_浙江省丽水市莲都区文元教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份_浙江省丽水市莲都区文元教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省丽水市莲都区文元教育集团九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．任选三角形的两边，其差小于第三边
C．打开电视，正在播放动画片
D．在一个没有红球的袋中摸球，摸出红球
3．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝2（x﹣3）2﹣5 B．y＝2（x+3）2﹣5
C．y＝2（x﹣3）2+5 D．y＝2（x+3）2+5
4．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，2）
6．如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（　　）

A．a＜0
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．点B的坐标为（1，0）
D．图象的对称轴为直线x＝﹣1
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．120°
8．已知（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣3x2+6x﹣k上的点，则（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
9．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝8，分别以AB、AC、BC为半径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）

A．3 B． C． D．4
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为　 　．
12．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是 　 　．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则这个正多边形的边数为 　 　．

14．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于 　 　．
15．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB与CD的距离为　 　．
16．如图，C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，且AB＝8cm，弧的度数为60°，线段AC，AD与弧CD围成了图中的阴影部分．
（1）当CD∥AB时，图中阴影部分的面积为　 　cm2；
（2）当C，D在半圆上运动时，阴影部分的最大面积为　 　cm2．

三、解答题（第17、18、19、20题每题8分；21题每题10分；第22、23题12分，共66分）
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

18．当前疫情防控形势严峻，为确保校园平安，某校严格落实测体温进校园的防控要求．每天早上进校园开设了甲，乙，丙三个测温通道．某天早晨，小明和小丽两位同学随机通过测温通道进入校园．
（1）求小明从甲测温通道通过的概率．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
19．如图1，要利用一面墙（墙长为15m）建羊圈，用30m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为xm，羊圈总面积为ym2．
（1）请问能否围成总面积为81m2的羊圈，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
（2）如果两个矩形羊圈各开一个宽1m的门（如图2），在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式并写出x的取值范围，求出羊圈总面积最大值．


20．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．

21．我们在学习了《浙教版数学九年级上册》P17探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向AB为x轴，若小明同学以C为顶点求出了函数表达式是；

探究一：
（1）若小红同学以A为顶点求出了函数表达式是 　 　．
（2）在（1）条件下，求出该抛物线在水面AB中的倒影所在抛物线函数表达式为 　 　．
（3）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
探究二：
（4）若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m，该圆半径为 　 　．

22．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（y﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O的弧AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若AC⊥BC，试说明AD、BD与CD之间是否存在某种确定的等量关系？请画图（非尺规作图），写出你的结论并证明．
（3）若AD+BD＝CD，则∠ACB＝　 　．



参考答案
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．任选三角形的两边，其差小于第三边
C．打开电视，正在播放动画片
D．在一个没有红球的袋中摸球，摸出红球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件；
B、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件；
C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件；
D、在一个没有红球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝2（x﹣3）2﹣5 B．y＝2（x+3）2﹣5
C．y＝2（x﹣3）2+5 D．y＝2（x+3）2+5
【分析】根据题意得新抛物线的顶点（﹣3，5），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y＝2（x﹣h）2+k，再把（﹣3，5）点代入即可得新抛物线的解析式．
解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣3，5），
可得新抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在0.6附近，
因此摸到蓝球的概率为0.6，
所以有＝0.6，
解得n＝6，
经检验，n＝6是原方程的解，
因此蓝球有6个，
故选：C．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：A．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
6．如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（　　）

A．a＜0
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．点B的坐标为（1，0）
D．图象的对称轴为直线x＝﹣1
【分析】根据二次函数的性质解决问题即可．
解：观察图象可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，C，D正确，
∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴选项B错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．120°
【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠D＝60°，
故选：B．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
8．已知（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣3x2+6x﹣k上的点，则（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】先判断出抛物线开口向下，再求出对称轴方程，根据离坐标轴越远的函数值越小即可得出结论．
解：∵﹣3＜0，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴方程x＝﹣＝1，
∴（﹣3，y1）离对称轴最远，（0，y2）离对称轴最近，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝8，分别以AB、AC、BC为半径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由图示知，S阴影＝以AC为直径的扇形的面积+以BC为直径的扇形面积﹣以AB为直径的扇形面积+△ABC的面积．据此列出y与x的函数关系式，根据函数关系式选择相应的图象．
解：∵AC+BC＝8，AC＝x，
∴BC＝8﹣x．
∴S阴影＝×（）2+×（）2﹣×（）2+S△ABC＝×+S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴S阴影＝S△ACB＝•x•（8﹣x），
即y＝﹣x2+4x（0＜x＜8）．
则该函数图象是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0＜x＜8．
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）

