【备战2023高考】数学考点全复习——第70讲《随机变量及其概率分布、均值与方差》精选题（新高考专用）

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第70讲 随机变量及其概率分布、均值与方差【基础知识回顾】  1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有                   与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称                   P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②                   ＝1.4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝                   ＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝                   为随机变量X的方差，并称                   为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝                   .(2)D(aX＋b)＝                   (a，b为常数).1、某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是(    )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3       B. 4         C. 5      D. 6 2、某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为(            )A.         B.          C.        D. 3、某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是(　　)A.   B.C.   D.4、某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差V(ξ)＝________． 5、已知随机变量X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为　　　　考向一　分布列的性质例1、(1)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m①求2X＋1的分布列；②求随机变量η＝|X－1|的分布列.      变式 (1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)A.   B.    C.     D.(2)(多选)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P则下列各式不正确的是(　　)A.P(ξ<3)＝     B.P(ξ>1)＝C.P(2<ξ<4)＝    D.P(ξ<0.5)＝0方法总结：分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.考向二  离散型随机变量的均值与方差例2、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ).        变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量的取值为、、，，，则______.变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.                       变式2、某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.         方法总结：　求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤：①判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值；②探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率；③写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确；④求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度．考向三 均值与方差的性质的应用例3、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若则（    ）A．E(ξ)随着x的增大而增大，D (ξ)随着x的增大而增大B．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大C．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小D．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小变式1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）某射手射击所得环数的分布列如下：78910已知的数学期望，则的值为（    ）A． B． C． D．变式2、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知随机变量X的分布列如下：若随机变量Y满足，则Y的方差（    ）A． B． C． D． 方法总结:掌握下述有关均值与方差的常用性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D (aξ＋b)＝a2 D (ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．1、（2020年高考浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______．2、（2019年高考浙江卷）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时，A．增大         B．减小C．先增大后减小       D．先减小后增大3、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A．0.7  B．0.6C．0.4  D．0.34、（2018年高考浙江卷）设，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小  B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大  D．D（ξ）先增大后减小 5、【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．      6、【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.