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2021-2022学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）
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这是一份2021-2022学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了【答案】B，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
1. 下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120∘，那么∠BAC的度数是( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 90∘
3. 抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是直线( )
A. x=4 B. x=1 C. x=−1 D. x=−4
4. 把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为( )
A. 813
B. 713
C. 613
D. 513
5. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个解为x=0，那么m的值是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 1或−1
6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. a=2b B. c>0 C. a+b+c>0 D. 4a−2b+c=0
7. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为( )
A. π
B. 2π
C. 32π−2
D. 2π−2
8. 如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h(单位：cm)表示容器底面到水面的高度，用V(单位：cm3)表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
9. 如果点A(3,−2)与点B关于原点对称，那么点B的坐标是__________.
10. 如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果⊙O的周长为12π，那么该正六边形的边长是__________.
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB//DC，若∠A=70∘，则∠CBE的度数为__________.
12. 如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是__________.
13. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交AB于点D，连接CD，经测量AB=8cm，CD=2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为__________cm.
14. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是__________.
15. 小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d=0.73cm的平行线，将一根长度为l=0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是__________(结果保留小数点后两位).
16. 中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面__________m.
17. 计算：12(8+1)+(12)2+|1−2|.
18. 解方程：x2−2x−3=0.
19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA.
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA=OB，AO=AB，
∴OB=AB.
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP=90∘(______)(填推理的依据).
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线(______)(填推理的依据).
20. 已知关于x的一元二次方程x2−3kx+2k2=0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若k>0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(−3,0)，B(1,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
22. 小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手(分别出三种手势中的一种手势)一次，那么小宇获胜的概率是多少？
23. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4:3，如果要使冰场的面积是原空地面积的23，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
24. 如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D.
(1)求证：∠BAC=∠OPC；
(2)连接PO交⊙O于点E，连接BE，CE.若∠BEC=30∘，PA=8，求AB的长．
25. 小朋在学习过程中遇到一个函数y=12|x|(x−3)2.
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值(填“最大”或“最小”)，这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0
12
1
32
2
52
3
72
4
…
y
0
2516
2
2716
1
516
0
716
2
…
结合上表，画出当x≥0时，函数y=12|x|(x−3)2的图象；
(3)结合(1)(2)的分析，解决问题：
若关于x的方程12|x|(x−3)2=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______(结果保留小数点后一位).
26. 在平面直角坐标系xOy中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)是抛物线y=x2−2mx+m2−1上任意两点．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)若x1=m−2，x2=m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
(3)若对于−1≤x1<4，x2=4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
27. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D是边BC上一点，作射线AD，满足0∘<∠DAC<45∘，在射线AD取一点E，且AE>BC.将线段AE绕点A逆时针旋转90∘得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G.
(1)依题意补全图形；
(2)求∠EGF的度数；
(3)连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点A(2,0)，B(0,2)，C(2,2)，D(1,3).
(1)直线l经过点A，⊙B的半径为2，在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是______；
(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点(不与点D，G重合)，若⊙Q和△OAD有“关联点”，求⊙Q半径r的取值范围；
(3)⊙T的圆心为点T(0,t)(t>0)，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若⊙T和直线m的“关联点”在直线y=x+b上，请直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：因为BC所对的圆心角是∠BOC，BC所对的圆周角是∠BAC，
所以：∠BAC=12∠BOC=12×120∘=60∘，
故选：C.
根据圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x−4)2+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x=4，
故选：A.
由抛物线的顶点式，直接写出该抛物线的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握抛物线解析式的顶点式．
4.【答案】D
【解析】解：共13种等可能的结果，小于6的有5种结果，
所以从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为513，
故选：D.
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能的结果，而且这些结果发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
5.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个解为x=0，
∴把x=0代入(m−1)x2+x+m2−1=0，得m2−1=0，
解得：m=±1，
而m−1≠0，
∴m=−1.
故选：A.
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入方程得到关于m的方程，解得m=±1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义，也考查了一元二次方程的定义．
6.【答案】D
【解析】解：A、观察图象可知：抛物线的对称轴是直线x=−b2a=1，
∴a=−12b，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，抛物线交y轴的负半轴，
∴c<0，故选项B不符合题意；
C、由函数图象可知：当x=1时，y=a+b+c<0，故选项C不符合题意；
D、由函数图象可知：抛物线的对称轴是直线x=1，图象与x轴的一个交点为(4,0)，
∴另一个交点为(−2,0)，
∴当x=−2时，y=4a−2b+c=0，故选项D符合题意；
故选：D.