A．3 B． C． D．4
【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．
解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为　6cm　．
【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
解：∵圆心角为90°，
∴所得三角形是等腰直角三角形，
又半径为6cm，
∴弧所对的弦长6cm．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．
12．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是 　　．
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则这个正多边形的边数为 　15　．

【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．

【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于 　2022　．
【分析】由题意可得a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，则有a+b＝2，又由a2＝2a+2021，将所求式子变形为a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3，然后再求值即可．
解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上，
∴a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，
∴a+b＝2，
∵将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2022，
∴a2﹣2a﹣2022＝﹣1，
∴a2＝2a+2021，
∴a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3＝2（a+b）+2018＝4+2018＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
15．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB与CD的距离为　14cm或2cm　．
【分析】根据垂径定理及勾股定理，可求出弦AB、CD的弦心距；由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
解：
（1）如图①；Rt△OAE中，OA＝10cm，AE＝6cm；
根据勾股定理，得OE＝8cm；
同理可得：OF＝6cm；
故EF＝OE﹣OF＝2cm；

（2）如图②；同（1）可得：OE＝8cm，OF＝6cm；
故EF＝OE+OF＝14cm；

所以AB与CD的距离是14cm或2cm．

【点评】此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦AB、CD的位置关系有两种，需分类讨论，不要漏解．
16．如图，C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，且AB＝8cm，弧的度数为60°，线段AC，AD与弧CD围成了图中的阴影部分．
（1）当CD∥AB时，图中阴影部分的面积为　π　cm2；
（2）当C，D在半圆上运动时，阴影部分的最大面积为　π+4　cm2．

【分析】（1）连接OC、OD，根据已知条件可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可；
（2）利用图形可得出当C，D有一个点与A或B重合时此时阴影部分面积最大，进而求出即可．
解：（1）如图1，连接OC、OD．
∵弧的度数为60°，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝8cm．
∵CD∥AB，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝π（cm2）；
故答案是：π

（2）如图2，当C，D有一个点与A或B重合时此时阴影部分面积最大，

连接CO，过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB＝8，∴AO＝CO＝4，
∵的度数为60°，
∴∠CAD＝30°，∠COE＝60°，
∴EO＝2，则EC＝2，
∴阴影部分的最大面积为：AO×EC+S扇形COB＝×4×2+＝4+．
故答案是：π+4

【点评】本题考查了扇形面积的计算，判断出△OCD与△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解是解题关键．
三、解答题（第17、18、19、20题每题8分；21题每题10分；第22、23题12分，共66分）
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）将点（5，0），代入y＝﹣x2+mx+5，得其解析式，从而求出m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）利用“将军饮马”思路，点A关于抛物线对称轴l对称的点是点B，进而解决问题．
解：（1）将点（5，0）代入y＝﹣x2+mx+5得，
0＝﹣25+5m+5，m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5
y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；
（2）如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，根据其性质有，
PA+PC＝PC+PB，
当点C、点P、点B共线时，PC+PB＝BC为最小值，即为PA+PC的最小值，
由抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为（5，0），对称轴l为x＝2，
设直线BC的解释为y＝kx+b，将点C（0，5），点B（5，0），代入y＝kx+b得，
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，联立方程，
，解得，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（2，3）．

【点评】本题考查了学生对二次函数的理解，以及利用函数和几何综合知识点解决最值问题，综合性很强，难度相对比较大．
18．当前疫情防控形势严峻，为确保校园平安，某校严格落实测体温进校园的防控要求．每天早上进校园开设了甲，乙，丙三个测温通道．某天早晨，小明和小丽两位同学随机通过测温通道进入校园．
（1）求小明从甲测温通道通过的概率．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）小明从甲测温通道通过的概率为；

（2）列表如下：

甲
乙
丙
甲
（甲，甲）
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（乙，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，丙）
由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种结果，
所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图1，要利用一面墙（墙长为15m）建羊圈，用30m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为xm，羊圈总面积为ym2．
（1）请问能否围成总面积为81m2的羊圈，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
（2）如果两个矩形羊圈各开一个宽1m的门（如图2），在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式并写出x的取值范围，求出羊圈总面积最大值．


