专题6-1 数列递推与通项公式22种归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题6-1 数列递推与通项公式22种归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共40页。试卷主要包含了热点题型归纳等内容，欢迎下载使用。
目录
一、热点题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17533" 【题型一】归纳法求通项 PAGEREF _Tc17533 2
\l "_Tc24080" 【题型二】等差等比定义型 PAGEREF _Tc24080 4
\l "_Tc26705" 【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型 PAGEREF _Tc26705 6
\l "_Tc22156" 【题型四】累加法拔高：换元累加型 PAGEREF _Tc22156 7
\l "_Tc28437" 【题型五】累加法拔高：构造 PAGEREF _Tc28437 8
\l "_Tc7485" 【题型六】累积法 PAGEREF _Tc7485 9
\l "_Tc1834" 【题型七】前n项和型 PAGEREF _Tc1834 11
\l "_Tc6432" 【题型八】二阶等比 PAGEREF _Tc6432 12
\l "_Tc11576" 【题型九】二阶等差数列 PAGEREF _Tc11576 13
\l "_Tc10097" 【题型十】sn与an型：消sn型 PAGEREF _Tc10097 14
\l "_Tc6131" 【题型十一】sn与an型：消an型 PAGEREF _Tc6131 15
\l "_Tc24790" 【题型十二】分式倒数递推 PAGEREF _Tc24790 16
\l "_Tc20262" 【题型十三】新数列前n项和型 PAGEREF _Tc20262 18
\l "_Tc8384" 【题型十四】高次幂取对数型 PAGEREF _Tc8384 19
\l "_Tc12291" 【题型十五】二阶含n等比数列型 PAGEREF _Tc12291 20
\l "_Tc10488" 【题型十六】二阶含n等差数列型 PAGEREF _Tc10488 21
\l "_Tc28937" 【题型十七】因式分解型 PAGEREF _Tc28937 22
\l "_Tc19062" 【题型十八】三阶递推 PAGEREF _Tc19062 23
\l "_Tc2558" 【题型十九】前n项积求通项 PAGEREF _Tc2558 24
\l "_Tc1513" 【题型二十】函数型递推 PAGEREF _Tc1513 25
\l "_Tc18638" 【题型二十一】周期数列 PAGEREF _Tc18638 27
\l "_Tc27043" 【题型二十二】奇偶讨论型 PAGEREF _Tc27043 28
\l "_Tc25164" 二、真题再现 PAGEREF _Tc25164 29
\l "_Tc24516" 三、模拟检测 PAGEREF _Tc24516 34
综述：
数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。
【题型一】归纳法求通项
【典例分析】
（2021·全国·高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
（1） __________
1 6 11 16 ( )
（2） __________
1 4 7 10 ( )
（3） __________
3 8 15 24 ( )
【答案】 21 13 35
【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.
【详解】（1）设第个图形的点数为，第个图形有5个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算5次，则，；
（2）设第个图形的点数为，第个图形有3个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算3次，则，；
（3）设第个图形的点数为，由图可知，第个图形横方向上有个点，竖方向上有个点，则，.
2.（2021·江苏·高三专题练习）数列的一个通项公式为________.
【答案】
【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.
【详解】，，，，
一个通项公式为：.故答案为：.
【变式演练】
1.（2021·全国·高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．
【答案】
【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。
【详解】第一图点数是1；第二图点数 ;第三图是 ；第四图是
则第个图点数
故答案为：
2.（2018·全国·高三课时练习）若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：把分别代入A，B，C，D四个选项，A，B，C均成立．在中，，，，故D不成立，故选D．
3.（2018·上海市杨浦高级中学高三期末）已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用赋值法逐项排除可得出结果.
【详解】对于A选项，，不合乎题意；
对于B选项，，不合乎题意；
对于C选项，，不合乎题意；
对于D选项，当为奇数时，，此时，
当为偶数时，，此时，合乎题意.
故选：D.
【题型二】等差等比定义型
【典例分析】
（2022·全国·高三课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式为________．
【答案】
【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答.
【详解】由得：，而，
于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，
所以数列的通项公式为：.
故答案为：
【变式演练】
1.（2022·河南·模拟预测（文））已知数列是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105，第2项､第4项､第8项成等比数列，则它的通项公式为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出方程组求解首项与公差即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由题意可得,
解得，所以.故选：C
2.（2019北京·临川学校高三阶段练习（理））成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设成等差数列的三个正数为，，，即有，解得，由题意可得，8，成等比数列，即有，解得（舍去），可得公比为2，则数列的通项公式为，故选A.