由抛物线的对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=1判断选项C；根据抛物线的对称性即可判断选项D.
本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系．
7.【答案】C
【解析】解：如图，设OC与AB交于点F，CD中点E。
∵AC=AO=2，∠CAO=90∘，
∴∠AOC=∠ACO=45∘，
同理∠BCO=∠COB=45∘，OB=BC=BD=2，
由勾股定理得：OC=22+22=22，
∴阴影部分的面积S=(S扇形COE−S扇形FOB)+(S扇形EOD−S△OBD)
=[45π×(22)2360−45π×22360]+[45π×(22)2360−12×2×2]
=π−12π+π−2
=3π2−2，
故选：C.
根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形FOB，扇形EOD和△OBD的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据容器的形状可知，容器内水的液面随高度的增加越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除C、D选项，
随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项，
故选：B.
根据V与h不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除C、D选项，再根据越往上体积越小排除A即可．
本题主要考查函数图象的知识，根据V与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
9.【答案】(−3,2)
【解析】解：∵点A(3,−2)与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为(−3,2)，
故答案为：(−3,2).
利用关于原点对称的点的坐标特点(横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数)可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
10.【答案】6
【解析】解：连接OB、OC，
∵把⊙O分成相等的六段弧，⊙O的周长为12π，
∴BC=12π÷6=2π，
设OB=OC=r，
∵∠BOC=360∘6=60∘，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OB=OC，
∴60πr180=2π，
∴r=6，
∴BC=OB=OC=6，
故答案为：6.
连接OB、OC，得到△OCB是等边三角形，根据圆周长求得弧长，然后利用扇形弧长公式求得圆的半径，即可求得正六边形的边长，难度不大．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是得出△OCB是等边三角形，难度不大．
11.【答案】110∘
【解析】解：∵AB//DC，∠A=70∘，
∴∠A+∠D=180∘，
∴∠D=180∘−∠A
=180∘−70∘
=110∘，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CBE=∠D=110∘，
故答案为：110∘.
首先利用平行线的性质求得∠D的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得答案即可．
此题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．
12.【答案】90∘
【解析】解：如图，连接PC，PF，CF，
∵PC=1+4=5，PF=1+4=5，FC=1+9=10，
∴PC2+PF2=5+5=10=FC2，
∴∠CPF=90∘，
∴旋转角为90∘，
故答案为：90∘.
由勾股定理的逆定理可求∠CPF=90∘，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角这个知识点是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，
则O、C、D三点共线，OC=(R−2)cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB=8cm，
∴AC=12AB=12×8=4(cm)，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即42+(R−2)2=R2，
解得：R=5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
故答案为：5.
设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，由垂径定理得O、C、D三点共线，则OC=(R−2)cm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14.【答案】1,−4
【解析】解：观察表可知：当x=0和x=2时，y值均为−3，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线顶点坐标为(1,−4).
故答案为：(1,−4).
根据抛物线的对称性求解即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称性求解．
15.【答案】0.51
【解析】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.514，结果保留小数点后两位为0.51，
故答案为：0.51.
根据频率和概率的关系判断即可．
本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
16.【答案】11.25
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键．
首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B的纵坐标．
【解答】
解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，
由题意得：A(3,10)，C(5,0)，对称轴为直线x=3.5，
设解析式为y=a(x−3.5)2+k，
所以10=0.25a+k0=2.25a+k，
解得a=−5，k=11.25，
所以y=−5(x−3.5)2+11.25，
所以B(3.5,11.25)，点B距离水面11.25m.
故答案为：11.25.
17.【答案】解：原式=12×(22+1)+12+2−1
=2+12+12+2−1
=22.
【解析】直接化简二次根式，再利用绝对值的性质以及二次根式加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：原方程左边因式分解，得
x−3x+1=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3， x2=−1.
【解析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，也可用其它方法解方程.
19.【答案】解：(1)如图，直线PA即为所求；
(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【解析】(1)见答案；
(2)在⊙O中，连接BA，
∵OA=OB，AO=AB，
∴OB=AB.
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP=90∘(直径所对的圆周角是直角)，
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线(经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线).
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)根据切线的判定定理证明即可．
本题考查作图-复杂作图，圆的切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：Δ=(−3k)2−4×1×2k2=9k2−8k2=k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3kx+2k2=0的两个实数根，
∴x1+x2=3k，x1x2=2k2，
∵(x1−x2)2=1，
∴x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−4x1x2=1，即(3k)2−4×2k2=1，
∴k2=1，
解得：k1=1，k2=−1，
∵k>0，
∴k的值为1.
