2023-2024学年江苏省南通市崇川区第一初级中学九年级（上）10月月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市崇川区第一初级中学九年级（上）10月月考数学试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，一定为二次函数的是( )
A. y=2x−1B. y=ax2+bx+cC. y=x2+1xD. s=3t2−2t+1
2.下列说法错误的是( )
A. 直径是圆中最长的弦B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆D. 半径相等的两个半圆是等弧
3.在平面直角坐标系中，如果将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+1)2+2B. y=3(x−1)2+2
C. y=3(x−1)2−2D. y=3(x+1)2−2
4.如图，在⊙O中，∠BOC=130°，点A在BAC⌢上，则∠BAC的度数为( )
A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°
5.抛物线y=12x2−x−4的顶点是
( )
A. 1,3B. −1,−3C. −1,3D. 1,−4.5
6.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D.则AB的长为( )
A. 5B. 10C. 5 2D. 10 2
7.若点M−3,y1，N−1,y2，P9,y3在抛物线y=−12x2+2x上，则下列结论正确的
( )
A. y18.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为
( )
A. 5B. −3C. −13D. −27
9.二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是
( )
A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0
10.如图，已知，在正方形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP.将AP绕点A逆时针旋转90∘至AP′，连接BP′.在点P移动过程中，BP′长度的最小值是( )
A. 4 2−1B. 4 2C. 4 3D. 3
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11.二次函数y=5x2−2x的图象的对称轴是 ．
12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121∘，则∠BAD的度数为 ∘．
13.二次函数y=2x2−4x+3的图象绕其顶点旋转180°后所得图像的解析式是 ．
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t−5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行___ __m才能停下来．
15.已知抛物线y=x2−(k−1)x−3k−2与x轴交于两点A(α,0)，B(β,0)，且α2+β2=17，则k= ．
16.⊙O的半径为13cm，弦AB/​/CD，AB=10cm，CD=24cm，则AB与CD之间的距离是 ．
17.如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc>0；③a>c；④4a−2b+c>0，其中正确的有 (填序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
已知点A4m+t−1,n，点Bt+3,n都在关于x的函数y=−14x2+mx−m2−4m+3的图象上，且−219.(本小题8.0分)
已知y=k+2xk2−7是关于x的二次函数．
(1)若函数有最小值，求k的值；
(2)判断点P− 3,6是否在(1)中的函数图象上．
20.(本小题8.0分)
如图，A，B是⊙O上的两点，C是AB⌢的中点．求证：∠A=∠B．
21.(本小题8.0分)
一座拱型桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米，大雨过后，桥下水面宽度EF是12米，求水面上涨了多少米？若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中(如图)，可设抛物线的表达式为y=ax2+c，请你求出此时水面上涨了多少米？
22.(本小题8.0分)
如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，BD=8，OF= 5．
(1)求AB的长；
(2)求OE的长．
23.(本小题8.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−1,0，点B3,0，且OB=OC．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线的顶点，求▵BCD的面积．
24.(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．