3.（2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习（文））数列的各项都是正数，，，那么此数列的通项公式为________．
【答案】
【分析】，，即，可得：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】解：，，即，
数列是等差数列，公差为2，首项为4．，，
．故答案为：．
【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意列方程组求出，从而可求出，然后利用累加法可求出数列的通项公式
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，所以，因为，
所以，所以，，，……，，
所以，因为，所以，故选：B
【变式演练】
1.（2020·湖南·长郡中学三模（文））已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用题意可得，再利用累加法即可得到通项公式.
【详解】设等比数列的公比为，∵等比数列满足，∴，∴，
又成等差数列∴，即，
∴，∴，∴∴
.故选B
2.（2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中）在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.
【答案】
【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.
【详解】，故.
.故答案为：.
【题型四】累加法拔高：换元累加型
【典例分析】
在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
全国Ⅰ卷2021届高三高考临考仿真冲刺卷数学（文）试题（四）
【答案】D
【详解】由题意得，，则，…，，
由累加法得，，即，
则，所以，故选：D
【变式演练】
1.已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和
【答案】C【详解】
令，则，又，所以，，， ，，
所以累加得，所以，
所以，
所以当时，，当时，，即，当时，，
即，所以数列的最小项为和，故选：C.
2.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.

【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以.因为，，…，，所以，于是.
当时，，所以.
（2）因为，所以是递增数列.
因为，，，，，
所以，，，，，
于是所有正整数的取值集合为.
【题型五】累加法拔高：构造
【典例分析】
已知数列满足，，则数列的通项公式____．
人教A版（2019） 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 数列 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式
【答案】【详解】易知，由，得，∴，∴．
∴当时，有，，．．．．．．，
将以上个等式相加得，又，
∴，经验证，当时符合上式，∴．
【变式演练】
1.已知数列满足，则______.

【答案】2020【详解】因为，所以，
式子两端除以，整理得：，即为常数列.
因为，所以，所以，所以.
故答案为：2020
2.已知数列满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2

【答案】C【详解】因为，所以，即，则
，
当时，上式成立，故，，设，
则，
故数列是单调递增数列，则当时，即的最小值为1.故选：C.
【题型六】累积法
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.
【详解】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
【变式演练】
1.（2020·上海黄浦·高三期末）已知数列（）满足，且，则通项公式________.
【答案】
【解析】由，得，再由累乘法求，注意验证时是否成立.
【详解】由，得当时，.,
以上各式两端分别相乘，得
,即，，.
又，适合上式..故答案为：.
2.（2020·广东·广州市天河外国语学校高三期中）若数列满足则数列的通项公式____________.
【答案】
【解析】利用累乘法求出数列的通项公式；
【详解】解：，
故答案为：
【题型七】前n项和型
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习（文））数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，及等比中项的性质计算可得；
【详解】解：因为
所以当时，．由，，成等比数列，则，解得，此时；当时，满足上式，所以，
故选：D．
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，则的通项公式为______
【答案】
【分析】根据与的关系即可求解.
【详解】当时，，
当时，，
另时，，此式不满足，
所以的通项公式为.
故答案为：.
2.（2021·天津市红桥区教师发展中心高三期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式是______.
【答案】
【分析】根据求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列的通项公式.
【详解】解：当时，，所以，
当时，，即得到，
因为①，所以当时，②，①②得，
当时，不满足，所以，故答案为：.
【题型八】二阶等比
【典例分析】
（2019·浙江·余姚中学高三阶段练习）已知数列满足，，则通项公式_______.
【答案】
【分析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,,即,再检验时是否符合即可
【详解】由题,因为,所以,所以,
当时,,所以,所以当时,,则,即,
当时,,符合,所以,故答案为:
【变式演练】
1.（2021·贵州·遵义市第五中学高三阶段练习）设数列满足，，则的通项公式___________.
【答案】
【分析】依题意得，所以是等比数列，进而可得结果.
【详解】由得，又，
所以，数列是首项为1，公比为的等比数列.