【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合(x1−x2)2=1，找出关于k的方程．
(1)根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=(−3k)2−4×1×2k2=9k2−8k2=k2，结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=3k，x1x2=2k2，结合(x1−x2)2=1，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
21.【答案】解：(1)把点A(−3,0)，B(1,0)代入y=x2+mx+n中得：
9−3m+n=01+m+n=0，
解得：m=2n=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x−3；
(2)如图：
，
把x=0，代入y=x2+2x−3中得：y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
∵A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=1−(−3)=4，
∴△ABC的面积=12AB⋅OC
=12×4×3=6，
答：△ABC的面积为6.
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
(1)把点A(−3,0)，B(1,0)代入函数关系式，列出二元一次方程组即可解答；
(2)以AB为底，以OC为高求△ABC的面积，进行计算即可．
22.【答案】解：列表如下：
石头
剪刀
布
石头
石头石头
石头剪刀
石头布
剪刀
剪刀石头
剪刀剪刀
剪刀布
布
布 石头
布 剪刀
布 布
共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，
∴小宇获胜的概率为39=13.
【解析】先列表，由表可知，共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法求概率，通过列表法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率P=mn.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为(12−2x)米，长为43(12−2x)米，
依题意得：2×43(12−2x)×(12−2x)=23×27×12，
整理得：(12−2x)2=81
解得：x1=32，x2=212.
当x=32时，12−2x=12−2×32=9>0，符合题意；
当x=212时，12−2x=12−2×212=−9<0，不符合题意，舍去．
∴x=32，
∴左、中、右通道的宽度为：
[27−2×43(12−2x)]÷3，
=[27−2×43×(12−2×32)]÷3，
=27−83×12−3÷3，
=27−83×9÷3，
=27−24÷3，
=3÷3，
=1(米).
答：预留的上、下通道的宽度为32米，左、中、右通道的宽度为1米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为(12−2x)米，长为43(12−2x)米，
根据两个矩形冰场的面积之和是原空地面积的23，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入[27−2×43(12−2x)]÷3中即可求出预留的左、中、右通道的宽度．
24.【答案】(1)证明：∵PA，PC是⊙O的切线，
∴∠OPC=∠APO，PA=PC，OA⊥PA，
∴PD⊥AC，∠BAC+∠DAP=90∘，
∴∠DAP+∠DPA=90∘，
∴∠BAC=∠DPA，
∴∠BAC=∠OPC；
(2)解：如图，
∵∠BEC=30∘，
∴∠BAC=30∘，
∴∠DAP=90∘−∠BAC=60∘，∠APD=30∘，
∵PA=8，∠ADP=90∘，
∴AD=12AP=4，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=ADOA=32，
∴4OA=32，
∴OA=833，
∴AB=2OA=1633.
【解析】本题考查了切线性质，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
(1)由切线长定理得出∠OPC=∠APO，PA=PC，OA⊥PA，根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)由直角三角形的性质求出AD=4，解直角三角形可求出答案．
25.【答案】解：(1)最小；0.
(2)在坐标系中线先描点，再连线，如下图所示：
(3)4.2.
【解析】本题考查函数的综合应用，涉及数形结合思想等知识．
(1)根据绝对值和偶次方的非负性可得结论；
(2)描点，连线可得；
(3)先把x=2代入方程，求出k的值，再根据图象解方程即可．
(1)解：∵|x|≥0，(x−3)2≥0，
∴y=12|x|(x−3)2≥0.
∴y=12|x|(x−3)2有最小值，且最小值为0；
故答案为：最小；0.
(2)见答案；
(3)
解：把x=2代入12|x|(x−3)2=kx−1中，有12×|2|×(2−3)2=2k−1，解得k=1，
在图中画出函数y=x−1，如下图所示：
从图象可看，其它的实数根约为4.2.
故答案为：4.2.
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线顶点坐标为(m,−1).
(2)将x1=m−2代入y=(x−m)2−1得y1=(−2)2−1=3，
将x2=m+2代入y=(x−m)2−1得y2=22−1=3，
∴y1=y2.
(3)m≤32.
【解析】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．
(2)分别将x1=m−2，x2=m+2代入解析式求解．
(3)解：∵抛物线对称轴为直线x=m，
∴点(4,y2)关于对称轴对称点为(2m−4,y2)，
∵抛物线开口向上，y1≤y2，
∴2m−4≤x1<4，
∴2m−4≤−1，
解得m≤32.