(1)试判断▵ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB= 2，AD=1，求CD与BD的长度．
25.(本小题8.0分)
红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件)．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．
26.(本小题8.0分)
定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和小于或等于nn≥0的点，叫做这个函数图象的“n阶近距点”.例如，点15,15为函数y=x图象的“12阶近距点”；点1,−1为函数y=x2−2图象的“2阶近距点”．
(1)在①1,3；②0,1；③−14,12三点中，是一次函数y=2x+1图象的“1阶近距点”的有______、填序号)；
(2)若y关于x的一次函数y=kx+3k−1的图象的“2阶近距点”不止一个，求k的取值范围；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、y=2x−1，是一次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，不符合题意；
C、y=x2+1x，含有分式，不是二次函数，不符合题意；
D、s=3t2−2t+1，是二次函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查判断是否是二次函数，熟练掌握二次函数的定义：形如y=ax2+bx+ca≠0，这样的函数叫做二次函数，是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．
【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】二次函数y=3x2的图象向左平移1个单位所得函数解析式为：y=3(x+1)2；
二次函数y=3(x+1)2的图象沿y轴向上平移2个单位所得函数解析式为：y=3(x+1)2+2．
故选A
4.【答案】B
【解析】【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解：∵∠BOC=130°，点A在BAC⌢上，
∴∠BAC=12∠BOC=65∘,
故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】解：y=12x2−x−4=12x−12−4.5；
∴顶点坐标为1,−4.5；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是把一般式转化为顶点式．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=5 2，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．
7.【答案】C
【解析】【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
【详解】解：x=−3时，y=−12x2+2x=−12×−32+2×−3=−10.5
x=−1时，y=−12x2+2x=−12×−12+2×−1=−2.5
x=9时，y=−12x2+2x=−12×92+2×9=−22.5
∵−22.5<−10.5<−2.5
∴y3故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：x=−4和x=−2的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为x=−4−22=−3，
∴x=1和x=−7的函数值相同，为−27；
故选D．
【点睛】本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴．
9.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的定义得到k≠0，根据Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数可得到Δ=−62−4k⋅3>0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个交点，
∴k≠0且Δ=−62−4k⋅3>0，
∴k<3且k≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】A
【解析】【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明▵PAB≌▵P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
【详解】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP=AP′,∠PAP′=90∘，
∴∠PAB+∠BAP′=90∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90∘，
∴∠BAP′+∠DAP′=90∘，
∴∠PAB=∠DAP′，
在▵PAB和△P′AD中，
AB=AD∠PAB=∠DAP′AP=AP′
∴▵PAB≌▵P′ADSAS，
∴P′D=PB=1，
在Rt▵ABD中，∵AB=AD=4，
由勾股定理得：BD= 42+42=4 2，
∴BP′=BD−P′D=4 2−1，
即BP′长度的最小值为4 2−1．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值．
11.【答案】直线x=15
【解析】【分析】利用二次函数y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是：直线x=−b2a，运用对称轴公式即可求解．
【详解】解：∵y=5x2−2x，
∴a=5，b=−2，
∴二次函数图象的对称轴是：直线x=−b2a=−−22×5=15．
故答案为：直线x=15．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴，解题的关键是掌握二次函数对称轴的公式．
12.【答案】59
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
∵∠BCD=121∘，
∴∠BAD=59∘，
故答案为：59．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】y=−2x2+4x−1
【解析】【分析】利用旋转性质，形状顶点不变，开口大小不变，由于转转180º，开口向下，a变负，为此先把原抛物线解析式配方变顶点式即可．
【详解】y=2x2−4x+3=2(x−1)2+1，
抛物线的顶点为(1,1)，
抛物线y=2x2−4x+3绕顶点旋转180º，
开口向下，开口大小不变，顶点不变，
则所求抛物线解析式为y=−2(x−1)2+1=−2x2+4x−1，
抛物线解析式为y=−2x2+4x−1，
故答案为：y=−2x2+4x−1．
【点睛】本题考查旋转后抛物线解析式问题，关键是掌握旋转不变形顶点不变，开口大小不变，只是开口方向改变，会利用不变形解决抛物线顶点问题，利用开口方向与大小确定a，是问题得以解决．
14.【答案】20
【解析】【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值．
则变形s=−5(t−2)2+20，
所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．
15.【答案】2
【解析】【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到α+β=k−1，αβ=−3k−2，再由完全平方公式即可得到关于k的一元二次方程，求出k的值即可．
【详解】∵抛物线y=x2−(k−1)x−3k−2与x轴交于A (α,0)，B(β,0)两点，
∴α+β=k−1，αβ=−3k−2，
∵α2+β2=17，
∴α2+β2=(α+β)2−2αβ=(k−1)2−2(−3k−2)=17，
解得，k=2或k=−6，
∵△≥0，
∴k=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知一元二次方程的根与系数的关系及完全平方公式是解答此题的关键．
16.【答案】17cm或7cm
【解析】【分析】首先作AB、CD的垂线EF，然后根据垂径定理求得CF=DF=12cm，AE=BE=5cm，在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，利用勾股定理求得OE、OF的长度；最后根据图示的两种情况计算EF的长度即可．
【详解】解：有两种情况．如图．过O作AB、CD的垂线OE，OF，交AB于点E，交CD于点F．
∴EF就是AB、CD间的距离．
∵AB=10cm，CD=24cm，
根据垂径定理，得CF=DF=12cm，AE=BE=5cm，
∵AO=CO=13cm，
∴在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，
∴OE= OA2−EA2=12cm，OF= OC2−CF2=5cm，
∴①EF=12−5=7cm②EF=12+5=17cm．
故答案是：17cm或7cm．
【点睛】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，解题关键是要进行分类讨论．
17.【答案】②③④
【解析】【分析】根据抛物线与x轴有2个交点可得Δ=b2−4ac>0，进而可判断①错误；根据对称轴在y轴的左侧可得ab>0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方可得c>0，进而可判断②正确；由x=−1时，y<0可得a−b+c<0，然后求出b=2a，进而可判断③正确；根据二次函数的对称性可得x=−2时，y>0，然后可判断④正确．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，即b2>4ac，①错误；
②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，②正确；
③∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∵对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∴a−2a+c<0，
∴a>c，③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴x=−2和x=0时的函数值相等，即x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0，④正确；
正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系．
18.【答案】【空1】
−13
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴，求出t的值，进而得到n关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵y=−14x2+mx−m2−4m+3，
∴对称轴为：x=−m−12=2m，
∵点A4m+t−1,n，点Bt+3,n都在抛物线上，且函数值相同，
∴两个点关于对称轴对称，
∴4m+t−1+t+3=2⋅2m，解得：t=−1；
∴B2,n，
∴n=−14×22+2m−m2−4m+3=−m+12+3，
∵−1<0，对称轴为m=−1，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵−2∴当m=−1时，n有最大值为3，当m=3时，n有最小值为：−16+3=−13；
∴−13故答案为：−13【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出t的值．
19.【答案】(1)解：∵y=k+2xk2−7是关于x的二次函数
∴k+2≠0,k2−7=2
∴k=±3
∵二次函数有最小值，则k+2>0，
∴k=3；
(2)解：∵y=5x2，
∴当x=− 3时，y=5x2=5×− 32=15≠6
∴点P− 3,6不在此函数图象上．