则，所以.故答案为：
2.（2021·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知数列{an}中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），，则数列{an}通项公式an为
A．3n﹣1B．3n+1﹣8C．3n﹣2D．3n
【答案】C
【详解】在an=3an﹣1+4两边同时加上2，得an+2=3an−1+6=3(an−1+2)，
根据等比数列的定义，数列{an+2}是等比数列，
且公比为3.以a1+2=3为首项．等比数列{an+2}的通项an+2=3⋅3n−1=3n，移向得an=3n−2.故选C.
【题型九】二阶等差数列
【典例分析】
已知数列an,bn满足a1=1，an+1=1−14an，bn=22an−1，其中n∈N+．
(1)求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式；
(2)略．
【答案】（Ⅰ）an=n+12n; .
试题解析：（Ⅰ）证明：∵bn+1−bn=22an+1−1−22an−1=22(1−14an)−1−22an−1
=4an2an−1−22an−1=2，∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又b1=22a1−1=2，∴bn=2+(n−1)×2=2n，
故∴2n=22an−1，解得an=n+12n．
【变式演练】
1.已知数列有，是它的前项和，且．（1）求证：数列为等差数列.
（2）略.
【答案】（1）公差为6的等差；
【详解】（1）当时，
所以，，两式对应相减得，
所以
又n=2时，所以，
所以，所以数列为等差数列.
2.在数列中，，.
（1）求，；（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【答案】（1）（2）【详解】（1）由题得，，则，即，解得，
又，则，即，解得.
（2）∵，∴，且，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴，∴.
【题型十】sn与an型：消sn型
【典例分析】
（2022·云南·二模（文））已知数列的前n项和为.若，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】根据数列的关系，分讨论，构造等比数列求解.
【详解】由，可知，
当时，，相减可得：，
∴数列从第二项起是以9为首项，以3为公比的等比数列，
当时，不满足.，故答案为：
【变式演练】
1.（2021·江西赣州·一模（理））记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】将已知关系式化为，然后再写出第项的关系式，两式作差何解可得，进而可以求解．
【详解】解：因为，则①
所以②
②①可得，所以，
即，所以，
所以，故答案为：．
2.（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】项和转换可得，可得数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解
【详解】由题意，故 两式相减可得：，
在中，令，可得，即
因此数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列
有故答案为：
【题型十一】sn与an型：消an型
【典例分析】
（2021·江苏·高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________．
【答案】
【分析】由，可得，即可得到是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求出，再根据计算可得；
【详解】解：数列的前n项和为，且满足，整理得：，
故（常数），所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列；所以，
整理得，当时，故，显然不符合，
所以．故答案为：．
【变式演练】
1.（2020·辽宁·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】由代入化简得，故可求，代入即可求解．
【详解】因为，
因为，所以，所以，因为，
所以，．
所以当时，，
又由，符合，故．
故答案为：
2.（2021·全国·高三课时练习）已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【分析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列的通项公式.
【详解】解：，，当时，由，可得，
即.是以为首项，公差为的等差数列..
.当时，.当时，上式成立.
故数列的通项公式为.故答案为：.
【题型十二】分式倒数递推
【典例分析】
（2020·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习（文））在数列中，，且，则其通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先由得出，再由累加法计算出，进而求出.
【详解】解：，，化简得：，
两边同时除以并整理得：，
即，，，…，，
将上述个式子相加得：
……，即，
，又也满足上式，
，.故选：D.
【变式演练】
1.（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，化简得，根据等差数列的定义，得到以数列表示首项为1，公差为的等差数列，求得，进而求得以数列的通项公式.
【详解】由题意，数列满足，取倒数可得，
又由，所以，所以数列表示首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以数列的通项公式为.故选：C.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为，可得数列是等比数列，求其通项公式后可得数列的通项公式.
【详解】由题意，，取倒数得，即，
又，所以，数列是公比为的等比数列，故，
所以.故答案为：.
【题型十三】新数列前n项和型
【典例分析】
.（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则数列的通项公式___________.
【答案】
【解析】当时，，作差即可得到，再利用累乘法求出数列的通项公式即可；
【详解】解：因为①；
当时，②；
①减②得，即，所以，所以，所以
所以，，，……，，
所以，所以，又，所以，当时也成立，所以。故答案为：
【变式演练】
1.（2020·四川·宁南中学高三开学考试（理））数列满足， ，写出数列的通项公式__________.
【答案】
【分析】当时，有，作差可求出，再验证是否成立，即可得出答案.
【详解】当时，由,
所以，
—可得，所以，
当时，，所以，不满足上式，所以.