求出点(4,y2)关于对称轴对称点为(2m−4,y2)，根据抛物线开口向上及y1≤y2求解.
27.【答案】解：(1)如图所示：
(2)设AE与GF的交点为O，
∵线段AE绕点A逆时针旋转90∘得到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90∘，
∴∠EAF=∠BAC=90∘，
∴∠EAF−∠EAC=∠BAC−∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠AFC=∠AEB，
∵∠AFC+∠AOF=90∘，∠AOF=∠EOG，
∴∠AEB+∠EOG=90∘，
∴∠EGF=90∘；
(3)GB+GC=2GA，理由如下：
如图，延长GB至H，使BH=GC，连接AH，
∵∠BAC=∠EGF=90∘，
∴∠ABG+∠ACG=180∘，
∵∠ABG+∠ABH=180∘，
∴∠ACG=∠ABH，
又∵AC=AB，CG=BH，
∴△ACG≌△ABH(SAS)，
∴AG=AH，∠CAG=∠BAH，
∵∠CAG+∠BAG=90∘，
∴∠BAH+∠BAG=90∘，
∴∠GAH=90∘，
∴△HAG是等腰直角三角形，
在Rt△HAG中，∵HG2=AH2+AG2=2GA2，
∴HG=2GA，
∴GB+GC=GB+BH=HG=2GA.
【解析】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
(1)依照题意画出图形；
(2)由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90∘，由“SAS”可证△BAE≌△CAF，可得∠AFC=∠AEB，进而可得答案；
(3)延长GB至H，使BH=GC，由“SAS”可证△ACG≌△ABH，可得AG=AH，∠CAG=∠BAH，可证△HAG是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出：HG=2GA，进而可得结论．
28.【答案】解：(1)点C；
(2)由题意画出图形如下，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，
∵G为线段OA中点，A(2,0)，
∴G(1,0).
∴OG=1.
∵D(1,3)，
∴DG=3，DG⊥OA.
∴DG为OA的垂直平分线．
∴DO=DA.
∵tan∠DOG=DGOG=3，
∴∠DOG=60∘.
∴△AOD为等边三角形．
∵OF⊥AD，
∴DF=AF，
∴OF是AD的垂直平分线．
∴点E是△AOD的外心．
∴EO=ED.
∵Q为线段DG上一点(不与点D，G重合)，⊙Q和△OAD有“关联点”，
∴点Q在线段GE上(Q与E，G不重合)，⊙Q半径r=QD或⊙Q半径r=QG.
∵OF平分∠DOA，
∴∠FOA=12∠DOA=30∘.
∵tan∠FOA=EGOG，
∴EG1=33.
∴GE=33.
∴DE=DG−EG=3−33=233，
由题意：DE
(1)利用“关联点”的定义进行判断即可；
(2)由题意判定出△AOD为等边三角形，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，依据“关联点”的定义判定出圆心Q的位置，利用DE
解：(1)∵A(2,0)，B(0,2)，C(2,2)，
∴AC⊥BC，BC=2，
∴点B到AC的距离为2.
∵⊙B的半径为2，
∴AC是⊙B的切线．
∴直线l与⊙B有且只有一个公共点C，
∵直线AD与⊙B相交，而过点A的直线有无数条，
∴在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是点C.
故答案为：点C；
(2)见答案；
(3)设直线m与⊙T相切于点G，如图，
则点G为直线m与⊙T的“关联点”．
∵TO⊥AO，TO=t，⊙T的半径为t，
∴AO是⊙T的切线．
由切线长定理可得：AG=AO=2.
∴⊙T和直线m的“关联点”G的轨迹是：以点A为圆心，AO=2为半径的半圆(与x轴的交点O，H除外)，
即点G的轨迹是以OH=4为直径的半圆(O,H除外).
由题意：H(4,0).
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y=x+b上，
∴当直线经过点H时，4+b=0，
解得：b=−4.
设直线y=x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
则M(−b,0)，N(0,b).
∴OM=|−b|=|b|，ON=|b|.
∴OM=ON.
∴∠NMO=∠MNO=45∘.
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y=x+b上，
∴当直线MN与以OH=4为直径的半圆相切时，b取得最大值，
设切点为G，此时AG⊥MN于点G，
∵∠NMO=45∘，
∴∠MAG=∠GMA=45∘.
∴MG=AG=2.
∴MA=22.
∴OM=AM−OA=22−2.
