【备战2023高考】数学考点全复习——第68讲《统抽样方法、统计图表、用样本估计总体》精选题（新高考专用）

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第68讲 统抽样方法、统计图表、用样本估计总体【基础知识回顾】  一、抽样方法1. 简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中                   抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：                   和                   ．2. 分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成                    的层，然后按照                   从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由                   组成时，往往选用分层抽样．3. 两种抽样方法的区别与联系： 类别简单随机抽样分层抽样共同点抽样过程中每个个体被抽到的机会均等，不放回抽样 各自特点从总体中逐个抽取将总体分n层，分层进行抽取适用范围总体中个体数较少总体由差异明显的几部分组成二、总体分布特征数的估计1. 总体分布(1)频率分布表：当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反映总体频率分布的表格称为                   ．(2)频率分布直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．(3)频率分布折线图：如果将频率分布直方图中，各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图．频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．4. 总体特征数的估计(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，由此可以估计中位数的值．(2)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标．(3)平均数及其估计：平均数是直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．平均数x＝                        ．(4)方差与标准差标准差s＝                    .、方差s2＝                   ．5、频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是                   .(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为                   2.1、某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. 33，34，33  B. 25，56，19C. 20，40，30  D. 30，50，202、一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为(　　)A. 4  B. 8  C. 12  D. 163、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)A．200,20  B．100,20C．200,10  D.100,104、给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据(　　)A．众数为2   B．平均数为2.5C．方差为1.6   D．标准差为45、若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均数和标准差分别为(　　)A.，sB．4－3，sC．4－3,4sD．4－3，考向一　抽样方法例1　要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：                   ．注：下面抽取了随机数表第1行至第5行．03 47 43 73 86　36 96 47 36 61　46 98 63 71 62　33 26 16 80 45　60 11 14 10 9597 74 24 67 62　42 81 14 57 20　42 53 32 37 32　27 07 36 07 51　24 51 79 89 7316 76 62 27 66　56 50 26 71 07　32 90 79 78 53　13 55 38 58 59　88 97 54 14 1012 56 85 99 26　96 96 68 27 31　05 03 72 93 15　57 12 10 14 21　88 26 49 81 7655 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30  变式1、下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A. 0  B. 1  C. 2  D. 3变式2、.下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B.“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑变式3、.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)A.，   B.，   C.，    D.，方法总结：简单随机抽样的两种方法(1)抽签法，抽签法的步骤是：①将总体中的N个个体编号；②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．(2)随机数表法，随机数表法的步骤是：①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；②在随机数表中任选一个数作为开始；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；④根据选定的号码抽取样本．考向二 总体分布的估计例2、市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3 600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．(用频率估计概率)(1)根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支，若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的数量；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．      变式1、某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数频率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07总计2001.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？      变式2、某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.          方法总结：　本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目．图表题作为一道应用题，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力．频率分布直方图的两个要点：(1)各个小矩形的面积之和等于1，各个小矩形的面积为各组的频率，小矩形的高为.(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．考向三  统计图表例3、已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)A.240，18    B.200，20C.240，20    D.200，18变式1、某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是(　　)A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8，9月份D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳变式2、(1)(2022·蚌埠质检)自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次全国人口普査，下图为我国历次全国人口普査人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是(　　)A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B．我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C．第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D．第七次人口普查时，我国总人口性别比最高（2）(2022·邯郸模拟)构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是(　　)A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大 方法总结：统计图表的主要应用扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；折线图：描述数据随时间的变化趋势；条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；1、【2022年全国甲卷】某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（       ）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差2、（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（       ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差3、（2022·河南·模拟预测）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：根据以上信息：下列推断合理的是（       ）A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化B．改进生产工艺后，D级产品的数量减少C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少D．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍4、（2021年全国高考甲卷数学（理））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 5、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样数据的样本极差相同6、（2020年高考天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为A．10      B．18     C．20      D．367、（2020年高考江苏）已知一组数据的平均数为4，则的值是            ．8、（2019年高考江苏卷）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．