故答案为：
2.（2019·江苏·高三专题练习）已知，则数列的通项公式________．
【答案】
【分析】将记为，利用，求解出的通项公式，注意验证是否符合时的情况.
【详解】令，则，当时，；
当时，，
∴，∴通项公式.故答案为.
【题型十四】高次幂取对数型
【典例分析】
（2021·全国·高三课时练习）已知数列，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】取对数，化简运算可得，利用累乘法求出，即可求解.
【详解】因为，所以，即，所以，，…，，所以，所以，又，
所以，所以，也符合，所以.故答案为：
【变式演练】
1.（2021·全国·高三课时练习）设正项数列满足，，则数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式．
【详解】原式两边同时取对数，得，
即．设，则，
又，所以是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，所以，所以．故答案为：.
2.（2020·上海市进才中学高三期末）数列中，若，，则的通项公式为________.
【答案】
【分析】两边取对数，化简整理得，得到数列是以为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由，两边取对数，可得，即，
又由，则，所以数列是以为首项，公比为3等比数列，
则，所以.
故答案为：
【题型十五】二阶含n等比数列型
【典例分析】
（2021·全国·高三课时练习）已知数列满足，则数列的通项公式_________.
【答案】
【分析】构造等比数列，利用条件求解出其中的值，再通过等比数列的公比和首项求解出的通项公式，即可求解出的通项公式.
【详解】设①
将代入①式，得，
等式两边消去，得，两边除以，得，则，
代入①式得②
由及②式得，则，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，所以.故答案为.
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．
【答案】
【分析】由，可得，即，从而可得数列是等比数列，从而可得数列的通项公式.
【详解】解：∵，∴即,∴,
且，，则,又，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．∴．故答案为：.
2.（2021·江西·高三阶段练习（理））已知首项为的数列的前项和为，若，则的通项公式为________．
【答案】
【分析】由题知，进而得，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，进而根据等比数列通项公式计算即可.
【详解】解：依题意，，故，
则，又，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，
故，即．答案为：
【题型十六】二阶含n等差数列型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}中，a1＝1，，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】
【分析】根据已知可得是等差数列，即可求出通项公式.
【详解】∵，∴两边同除以，得＝＋1.
又a1＝1，∴是以首项为，公差为1的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝n－，即.故答案为：.
【变式演练】
1.（2017·四川泸州·一模（理））已知数列的前项和（），则数列的通项公式__________．
【答案】
【详解】因，故，以上两式两边相减可得，即，也即，所以，即，应填答案．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式___________
【答案】
【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到.
【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴.故答案为：.
【题型十七】因式分解型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________
【答案】
【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项.
【详解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又满足上式，∴.故答案为：.
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________
【答案】
【分析】由已知条件化简可得，再由递推累乘法可得，最后检验是否符合即可.
【详解】依题意，，所以，
又因为，所以，所以，，
所以，
经检验，也符合上式. 所以.综上所述， .故答案为： .
2..（2023·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
【答案】
【分析】由条件有，由数列为正项数列，即得，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.
【详解】由，则
又数列为正项数列，即，
所以，即
所以。故答案为：
【题型十八】三阶递推
【典例分析】
（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，，且（，），则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】由，得到为等比数列，求得，进而得到，令，化简得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由，可得，即，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，则．
不妨令，则，所以，即，
又由，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以．故答案为：.
【变式演练】
1.（2021·江苏·泰兴市第一高级中学高三期中）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
【答案】
【分析】根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】因为，所以，因此，
因为，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：，因为，所以；又符合上式，所以.故答案为：.
2.（2021·江苏·高三单元测试）在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
【答案】##
【分析】依题意可得，即可得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而得到，再利用累加法计算可得；
【详解】解：由，得．又，，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以，
因为符合上式，所以.故答案为：
【题型十九】前n项积求通项
【典例分析】
（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再根据题意可得,化简为，由此求得答案.
【详解】当 时，，当 时，，即，
故数列为首项为 ，公差为 的等差数列，故 ，故选：D
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）设正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项之积为Tn，且Sn＋Tn＝1，则数列{an}的通项公式是__________.
【答案】
【分析】可先求出，然后由得出数列是等差数列，由等差数列通项公式求出，即得，然后求出，再求得，注意的情形的验证．
【详解】首先，，，时，由得，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，
，所以，适合此式，，，也适合此式，所以．故答案为：．
2.（2021·河南·一模（理））设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】由递推关系可得，求出前几项，可猜想出，再加以验证，利用即可求出.