∴ON=OM=22−2，
∴b的取值范围为：−4
2021-2022学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
1. 下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120∘，那么∠BAC的度数是( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 90∘
3. 抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是直线( )
A. x=4 B. x=1 C. x=−1 D. x=−4
4. 把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为( )
A. 813
B. 713
C. 613
D. 513
5. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个解为x=0，那么m的值是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 1或−1
6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. a=2b B. c>0 C. a+b+c>0 D. 4a−2b+c=0
7. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为( )
A. π
B. 2π
C. 32π−2
D. 2π−2
8. 如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h(单位：cm)表示容器底面到水面的高度，用V(单位：cm3)表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
9. 如果点A(3,−2)与点B关于原点对称，那么点B的坐标是__________.
10. 如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果⊙O的周长为12π，那么该正六边形的边长是__________.
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB//DC，若∠A=70∘，则∠CBE的度数为__________.
12. 如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是__________.
13. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交AB于点D，连接CD，经测量AB=8cm，CD=2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为__________cm.
14. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是__________.
15. 小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d=0.73cm的平行线，将一根长度为l=0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是__________(结果保留小数点后两位).
16. 中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面__________m.
17. 计算：12(8+1)+(12)2+|1−2|.
18. 解方程：x2−2x−3=0.
19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA.
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA=OB，AO=AB，
∴OB=AB.
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP=90∘(______)(填推理的依据).
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线(______)(填推理的依据).
20. 已知关于x的一元二次方程x2−3kx+2k2=0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若k>0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(−3,0)，B(1,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
22. 小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手(分别出三种手势中的一种手势)一次，那么小宇获胜的概率是多少？
23. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4:3，如果要使冰场的面积是原空地面积的23，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
24. 如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D.
(1)求证：∠BAC=∠OPC；
(2)连接PO交⊙O于点E，连接BE，CE.若∠BEC=30∘，PA=8，求AB的长．
25. 小朋在学习过程中遇到一个函数y=12|x|(x−3)2.
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值(填“最大”或“最小”)，这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0
12
1
32
2
52
3
72
4
…
y
0
2516
2
2716
1
516
0
716
2
…
结合上表，画出当x≥0时，函数y=12|x|(x−3)2的图象；
(3)结合(1)(2)的分析，解决问题：
若关于x的方程12|x|(x−3)2=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______(结果保留小数点后一位).
26. 在平面直角坐标系xOy中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)是抛物线y=x2−2mx+m2−1上任意两点．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)若x1=m−2，x2=m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
(3)若对于−1≤x1<4，x2=4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
27. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D是边BC上一点，作射线AD，满足0∘<∠DAC<45∘，在射线AD取一点E，且AE>BC.将线段AE绕点A逆时针旋转90∘得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G.
(1)依题意补全图形；
(2)求∠EGF的度数；
(3)连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点A(2,0)，B(0,2)，C(2,2)，D(1,3).
(1)直线l经过点A，⊙B的半径为2，在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是______；
(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点(不与点D，G重合)，若⊙Q和△OAD有“关联点”，求⊙Q半径r的取值范围；
(3)⊙T的圆心为点T(0,t)(t>0)，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若⊙T和直线m的“关联点”在直线y=x+b上，请直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：因为BC所对的圆心角是∠BOC，BC所对的圆周角是∠BAC，
所以：∠BAC=12∠BOC=12×120∘=60∘，
故选：C.
根据圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x−4)2+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x=4，
故选：A.
由抛物线的顶点式，直接写出该抛物线的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握抛物线解析式的顶点式．
4.【答案】D
【解析】解：共13种等可能的结果，小于6的有5种结果，
所以从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为513，
故选：D.
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能的结果，而且这些结果发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
5.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个解为x=0，
∴把x=0代入(m−1)x2+x+m2−1=0，得m2−1=0，
解得：m=±1，
而m−1≠0，
∴m=−1.
故选：A.
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入方程得到关于m的方程，解得m=±1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义，也考查了一元二次方程的定义．
6.【答案】D
【解析】解：A、观察图象可知：抛物线的对称轴是直线x=−b2a=1，
∴a=−12b，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，抛物线交y轴的负半轴，
∴c<0，故选项B不符合题意；
C、由函数图象可知：当x=1时，y=a+b+c<0，故选项C不符合题意；
D、由函数图象可知：抛物线的对称轴是直线x=1，图象与x轴的一个交点为(4,0)，
∴另一个交点为(−2,0)，
∴当x=−2时，y=4a−2b+c=0，故选项D符合题意；
故选：D.