【解析】【分析】(1)先根据二次函数的定义求出m的值；
(2)把x=− 3代入二次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在二次函数图象上，否则不在．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
20.【答案】证明：连接OC．
∵C是AB⌢的中点，
∴AC⌢=BC⌢，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC≌ △BOC(SAS)，
∴ ∠A=∠B．

【解析】【分析】连接OC，由C是AB⌢的中点，得到AC⌢=BC⌢，则∠AOC=∠BOC，然后证明△AOC≌ △BOC即可得到∠A=∠B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等．
21.【答案】由题意“拱高CD是4米”可知抛物线顶点坐标为D(0,4)，
设抛物线解析式为：y=ax2+4，
由AB=16得OB=8，
将点B8,0代入抛物线解析式，得：64a+4=0，
解得：a=−116，
∴抛物线解析式为：y=−116x2+4
由桥下水面宽度EF=12可得，
当x=6时，y=−116×62+4=74
∴此时水面上涨了74米．

【解析】【分析】根据拱高可设抛物线解析式为：y=ax2+4，然后将B8,0代入可求得抛物线的解析式为y=−116x2+4，再计算x=6时函数的值即可．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是巧设抛物线的解析式．
22.【答案】(1)解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90∘，
∵OF⊥BC，
∴∠ABC=∠OFC=90∘，
∴AB//OF，
∴AB=2OF=2 5；
(2)解：∵BD⊥AO，BD=8，
∴BE=12BD=4，
在中根据勾股定理可得，
AE= AB2−BE2= (2 5)2−42=2，
在中根据勾股定理可得，
OB2=BE2+(OA−AE)2，
即r2=42+(r−2)2，
解得：r=5，
OE=5−2=3．

【解析】【分析】(1)根据中位线定理即可得到答案；
(2)根据垂径定理得到BE，在中根据勾股定理求出AE，在中根据勾股定理求出半径即可得到答案．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是应用两次勾股定理求半径．
23.【答案】(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A−1,0，点B3,0，且OB=OC．
∴OC=OB=3，
即C0,3，
设抛物线解析式为y=ax+1x−3，将0,3代入得，
−3a=3
解得：a=−1，
∴抛物线解析式为y=−x+1x−3=−x2+2x+3
(2)解：∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴D1,4，
如图所示，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，

设直线BC的解析式为y=kx+3，将3,0代入得0=3k+3，
解得：k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
当x=1时，y=2，
∴E1,2，
∴DE=4−2=2，
∴S▵CDB=12DE×OB=12×2×3=3．

【解析】【分析】(1)根据已知得出点C0,3，进而待定系数法求解析式即可求解．
(2)根据解析式化为顶点式求得D1,4，待定系数法求得直线BC的解析式，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，则E1,2，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：▵ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90∘，
∵∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等)，
又∠ADB=∠CDB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=BC，
∴▵ABC是等腰直角三角形；
(2)∵▵ABC是等腰直角三角形，AB= 2，
∴BC=AB= 2,AC= 2AB=2，∠ACB=∠CAB=45∘，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90∘，
∴CD= AC2−AD2= 3，
过点C作CE⊥BD于点E，

