)和B(b,1)，
∴a2-2022a+2=1，
∴a2-2022a=-1，
把y=1代入y=x2-2022x+2得，x2-2022x+1=0，
∵二次函数y=x2-2022x+2的图象上有两点A(a,1)和B(b,1)，
∴a，b是方程x2-2022x+2=1的两个根，
∴ab=1，
∴a=1b，
∴a2-2022b+1=a2-2022a+1=-1+1=0．
故选：A．
由题意可得a、b是方程x2-2022x+2=1的两个根，则有ab=1即a=1b，又由a2-2022a=-1，将所求式子变形为a2-2022b+1=a2-2022a+1，然后再求值即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，

∵OA=OB，
∴∠AOD=12∠AOC，AD=DC=2，
∴OD=OA2-AD2=22，
∵PA切⊙O于A，
∴∠CAE=∠B，
∵∠B=12∠AOC，
∴∠CAE=∠AOD，
∵∠AEC=∠ADO=90°，
∴△ACE∽△OAD，
∴CEAD=AEOD=ACOA，
∴CE2=AE22=2210，
∴CE=2105，AE=4105，
∵∠P=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE=CE=2105，PC=455，
∵PA=AE+PE，
∴PA=6105，
∵∠CAE=∠B，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴AC：AB=PC：PA，
∴22：AB=455：6105，
∴AB=6．
故选：B．
由弦切角定理，相似三角形的判定和性质可以解决问题．
本题考查弦切角定理，相似三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造相似三角形，
11.【答案】(1,-2)
【解析】
【分析】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．根据关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】
解：点A(-1,2)关于原点对称点B的坐标是(1,-2)，
故答案为(1,-2)．
12.【答案】a≤14且a≠-2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴(-3)2-4(a+2)×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤14且a≠-2，
故答案为：a≤14且a≠-2．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】y2【解析】解：二次函数y=x2+2x+c的对称轴为：x=-b2a=-1，
故点C关于x=-1的对称点是D(1,y3)，
∵a=1，故开口向上，
-3<0<2，
又∵点A，B.D都在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y2故答案为：y2二次函数中二次项的系数是1，所以开口向上，对称轴的右边y随x的增大而增大；A，B两点在对称轴的右边，C点在对称轴的左边，利用二次函数的轴对称性，找到点C关于对称轴的对称点D，利用抛物线的开口向上，对称轴的右边y随x的增大而增大，得出答案．
本题考查的是二次函数的有关知识，解题的关键是怎样将点C转化为对称轴右边的点，使得点A，B，C在对称轴的同侧．
14.【答案】160°
【解析】解：设它的侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得8π=n⋅π⋅9180，
解得n=160，
所以它的侧面展开图的圆心角的度数为160°．
故答案为160°．
设它的侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8π=n⋅π⋅9180，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15.【答案】150°
【解析】解：延长AO交⊙O于点D，连接CD，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵AD=2AO，AC=2OA，
∴sinD=ACAD=2AO2AO=22，
∴∠D=45°，
∴∠AOC=2∠D=90°，
∵AC=2AB=2OA，
∴AB=AO，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=150°，
故答案为：150°．
延长AO交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD=90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可得sinD=22，从而可得∠D=45°，进而可得∠AOC=90°，然后再根据已知易得△AOB是等边三角形，从而可得∠AOB=60°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：①∵b=-2a，
∴对称轴为直线x=-b2a=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象经过点A(2,0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象经过原点，
故①符合题意；
②∵抛物线过点A(2,0)，
∴4a+2b+c=0，即c=-(4a+2b)，
∴Δ=b2-4ac=b2-4a[-(4a+2b)]=b2+16a2+8ab=(b+4a)2，