由抛物线的对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=1判断选项C；根据抛物线的对称性即可判断选项D.
本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系．
7.【答案】C
【解析】解：如图，设OC与AB交于点F，CD中点E。
∵AC=AO=2，∠CAO=90∘，
∴∠AOC=∠ACO=45∘，
同理∠BCO=∠COB=45∘，OB=BC=BD=2，
由勾股定理得：OC=22+22=22，
∴阴影部分的面积S=(S扇形COE−S扇形FOB)+(S扇形EOD−S△OBD)
=[45π×(22)2360−45π×22360]+[45π×(22)2360−12×2×2]
=π−12π+π−2
=3π2−2，
故选：C.
根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形FOB，扇形EOD和△OBD的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据容器的形状可知，容器内水的液面随高度的增加越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除C、D选项，
随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项，
故选：B.
根据V与h不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除C、D选项，再根据越往上体积越小排除A即可．
本题主要考查函数图象的知识，根据V与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
9.【答案】(−3,2)
【解析】解：∵点A(3,−2)与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为(−3,2)，
故答案为：(−3,2).
利用关于原点对称的点的坐标特点(横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数)可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
10.【答案】6
【解析】解：连接OB、OC，
∵把⊙O分成相等的六段弧，⊙O的周长为12π，
∴BC=12π÷6=2π，
设OB=OC=r，
∵∠BOC=360∘6=60∘，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OB=OC，
∴60πr180=2π，
∴r=6，
∴BC=OB=OC=6，
故答案为：6.
连接OB、OC，得到△OCB是等边三角形，根据圆周长求得弧长，然后利用扇形弧长公式求得圆的半径，即可求得正六边形的边长，难度不大．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是得出△OCB是等边三角形，难度不大．
11.【答案】110∘
【解析】解：∵AB//DC，∠A=70∘，
∴∠A+∠D=180∘，
∴∠D=180∘−∠A
=180∘−70∘
=110∘，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CBE=∠D=110∘，
故答案为：110∘.
首先利用平行线的性质求得∠D的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得答案即可．
此题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．
12.【答案】90∘
【解析】解：如图，连接PC，PF，CF，
∵PC=1+4=5，PF=1+4=5，FC=1+9=10，
∴PC2+PF2=5+5=10=FC2，
∴∠CPF=90∘，
∴旋转角为90∘，
故答案为：90∘.
由勾股定理的逆定理可求∠CPF=90∘，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角这个知识点是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，
则O、C、D三点共线，OC=(R−2)cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB=8cm，
∴AC=12AB=12×8=4(cm)，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即42+(R−2)2=R2，
解得：R=5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
故答案为：5.
设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，由垂径定理得O、C、D三点共线，则OC=(R−2)cm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14.【答案】1,−4
【解析】解：观察表可知：当x=0和x=2时，y值均为−3，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线顶点坐标为(1,−4).
故答案为：(1,−4).
根据抛物线的对称性求解即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称性求解．
15.【答案】0.51
【解析】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.514，结果保留小数点后两位为0.51，
故答案为：0.51.
根据频率和概率的关系判断即可．
本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
16.【答案】11.25
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键．
首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B的纵坐标．
【解答】
解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，
由题意得：A(3,10)，C(5,0)，对称轴为直线x=3.5，
设解析式为y=a(x−3.5)2+k，
所以10=0.25a+k0=2.25a+k，
解得a=−5，k=11.25，
所以y=−5(x−3.5)2+11.25，
所以B(3.5,11.25)，点B距离水面11.25m.
故答案为：11.25.
17.【答案】解：原式=12×(22+1)+12+2−1
=2+12+12+2−1
=22.
【解析】直接化简二次根式，再利用绝对值的性质以及二次根式加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：原方程左边因式分解，得
x−3x+1=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3， x2=−1.
【解析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，也可用其它方法解方程.
19.【答案】解：(1)如图，直线PA即为所求；
(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【解析】(1)见答案；
(2)在⊙O中，连接BA，
∵OA=OB，AO=AB，
∴OB=AB.
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP=90∘(直径所对的圆周角是直角)，
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线(经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线).
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)根据切线的判定定理证明即可．
本题考查作图-复杂作图，圆的切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：Δ=(−3k)2−4×1×2k2=9k2−8k2=k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3kx+2k2=0的两个实数根，
∴x1+x2=3k，x1x2=2k2，
∵(x1−x2)2=1，
∴x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−4x1x2=1，即(3k)2−4×2k2=1，
∴k2=1，
解得：k1=1，k2=−1，
∵k>0，
∴k的值为1.
