2023渭南华州区咸林中学高三上学期第二阶段考试理科数学试题含解析

咸林中学2022-2023学年度第一学期第二阶段考试

高三数学（理）试题

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合＝（）

A. [﹣1，5） B. （﹣1，5） C. （1，4] D. （1，4）

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合A，再根据补集和交集的运算即可得出答案.

【详解】解：因为集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥4}，

又B＝{x|1＜x＜5}，

所以＝（﹣1，4），

则集合＝（﹣1，5）.

故选：B.

2. 设，命题“若，则或”的否命题是（）

A. 若，则或

B若，则或

C. 若，则且

D. 若，则且

【答案】C

【解析】

【分析】根据否命题的定义直接可得.

【详解】根据否命题的定义可得命题“若，则或”的否命题是若，则且，

故选：C.

3. 函数的定义域为

A. [－2，0)∪(0，2] B. (－1，0)∪(0，2]

C. [－2，2] D. (－1，2]

【答案】B

【解析】

【详解】x满足，即. 解得－1<x<0或0<x≤，选B

4. 函数的图象大致为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用的奇偶性和特殊值，，即得解

【详解】由题意，的定义域为，

，故为奇函数，排除C；

，排除A，，排除B.

故选：

5. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为直线的倾斜角是，,

所以终边落在直线上的角的取值集合为:

或者.

故选D.

6. 在中，下列结论错误的是　　

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，利用诱导公式逐一分析四个选项得答案．

【详解】解：在中，有．

则；

；

；

．

错误的是D．

故选D．

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题．

7. ＝（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函数的切化弦结合正弦二倍角以及辅助角公式对函数化简即可得答案．

【详解】解：

．

故选：A

8. 函数的单调递减区间是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出函数的定义域以及真数的单调增减区间，根据复合函数的单调性再写出函数的单调减区间即可.

【详解】解：的定义域为：，解得：.

令，对称轴为，单调增区间为，减区间为

为单调递增函数，所以单调递减区间为.

故选：D

9. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

10. 已知函数的图像的一个对称中心为，则下列说法不正确的是（）

A. 直线是函数的图像的一条对称轴

B. 函数在上是减少的

C. 函数的图像向右平移个单位长度可得到的图像

D. 函数在上的最小值为

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，根据余弦的和角公式，整理函数，由余弦型函数对称中心的计算公式，求出参数，结合余弦函数的性质以及整体思想，可得答案.

【详解】∵的图像的一个对称中心为，

∴，∴.

∵，∴.则.

∵，

∴直线是函数的图像的一条对称轴，故A正确；

当时.，∴函数在上是减少的，故B正确；

函数的图像向右平移个单位长度，

得到的图像，故C错误；

当时，，

∴函数在上的最小值为，故D正确.

故选：C.

11. 已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．

【详解】对任意，，均有成立，

此时函数在区间为减函数，

是偶函数，

当时，为增函数，

又在为增函数，

所以，

又，所以，

所以，

即.

故选：B．

12. 已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出导函数，由在上有两个不等的实根，再转化为确定函数的单调性与极值，从而得参数范围．

【详解】，由题意在上有两个不等实根，

，设，则

时，，递增，时，，递减，

所以极大值，又时，，时，，时，，

所以，即．

故选：C．

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________.

【答案】0

【解析】

分析】利用诱导公式化简每一个式子，再把已知代入即得解.

【详解】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，

所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，

sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.

所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.

故答案为：0

14. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意，根据弧度制的概念，结合扇形的面积公式，可得答案.

【详解】∵，∴，∴扇形面积.

故答案为：.

15. 已知函数，若，则实数的取值范围是______．

【答案】；

【解析】

【分析】首先根据题意得到为奇函数，且在上为增函数，从而将不等式转化为，再解不等式即可.

【详解】因为，定义域为，

，所以为奇函数.

又因为在上为增函数，

所以，

即，，解得：.

故答案为：

16. 已知函数（且）的图像过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于___________.

【答案】

【解析】

【分析】由指数函数性质求定点P的坐标，再根据三角函数定义得，最后应用诱导公式、三角恒等变换化简求值即可.

【详解】由题设知：过定点，故，

所以.

故答案为：

三､解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 在中，内角所对的边分别为.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，

进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.

由，及余弦定理，得.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.

由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，

，故

.

考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

18. 已知是等差数列，是等比数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，列方程组求得，得到，根据，求得，，得到.

（2）由（1）得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.

【小问1详解】

解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，解得，所以，

又由，可得，所以，

所以.

【小问2详解】

解：由（1）知，，所以，

设数列的前n项和为，

可得.

19. 甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，己知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.

（1）求的概率；

（2）求甲队和乙队得分之和为4的的概率.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；

（2）由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案.

【小问1详解】

，则甲队有两人答对，一人答错，

故.

【小问2详解】

设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则.

，

，

，，

，

∴

.

20. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，E为上一点，.

（1）求证：平面；

（2）在侧棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理得到，再利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再假设存在，求得，由求得，即是的中点，可使得平面.

【小问1详解】

，

，

，

又面，

平面.

【小问2详解】

点为原点，以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

故, ，

设平面的法向量，则

，即，令，则，

故则，

假设侧棱上存在一点, 且，使得平面, 即，

又因为，

故，即，

所以存在的中点, 使得平面．

21设函数， ．

（1）求的单调区间和极值；

（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.

【解析】

【详解】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.

试题解析：（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

与在区间上的情况如下：

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

在处取得极小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.

因存在零点，所以，从而.

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点.

当时，在区间上单调递减，且，，

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.

22. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),直线的参数方程为 (为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程

（2）若直线与曲线的两个交点分别为,直线与轴的交点为,求的值.

【答案】（1），；（2）1.

【解析】

【详解】分析：(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－1＝0．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．化为极坐标即ρ＝4sinθ．

(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋1＝0，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．

详解：(1)直线l的参数方程为(为参数)，

消去参数t，得x＋y－1＝0．

曲线C的参数方程为 (θ为参数)，

利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．

令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．

(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．

把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，

∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．

由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．

点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.