∵c≠4a，
∴4a≠-4a-2b，
∴b+4a≠0，
∴Δ=(b+4a)2>0，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，
故②符合题意；
③当x=0时，y=c，
∴C(0,c)，
∴OC=|c|，
∵OB=OC，
∴B(c,0)或(-c,0)，
令y=0，则ax2+bx+c=0，
当B(c,0)时，2c=ca，
∴a=12；
当B(-c,0)时，-2c=ca，
∴a=-12；
综上所述：a的值为12或-12，
故③不符合题意；
④∵4a+2b+c=0，
∴2b=-c-4a，
∵当x1>x2>-1时，总有y1>y2，
∴在x>-1时，y随x值的增大而增大，
∴-b2a≤-1，且a>0，
∴b≥2a，此时-c-4a≥4a，
∴8a+c≤0；
故④符合题意；
故答案为：①②④．
①根据函数图象的对称性能够判断出函数经过原点；②利用判别式判断函数与x轴的交点情况；③确定B点坐标后，可知函数与x轴的两个交点，再利用一元二次方程根与系数的关系进行判断即可；④利用函数的增减性确定a>0，再由对称轴与-1的关系建立不等关系，结合点A进一步求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，判别式与函数图象与x轴交点的关系是解题的关键．
17.【答案】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
∴(x-2)2=5，
∴x=2±5，
∴x1=2+5，x2=2-5．
【解析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18.【答案】证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，
∴AB=BD，∠ABC=∠DBE，
∴∠A=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBE，
∴BE//AC．
【解析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ABC，由旋转的性质得出AB=BD，∠ABC=∠DBE，证出∠ADB=∠DBE，则可得出结论．
本题考查性质的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】(32,-254) -6 -4 -254≤y<6 -3或2
【解析】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)，(0,-4)，(1,-6)，
∴a-b+c=0c=-4a+b+c=-6，
解得a=1b=-3c=-4，
∴二次函数为y=x2-3x-4，
∴当x=2时，y=4-6-4=-6，
当x=3时，y=9-9-4=-4，
∵y=x2-3x-4=(x-32)2-254，
∴该函数的顶点坐标为(32,-254).
故答案为：-6，-4，(32,-254).
(2)∵y=x2-3x-4=(x-32)2-254，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=32，
∵x=-2时，y=4+6-4=6，
∴若-2故答案为：-254≤y<6；
(3)∵a=1，b=-3，
∴一元二次方程(x-m)2-3(x-m)-4=0，
∵一元二次方程(x-m)2-3(x-m)-4=0的一个根为x=1，
∴(1-m)2-3(1-m)-4=0，
∴(1-m-4)(1-m+1)=0，
解得m=-3或m=2，
故m的值为-3或2．
故答案为：-3或2．
(1)利用待定系数法求得二次函数的解析式，然后化成顶点是，即可求得顶点坐标；
(2)根据二次函数的性质以及表格数据即可得到-2(3)将x=1代入方程(x-m)2-3(x-m)-4=0即可求出答案．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程的解，求得二次函数的解析式是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠ADC=60°，
又AB=AC，
∴△ABC为等边三角形；
(2)解：如图，过点B作BE⊥CD的延长线于点E，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ADB=∠ACB=∠ADC=60°，
∴∠BDC=120°，
∴∠BDE=60°，
∴∠DBE=30°，
∵CD=2BD=4，
∴BD=2，
∴DE=12BD=1，
∴BE=3DE=3，
∴△BDC的面积=12×CD⋅BE=12×4×3=23，
在Rt△BEC中，BE=3，CE=CD+DE=4+1=5，
根据勾股定理得：BC2=BE2+CE2=3+25=28，
∴等边三角形ABC的面积=34BC2=73，
∴四边形ABDC的面积=△BDC的面积+等边三角形ABC的面积=23+73=93．
∴四边形ABDC的面积为93．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ABC=∠AMC=60°，根据AB=AC，则可判断△ABC为等边三角形；
(2)过点B作BE⊥CD的延长线于点E，证明∠DBE=30°，根据CD=2BD=4，可得BD=2，所以DE=12BD=1，BE=3DE=3，然后根据四边形ABDC的面积=△BDC的面积+等边三角形ABC的面积，即可解决问题．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理．
21.【答案】解：(1)如图，点O即为所求；