【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合(x1−x2)2=1，找出关于k的方程．
(1)根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=(−3k)2−4×1×2k2=9k2−8k2=k2，结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=3k，x1x2=2k2，结合(x1−x2)2=1，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
21.【答案】解：(1)把点A(−3,0)，B(1,0)代入y=x2+mx+n中得：
9−3m+n=01+m+n=0，
解得：m=2n=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x−3；
(2)如图：
，
把x=0，代入y=x2+2x−3中得：y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
∵A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=1−(−3)=4，
∴△ABC的面积=12AB⋅OC
=12×4×3=6，
答：△ABC的面积为6.
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
(1)把点A(−3,0)，B(1,0)代入函数关系式，列出二元一次方程组即可解答；
(2)以AB为底，以OC为高求△ABC的面积，进行计算即可．
22.【答案】解：列表如下：
石头
剪刀
布
石头
石头石头
石头剪刀
石头布
剪刀
剪刀石头
剪刀剪刀
剪刀布
布
布 石头
布 剪刀
布 布
共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，
∴小宇获胜的概率为39=13.
【解析】先列表，由表可知，共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法求概率，通过列表法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率P=mn.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为(12−2x)米，长为43(12−2x)米，
依题意得：2×43(12−2x)×(12−2x)=23×27×12，
整理得：(12−2x)2=81
解得：x1=32，x2=212.
当x=32时，12−2x=12−2×32=9>0，符合题意；
当x=212时，12−2x=12−2×212=−9<0，不符合题意，舍去．
∴x=32，
∴左、中、右通道的宽度为：
[27−2×43(12−2x)]÷3，
=[27−2×43×(12−2×32)]÷3，
=27−83×12−3÷3，
=27−83×9÷3，
=27−24÷3，
=3÷3，
=1(米).
答：预留的上、下通道的宽度为32米，左、中、右通道的宽度为1米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为(12−2x)米，长为43(12−2x)米，
根据两个矩形冰场的面积之和是原空地面积的23，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入[27−2×43(12−2x)]÷3中即可求出预留的左、中、右通道的宽度．
24.【答案】(1)证明：∵PA，PC是⊙O的切线，
∴∠OPC=∠APO，PA=PC，OA⊥PA，
∴PD⊥AC，∠BAC+∠DAP=90∘，
∴∠DAP+∠DPA=90∘，
∴∠BAC=∠DPA，
∴∠BAC=∠OPC；
(2)解：如图，
∵∠BEC=30∘，
∴∠BAC=30∘，
∴∠DAP=90∘−∠BAC=60∘，∠APD=30∘，
∵PA=8，∠ADP=90∘，
∴AD=12AP=4，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=ADOA=32，
∴4OA=32，
∴OA=833，
∴AB=2OA=1633.
【解析】本题考查了切线性质，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
(1)由切线长定理得出∠OPC=∠APO，PA=PC，OA⊥PA，根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)由直角三角形的性质求出AD=4，解直角三角形可求出答案．
25.【答案】解：(1)最小；0.
(2)在坐标系中线先描点，再连线，如下图所示：
(3)4.2.
【解析】本题考查函数的综合应用，涉及数形结合思想等知识．
(1)根据绝对值和偶次方的非负性可得结论；
(2)描点，连线可得；
(3)先把x=2代入方程，求出k的值，再根据图象解方程即可．
(1)解：∵|x|≥0，(x−3)2≥0，
∴y=12|x|(x−3)2≥0.
∴y=12|x|(x−3)2有最小值，且最小值为0；
故答案为：最小；0.
(2)见答案；
(3)
解：把x=2代入12|x|(x−3)2=kx−1中，有12×|2|×(2−3)2=2k−1，解得k=1，
在图中画出函数y=x−1，如下图所示：
从图象可看，其它的实数根约为4.2.
故答案为：4.2.
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线顶点坐标为(m,−1).
(2)将x1=m−2代入y=(x−m)2−1得y1=(−2)2−1=3，
将x2=m+2代入y=(x−m)2−1得y2=22−1=3，
∴y1=y2.
(3)m≤32.
【解析】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．
(2)分别将x1=m−2，x2=m+2代入解析式求解．
(3)解：∵抛物线对称轴为直线x=m，
∴点(4,y2)关于对称轴对称点为(2m−4,y2)，
∵抛物线开口向上，y1≤y2，
∴2m−4≤x1<4，
∴2m−4≤−1，
解得m≤32.