【分析】（1）根据题意列出方程，根据根的判别式即可得到结论；
（2）根据矩形的面积公式即可得到结论．
解：（1）根据题意得，x（30﹣3x）＝81，
整理，得x2﹣10x+27＝0，
∵Δ＝100﹣108＝﹣8＜0，
∴此方程无实数根，
∴不能围成总面积为81m2的羊圈；
（2）∵墙长为15m，
∴2≤BC≤15，
∴2≤30﹣3x+2≤15，
解得：≤x≤10，
根据题意，得y＝x（30﹣3x+2），
即所求的函数解析式为：y＝﹣3x2+32x（≤x≤10）．
∵a＝﹣3＜0，在对称轴直线x＝右侧y随x 增大而减小，
∴x＝时，y的最大值为85．
答：羊圈总面积最大值85平方米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意表示长方形的长BC，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．

【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论；
（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．
解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC，
∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴OB＝8，
故⊙O的半径为8；

（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用．
21．我们在学习了《浙教版数学九年级上册》P17探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向AB为x轴，若小明同学以C为顶点求出了函数表达式是；

探究一：
（1）若小红同学以A为顶点求出了函数表达式是 　y＝﹣（x﹣6）2+4　．
（2）在（1）条件下，求出该抛物线在水面AB中的倒影所在抛物线函数表达式为 　y＝（x﹣6）2﹣4　．
（3）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
探究二：
（4）若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m，该圆半径为 　m　．

【分析】探究一：
（1）根据题目中所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据倒影与拱桥关于x轴对称，求出倒影的解析式即可；
（3）把x＝4代入解析式求出y即可；
探究二：
（4）设拱形所在圆的半径为Rm，根据已知条件和垂径定理以及勾股定理求出R即可．
解：探究一：
（1）根据题意设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4，
把A（0，0）代入解析式得：36a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴函数表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）∵物线在水面AB中的倒影与抛物线关于x轴对称，
∴倒影所在抛物线函数表达式为y＝（x﹣6）2﹣4，
故答案为：y＝（x﹣6）2﹣4；
（3）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞；
探究二：
（1）设OB＝Rm，则OD＝（R﹣4）m，

由垂径定理得AD＝BD＝6，
在Rt△OBD中：
∵OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣4）2+62＝R2，
∴R＝＝，
故答案为：m．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
22．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（y﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【分析】（1）由抛物线解析式求出顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解．
（2）由点B坐标求出b的值，然后求出点A坐标，进而求解．
（3）由A坐标求出AB直线解析式，由点M在△AOB内求出b的取值范围，分类讨论求解．
解：（1）点M在直线y＝4x+1上，理由：
∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，
得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）如图1，
直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5），
又B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，
解得b＝2，
二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）把A（5，0）代入y＝mx+5得，
0＝5m+5，
解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x+5，
∵M（b，4b+1）在△AOB内部，
∴，
解得0＜b＜，
当点C，D关于对称轴对称时，b＝＝，
∴0＜b＜时，y1＞y2，
b＝时，y1＝y2，
＜b＜，y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O的弧AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若AC⊥BC，试说明AD、BD与CD之间是否存在某种确定的等量关系？请画图（非尺规作图），写出你的结论并证明．
（3）若AD+BD＝CD，则∠ACB＝　120°　．

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，再根据等腰三角形的性质求出∠BCA＝∠DCE，然后求出∠BCD＝∠ACE，再利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，根据全等三角形的证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC＝45°，然后求出∠ADC＝45°，从而求出△CDE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答；
（3）如图中，作CM⊥BD于M，CN⊥DE于N．根据全等三角形的性质得到AN＝BM，求得cos∠CDM＝，根据三角函数的定义得到∠CDM＝30°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：根据圆周角定理，∠ABC＝∠ADC，
∵AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCA＝180°﹣2∠ABC，∠DCE＝180°﹣2∠ADC，
∴∠BCA＝∠DCE，
∴∠BAC﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：AD+BD＝CD．
理由：∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∵CE＝CD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵DE＝AD+AE＝AD+BD，
∴AD+BD＝CD；
（3）解：如图中，作CM⊥BD于M，CN⊥DE于N．

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠DCB＝∠CAB，∠ADC＝∠CBA，
∴∠CDE＝∠CDB，
在△CDM和△CDN中，
，
∴△CDM≌△CDN（AAS），
∴DM＝DN，CM＝CM，
在Rt△CMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△CMB≌Rt△CN（HL），
∴AN＝BM，
∴AD+BC＝AD+DM+BM＝AD+DM+AN＝DN+DM＝2DM，
∵AD+BD＝CD，
∴2DM＝CD，
∴＝，
∴cos∠CDM＝，
∴∠CDM＝30°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴∠ACB＝120°．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理以及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠BCD＝∠ACE是解题的关键．