(2)如图，点D即为所求；

(3)如图，BG即为所求．

【解析】(1)利用90度的圆周角和AC的垂直平分线可得出答案；
(2)利用等腰直角三角形的性质可得出答案；
(3)利用对称性以及平行线所夹的弧相等．
本题主要考查了网格作图，熟练掌握圆的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设函数的表达式为y=kx+b，
将(40,80)、(60,60)代入上式得：
40k+b=8060k+b=60，解得k=-1b=120，
故y与x的关系式为y=-x+120；
(2)公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w=(x-20)y=(x-20)(-x+120)=-(x-70)2+2500，
∵x-2≥0，-x+120≥0，x-20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵-1<0，
故抛物线开口向下，
故当x<70时，w随x的增大而增大，
∴当x=40(元)时，w的最大值为1600(元)，
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
(3)由题意得：w=(x-20×2)(-x+120)=-x2+160x-4800=-(x-80)2+1600，
当w最大=1500时，-(x-80)2+1600=1500，
解得x1=70，x2=90，
∵x-2×20≥0，
∴x≥40，
又∵x≤a，
∴40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a<80时，即40≤x≤a，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=a=70时，w最大=1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大=1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a=70．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w=(x-20)y=(x-20)(-x+120)=-(x-70)2+2500，进而求解；
(3)由题意得：w=(x-20×2)(-x+120)=-x2+160x-4800=-(x-80)2+1600，当w最大=1500时，-(x-80)2+1600=1500，解得x1=70，x2=90，而40≤x≤a，进而求解．
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
23.【答案】4π3
【解析】解：(1)DP=PE，DP⊥PE，理由如下：
如图1，连接AP，

∵等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，
∴AD=BD，AE=CE，∠BAD=∠CAE=45°，
∵∠BAC=90°，P为BC边的中点，
∴AP=BP，∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°，
∴点D，点A，点E三点共线，
∴DP垂直平分AB，
∴∠ADP=45°，
同理可得：∠AEP=45°，
∴∠ADP=∠AEP=45°，
∴DP=PE，∠DPE=90°，
∴DP⊥EP；
(2)结论仍然成立，理由如下：
如图2，分别取AB、AC中点M、N，连接MD、NE，再连接PM、PN，

∵∠ADB=90°，∠AEC=90°，点M是AB的中点，点N是AC的中点，
∴DM=12AB，EN=12AC，DM⊥AB，EN⊥AC，
∵P为BC边的中点，点M是AB的中点，点N是AC的中点，
∴PN=12AB，PN//AB，PM//AC，PM=12AC，AM=BM=12AB，AN=CN=12AC，
∴PM=AN，PM//AN，
∴四边形PMAN为平行四边形，
∴∠AMP=∠ANP，
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠PMD=∠ENP，
在△DMP与△PNE中，
DM=PN∠DMP=∠PNEMP=NE，
∴△DMP≌△PNE(SAS)，
∴DP=EP，∠DPM=∠NPE，
∵AM//NP，
∴∠AMP+∠MPN=180°，
∵∠DMP+∠MDP+∠DPM=180°，
∴∠DPE=∠DMA，
∵∠DMA=90°，
∴∠DPE=90°，
∴DP⊥EP；
(3)如图，连接AM，并延长AM至N，使AM=MN，连接BN，NC，DN，NE，