求出点(4,y2)关于对称轴对称点为(2m−4,y2)，根据抛物线开口向上及y1≤y2求解.
27.【答案】解：(1)如图所示：
(2)设AE与GF的交点为O，
∵线段AE绕点A逆时针旋转90∘得到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90∘，
∴∠EAF=∠BAC=90∘，
∴∠EAF−∠EAC=∠BAC−∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠AFC=∠AEB，
∵∠AFC+∠AOF=90∘，∠AOF=∠EOG，
∴∠AEB+∠EOG=90∘，
∴∠EGF=90∘；
(3)GB+GC=2GA，理由如下：
如图，延长GB至H，使BH=GC，连接AH，
∵∠BAC=∠EGF=90∘，
∴∠ABG+∠ACG=180∘，
∵∠ABG+∠ABH=180∘，
∴∠ACG=∠ABH，
又∵AC=AB，CG=BH，
∴△ACG≌△ABH(SAS)，
∴AG=AH，∠CAG=∠BAH，
∵∠CAG+∠BAG=90∘，
∴∠BAH+∠BAG=90∘，
∴∠GAH=90∘，
∴△HAG是等腰直角三角形，
在Rt△HAG中，∵HG2=AH2+AG2=2GA2，
∴HG=2GA，
∴GB+GC=GB+BH=HG=2GA.
【解析】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
(1)依照题意画出图形；
(2)由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90∘，由“SAS”可证△BAE≌△CAF，可得∠AFC=∠AEB，进而可得答案；
(3)延长GB至H，使BH=GC，由“SAS”可证△ACG≌△ABH，可得AG=AH，∠CAG=∠BAH，可证△HAG是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出：HG=2GA，进而可得结论．
28.【答案】解：(1)点C；
(2)由题意画出图形如下，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，
∵G为线段OA中点，A(2,0)，
∴G(1,0).
∴OG=1.
∵D(1,3)，
∴DG=3，DG⊥OA.
∴DG为OA的垂直平分线．
∴DO=DA.
∵tan∠DOG=DGOG=3，
∴∠DOG=60∘.
∴△AOD为等边三角形．
∵OF⊥AD，
∴DF=AF，
∴OF是AD的垂直平分线．
∴点E是△AOD的外心．
∴EO=ED.
∵Q为线段DG上一点(不与点D，G重合)，⊙Q和△OAD有“关联点”，
∴点Q在线段GE上(Q与E，G不重合)，⊙Q半径r=QD或⊙Q半径r=QG.
∵OF平分∠DOA，
∴∠FOA=12∠DOA=30∘.
∵tan∠FOA=EGOG，
∴EG1=33.
∴GE=33.
∴DE=DG−EG=3−33=233，
由题意：DE
(1)利用“关联点”的定义进行判断即可；
(2)由题意判定出△AOD为等边三角形，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，依据“关联点”的定义判定出圆心Q的位置，利用DE
解：(1)∵A(2,0)，B(0,2)，C(2,2)，
∴AC⊥BC，BC=2，
∴点B到AC的距离为2.
∵⊙B的半径为2，
∴AC是⊙B的切线．
∴直线l与⊙B有且只有一个公共点C，
∵直线AD与⊙B相交，而过点A的直线有无数条，
∴在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是点C.
故答案为：点C；
(2)见答案；
(3)设直线m与⊙T相切于点G，如图，
则点G为直线m与⊙T的“关联点”．
∵TO⊥AO，TO=t，⊙T的半径为t，
∴AO是⊙T的切线．
由切线长定理可得：AG=AO=2.
∴⊙T和直线m的“关联点”G的轨迹是：以点A为圆心，AO=2为半径的半圆(与x轴的交点O，H除外)，
即点G的轨迹是以OH=4为直径的半圆(O,H除外).
由题意：H(4,0).
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y=x+b上，
∴当直线经过点H时，4+b=0，
解得：b=−4.
设直线y=x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
则M(−b,0)，N(0,b).
∴OM=|−b|=|b|，ON=|b|.
∴OM=ON.
∴∠NMO=∠MNO=45∘.
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y=x+b上，
∴当直线MN与以OH=4为直径的半圆相切时，b取得最大值，
设切点为G，此时AG⊥MN于点G，
∵∠NMO=45∘，
∴∠MAG=∠GMA=45∘.
∴MG=AG=2.
∴MA=22.
∴OM=AM−OA=22−2.
∴ON=OM=22−2，
∴b的取值范围为：−4
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