【详解】当时，，即，则，当时，，，
则，整理可得，则可得，，，，
则猜想，代入检验得，满足猜想，，
，当时，，
.故答案为：.
【题型二十】函数型递推
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习（理））已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解】由题已知是上的奇函数，故，
代入得：， ∴函数关于点对称，令，
则，得到，∵，
，倒序相加可得，
即，故选：C．
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：，
∴函数关于点对称，令，则，得到，
∵，，
倒序相加可得，即，故选：C．
2.（2022·全国·高三单元测试）若()，则数列的通项公式是___________.
【答案】
【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.
【详解】，
，两式相加可得
，
，所以 .故答案为：
【题型二十一】周期数列
【典例分析】
已知数列满足，，，则_________．
江苏省涟水中学2019-20120学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
【答案】-6
【解析】由已知有，所以，所以数列是周期数列，且周期为4，，而，所以。
【变式演练】
1.已知数列中，，则___________.
【答案】【详解】已知数列中，， ()，所以，
，所以数列是周期为的数列，
.故答案为：
2.数列中，，()，表示数列的前项之积，________.

【答案】-3【详解】∵，()，∴，
∴是以3为周期的周期数列，且由2020=3×673+1，∴.故答案为：-3.
【题型二十二】奇偶讨论型
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】.
【分析】先由，得，进一步得到，再分奇偶项来求通项公式即可．
【详解】因为，所以，得．所以当为奇数时，，
当为偶数时，．又，，所以，
所以，，，…，，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，
，，，…，，…构成以为首项，为公差的等差数列．
所以当是奇数时，；当是偶数时，．
故数列的通项公式为．故答案为：.
【变式演练】
1.（2021·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，若，在数列的通项公式为______．
【答案】，
【分析】根据题意，由数列的单调性分析可得：；又由，即，变形分析可得；由此求出和，综合可得答案.
【详解】依题意，单调递增，故；数列单调递减，故，所以；因为，故；同理，所以；又，所以，所以，则，所以数列的通项公式为.故答案为：.
2.已知数列满足，则的前40项和为__________．
福建省霞浦第一中学2018-2019学年高三下学期第一次月考数学（理）试题
【答案】【详解】∵，当n为奇数时,
该数列前项和为．
1.（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,
∴当时，，∴,整理得：,
即,∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
（2）
∴
2.（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
当时，由①，得②，①②得
，又是首项为，公比为的等比数列，；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，由得恒成立即恒成立，
时不等式恒成立；时，，得；
时，，得；所以.
3.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．证明如下：当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．所以，即为常数列，而，所以．故．
［方法四］：
因为，令，则，，
所以．
故．
4.（2017·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和．
【答案】(1) ；(2).
【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】（1）数列满足时,
∴ ∴当时,,上式也成立∴
（2）∴数列的前n项和
5.（2019·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
1.（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高三期中）数列的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数列的特征可知，，即可得到它的一个通项公式．
【详解】根据题意可知，，……，所以．
故选：C．
2.（2022·浙江省杭州学军中学高三阶段练习）在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】利用等比中项得，从而可求公差d，即可得等差数列通项公式.
【详解】解：设等差数列的公差为d，又，，成等比数列，
所以，则，解得：
所以.
故选：D.
3..（2020·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得，∴
，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.
4.已知数列满足，，则__________．
【答案】【解析】因为，所以===
5.已知数列中，，，，则的取值范围是_____________．

【答案】【详解】
由题意得，，即，则，即，
所以，，，…，，
相加得，，故，
因为函数在上单调递增，且当时，，
所以，即的取值范围是.故答案为：.
6.（2022·全国·高三课时练习）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】D
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】由，得，即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．
7.（2020·福建·厦门一中高三阶段练习）已知函数的前n项和满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，，得到答案.
【详解】，当时，；
当时，.故.故选：.
8.（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知首项为1的数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】利用与的关系，得到，再利用待定系数法，进行构造数列，得到为等比数列，进而利用等比通项公式即可求解.
【详解】由题意得，，设，故，则，故，则，即，则数列是首项为，公比为12的等比数列，故，故.故答案为：
9.（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．
【答案】
【分析】根据可得，由此可证得数列是等比数列，由此可得；利用与的关系可求得.