∵∠BAC=45°，∠DAB=∠CAE=45°，
∴∠DAC=∠BAE=90°，
∴AE⊥AB，
∵点M是DE的中点，
∴DM=ME，
又∵AM=MN，
∴四边形ADNE是平行四边形，
∴AE//DN，AE=DN，
∴DN⊥AB，
又∵AD=BD，
∴DN是AB的中垂线，
∴AN=BN，
同理可得：AN=CN，
∴AN=BN=NC，
∴点A，点B，点C三点都在以N为圆心，AN为半径的圆上，
∴∠BNC=2∠BAC=90°，
∵BC2=BN2+CN2，
∴32=2CN2，
∴CN=4=AN=BN，
∴MN=2，
∵动点A从∠ABC=30°的位置运动到∠ABC=90°，
∴点A旋转的角度为120°，
∴M点的运动路径长=2×120×π180=4π3，
故答案为：4π3．
(1)先证点D，点A，点E三点共线，由等腰直角三角形的性质可求解；
(2)由“SAS”可证△DMP≌△PNE，可得DP=EP，∠DPM=∠NPE，由三角形内角和定理可求解；
(3)先证点A，点B，点C三点共圆，由等腰直角三角形的性质可求AN=4，可得NM=2，由弧长公式可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知，C(0,c)，B(-c,0)，A(-1,0)，
代入解析式中，得，ac2-2ac+c=0ac-2a-1=03a+c=0，
解得a=1，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．
(2)如图1，延长CA交直线l于点P，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵CD⊥l，AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠APD=∠ADP，
∴AP=AD=AC，
∴△AQP≌△AOC(AAS)，
∴PQ=OC=3，AQ=OA=1，
∴直线l的解析式为：y=-x+1，
令-x+1=x2-2x-3，解得x=1±172．
∵点M在点N的左边，
∴点M的横坐标为1-172．
(3)联立直线l与抛物线得：y=-4k+by=x2-2x-3，
整理得x2+2x-3-b=0，
由根与系数的关系知：xM+xN=-2，
∵B(3,0)，
∴可设直线BM、BN的解析式分别为y=k1(x-3)，y=k2(x-3)，
分别令k1(x-3)=x2-2x-3，k2(x-3)=x2-2x-3
整理可求得xM=k1-1，xN=k2-1，
代入上述根与系数的关系式中得：xM+xN=k1-1+k2-1=-2，
整理得，k1+k2=0，
如图2，设直线BM、BN与y轴交点分别为G，H，
∴G(0,3k1)，H(0,-3k2)，
∴OG=OH，
∵OB⊥GH，即BO垂直平分GH，
∴BG=BH，
∴BO平分∠GBH，
过点O作OF⊥BM于点F，
∵OE⊥BN，
∴OF=OE，
由切线的判定可知：⊙O与直线BM相切．
【解析】(1)由题意可知，C(0,c)，B(-c,0)，A(-1,0)，代入解析式中，解方程组即可得出结论；
(2)如图1，延长CA交直线l于点P，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由直角三角形两锐角互余可得∠APD=∠ADK，所以AM=AD=AC，易证△AQP≌△AOC(AAS)，所以PQ=OC=3，AQ=OA=1，得出点P的坐标，进而可得直线l的解析式为：y=-x+1，联立直线与抛物线的解析式即可得出结论；
(3)联立直线l与抛物线得：y=-4k+by=x2-2x-3，整理得x2+2x-3-b=0，由根与系数的关系知：xM+xN=-2，因为B(3,0)，素以可设直线BM、BN的解析式分别为y=k1(x-3)，y=k2(x-3)，分别联立直线BM，BN与抛物线的解析式，可求得xM=k1-1，xN=k2-1，代入上述根与系数的关系式中得：xM+xN=k1-1+k2-1=-2，整理得，k1+k2=0；设直线BM、BN与y轴交点分别为G，H，所以G(0,3k1)，H(0,-3k2)，由垂直平分线的性质可得BG=BH，由等腰三角形的性质可得，BO平分∠GBH，过点O作OF⊥BM，由角平分线的性质可知，OF=OE，由此可得出结论．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，直线与抛物线的交点问题，根与系数的关系及切线的定义等相关知识，根据题意作出正确的辅助线是解题关键．
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-4
-6
______
______
…
销售单价x(元)
40
60
80
日销售量y(件)
80
60
40