∵∠CDB=∠CAB=45∘，
∴CE=DE，
∴CE=DE= 22CD= 62，
∴BE= BC2−CE2= 22，
∴BD=DE+BE= 2+ 62．

【解析】【分析】(1)圆周角定理得到∠ABC为直角，∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠CDB，进而得到∠ACB=∠CAB，即可得出结论；
(2)勾股定理求出AC的长，再用勾股定理求出CD的长，过点C作CE⊥BD于点E，分别利用勾股定理求出DE,BE，即可．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握圆周角定理，是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意，当40≤x≤50时，y=5，
当x>50时，y=5−0.1(x−50)=−0.1x+10，
∵y≥0，
∴−0.1x+10≥0，
解得x≤100，
综上，y=5(40≤x≤50)−0.1x+10(50(2)设该产品的月销售利润为w万元，
①当40≤x≤50时，w=5(x−40)=5x−200，
由一次函数的性质可知，在40≤x≤50内，w随x的增大而增大，
则当x=50时，w取得最大值，最大值为5×50−200=50；
②当50由二次函数的性质可知，当x=70时，w取得最大值，最大值为90，
因为90>50，
所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
(3)∵捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元(大于50万元)，
∴50设该产品捐款当月的月销售利润为Q万元，
由题意得：Q=(x−40−a)(−0.1x+10)，
整理得：Q=−0.1(x−140+a2)2+a240−3a+90，
∵140+a2>70，
∴在50则当x=70时，Q取得最大值，最大值为(70−40−a)(−0.1×70+10)=90−3a，
因此有90−3a=78，
解得a=4．

【解析】【分析】(1)分40≤x≤50和x>50两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据y>0求出x的取值范围；
(2)在(1)的基础上，根据“月利润=(月销售单价−成本价)×月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
(3)设该产品的捐款当月的月销售利润为Q万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得50【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
26.【答案】(1)解①∵1+3>1，
∴(1,3)不是一次函数y=2x+1图像的“1阶近距点”；
②∵0+1=1，
∴(0,1)是一次函数y=2x+1图像的“1阶近距点”；
③∵14+12=34<1，
∴(−14,12)是一次函数y=2x+1图像的“1阶近距点”；
故答案为：②③；
(2)如图作正方形，四个顶点坐标分别为(2,2)，(−2,2)，(−2,−2)，(2,−2)，
①当k>0时，
∵y关于x的一次函数y=kx+3k−1的图象的“2阶近距点”不止一个，
∴当x=−2时，y<2
即−2k+3k−1<2，解得：k<3；
当x=2时，y>−2，即2k+3k−1>−2，解得：k>−15，
∴0②当k<0时，
∵y关于x的一次函数y=kx+3k−1的图象的“2阶近距点”不止一个，
∴当x=−2时，y>−2
即−2k+3k−1>−2，解得：k>−1；
当x=2时，y<2，
即2k+3k−1<2，解得：k<35(舍去)
∴−1综上，若y关于x的一次函数y=kx+3k−1的图象的“2阶近距点”不止一个，则0(3)解：∵二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6=−(x−n)2−2n+6，
∴抛物线的顶点(n,−2n+6)，
∴抛物线的顶点在直线y=−2x+6上运动，
如图3−1中，当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于点H，在x轴的正半轴上截取OF，使得OF=OH，以FH为对角线作正方形EFGH，

当抛物线与正方形EFGH有交点时，二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6图像的存在“n阶近距点”，
∵F(−n,0)，
当抛物线经过点F时，0=−n2−2n2−n2−2n+6，
∴n=−32或n=1(舍去)，
如图3−2中，当抛物线经过F(−n,0)时，

0=−n2−2n2−n2−2n+6，
∴n=−32或n=1(舍去)，
如图3−3中，当抛物线与直线y=x−n相切时，

y=−x2+2nx−n2−2n+6y=x−n,
∴x2+(1−2n)x+n2+n−6=0，
∵▵=0，
∴(1−2n)2−4(n2+n−6)=0，
∴n=258，
∵二次函数图像的“n阶近距点”不存在，
n的取值范围为：−32258．

【解析】【分析】(1)根据题意直接代入判断即可得到答案；
(2)如图作正方形，然后分k>0和k<0两种情况，分别根据“2阶方点”不止一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出k的值，并舍去不合题意的值即可得；
(3)二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6=−(x−n)2−2n+6，得到抛物线的顶点(n,−2n+6)，推出抛物线的顶点在直线y=−2x+6上运动，当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于点H，在x轴的正半轴上截取OF，使得OF=OH，以FH为对角线作正方形EFGH，当抛物线与正方形EFGH有交点时，二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6图像的存在“阶近距点”求出三种特殊位置的值，即可判断．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图像的交点问题是解题的关键．
x
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y
−27
−13
−3
3
5
3