【详解】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
当时，；
当时，；经检验：不满足；故答案为：.
10.（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期末）各项均不为零的数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式为_________．
【答案】
【分析】根据数列的递推关系构造等差数列，利用与的关系即可求出数列的通项公式．
【详解】解：由得，当时，，，，
等式两边同时除以得，即是以3为首项，3为公差的等差数列，
则，即，则，，不满足，，
数列的通项公式，故答案为：．
11.（2019·江西吉安一中高考模拟（理））设数列满足
（1）求证：数列是等差数列；（2）略.
【答案】（1）；.
【详解】（1）
为常数
又数列是以为首项为公差的等差数列.
12.（2021·全国·高三专题练习）数列满足，则数列通项公式为=________.
【答案】
【分析】对递推关系两边取倒数，则可得为等差数列，根据等差数列的通项公式可求出的表达式，从而可得数列的通项公式.
【详解】因为，故，
所以，故是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以.故答案为：.
13.（2021·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知数列满足，．数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】由，得到，两式作差，得到，整理得到，累乘求得，结合的条件，以及，得到数列的通项公式.
【详解】，当时，
当时，，两式相减得：，即，
，，，，累乘得：，所以，
，故答案为：.
14.（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将两边同时取常用对数，即可得数列是以为首项，2为公比的等比数列，从而求得数列的通项公式.
【详解】易知，且，在的两边同时取常用对数，得，
故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，故选:C．
15..（2021·全国·高三专题练习）若数列满足，，则数列的通项公式________.
【答案】
【解析】由，可得，设，即，先求出的通项公式，进而得到答案.
【详解】由，可得，设
则，则
所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
则，则，所以
故答案为：
16.（2016·辽宁沈阳·高三期末）已知数列中，,,则数列的通项公式______．
【答案】
【详解】试题分析：由题意得，则，又因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即，即数列的通项公式为.
17.已知正项数列的前项和满足=,
(1)求数列的通项公式;
(2)设=是数列的前项和,证明:对于任意都有.

【答案】（1）；（2）略.
试题解析：(1)解关于的方程=可得或(舍去),
==.
(2)===,由裂项相消法可得=，.
18.（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】首先令，根据与的关系求解即可.
【详解】令，当时，，
当时，，
检验：当时，，所以.
故答案为：
19.（2021·河北省唐县第一中学高三期中）已知函数，把函数的零点按照从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为 ．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：作出函数图象易得函数的零点为，故数列数列的通项公式为
20.在数列中，若，并有对且恒成立；则_______________．
全国百强名校领军考试2020-2021学年高三上学期理科数学试题
【答案】解：由条件及，得，
即（且），则，从而知是数列的一个周期；
由，及，得；故故答案为：.
另解：由，又即对且，可得从而知是数列的一个周期；
故.故答案为：
21.已知数列的前项和为，且，，则
A．200B．210C．400D．410
【答案】B
【分析】
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果．
【详解】
由题，，又因为
所以当时，可解的
当时，，与相减得
当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，
当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，
所以当为正整数时，，
则。故选B.
【提分秘籍】
基本规律
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.
一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。
【提分秘籍】
基本规律
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
【提分秘籍】
基本规律
累加法：
若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.
其中f（n）是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和
【提分秘籍】
基本规律
通过换元，转化为累加求通项，最后再反解回去。
【提分秘籍】
基本规律
对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；
【提分秘籍】
基本规律
若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.
【提分秘籍】
基本规律
二阶等比构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，
当q为2时，=p，
2.形如，变形为，新数列累加法即可
【提分秘籍】
基本规律
与的递推关系求，常用思路是：利用转化为的递推关系，再求其通项公式；时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
【提分秘籍】
基本规律
与的递推关系求，也可以结合式子结构与数据，利用转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式
【提分秘籍】
基本规律
形如，可以取倒数变形为
【提分秘籍】
基本规律
形如，可以设
【提分秘籍】
基本规律
形如，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式
【提分秘籍】
基本规律
形如，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以待定系数来构造
【提分秘籍】
基本规律
形如，可以同除来构造等差数列求通项。，
【提分秘籍】
基本规律
形如，常凑配系数构等比数列。
【提分秘籍】
基本规律
周期数列
1.若数列{an}满足
2.若数列{an}满足
3.若数列{an}满足
4.若数列{an}满足
5.若数列{an}满足
6.
【提分秘籍】
基本规律
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列